5.1.1变化率问题（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1.函数的平均变化率
1.函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2.在平均变化率的定义中，自变量的改变量的取值范围为( )
A． B．
C． D．
3.当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的变化量
4.我们常用函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由改变到时，函数值的改变量（ ）
A． B．
C． D．
5.函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B．
C． D．
题型2.求平均速度与瞬时速度
6.某质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝2时的瞬时速度是( )
A． B．
C． D．
7.一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（ ）
A．1秒末 B．4秒末 C．1秒与4秒末 D．0秒与4秒末
8.某物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
9.已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
10.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ）
A．33 B．31 C．39 D．27
题型3.求函数在某点处的导数
11.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A．-1 B．-3 C．1 D．
12.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
13.已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
14.设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
15.曲线在点处的切线方程为,那么,
A． B． C． D．不存在
【能力提升】
单选题
1.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B．
C． D．
2．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
4.设函数f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，则a的值为( )
A．－1 B．
C．1 D．
5.函数的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.一质点做直线运动，由始点起经过秒后的距离（单位：米）为，那么3秒末的则速度为（ ）
A．-1米/秒 B．2米/秒 C．0米/秒 D．-2米/秒
7.已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
8.下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，但不一定存在
多选题
9.直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么关于的下列说法错误的是（ ）
A．从时刻到时物体的平均速度
B．从时刻到时位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
11.如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
12.在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
填空题
13.函数从到的平均变化率为 ．
14.已知函数在处可导，若，则 ．
15.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为(单位)，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 .
16.已知函数f(x)＝x2＋，则＝ .
解答题
17.求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
18.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
19.已知函数，求：
（1）从0.1到0.2的平均变化率；
（2）在0.2处的瞬时变化率．
20.求曲线在点（处的切线的倾斜角．
21.已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
22.泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．5.1.1变化率问题（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1.函数的平均变化率
1.函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】直接代函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.
【详解】，
.
由题意，知，所以.
故选：A.
2.在平均变化率的定义中，自变量的改变量的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平均变化率的定义得解.
【详解】由定义知可正、可负但不能为零．故答案为C
【点睛】本题主要考查平均变化率的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3.当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）
A．在区间上的平均变化率
B．在处的变化率
C．在处的变化率
D．在区间上的变化量
【答案】A
【分析】由平均变化率的定义即可求解.
【详解】由平均变化率的定义知：当函数的自变量从变化到时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间上的平均变化率.
故选：A
4.我们常用函数的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由改变到时，函数值的改变量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果.
【详解】由题意知，当时，；当时，，
故.
故选D.
5.函数在区间上的平均变化率等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依据平均变化率定义去求解即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
题型2.求平均速度与瞬时速度
6.某质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝2时的瞬时速度是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出路程s对时间t的导函数，求出导函数在t=2时的值即为t=2时的速度．
【详解】∵s=，
∴s′（t）=，
∴s′（2）==，
故选B．
【点睛】导数在物理上的应用：位移对时间的导数为物体运动的瞬时速度；速度对时间的导数为运动问题的加速度．
7.一质点做直线运动，经过秒后的位移为，则速度为零的时刻是（ ）
A．1秒末 B．4秒末 C．1秒与4秒末 D．0秒与4秒末
【答案】C
【解析】求出位移的导数即质点运动的瞬时速度，令导数为0，求出的值即得到速度为0的时刻.
【详解】因为，所以，
令，解得或，
所以速度为零的时刻是1秒末或4秒末，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关导数在物理中的应用，要明确位移的导数为速度，属于基础题目.
8.某物体运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为（ ）
A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒
【答案】B
【分析】利用导数的物理意义求解即可
【详解】该物体在时的瞬时速度即为在时的导函数的值，又，故该物体在时的瞬时速度为米/秒
故选：B
【点睛】本题主要考查了导数的物理中的几何意义，位移对时间求导即为瞬时速度，属于基础题
9.已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（ ）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【答案】D
【分析】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【详解】∵物体做直线运动的方程为，
根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
10.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是（ ）
A．33 B．31 C．39 D．27
【答案】A
【分析】对运动方程求导,得到导函数,利用导数的物理意义,导函数中代入时间数据,得到物体的瞬时速度.
【详解】物体的运动方程是,则.
当时,代入函数得到，答案为A
【点睛】本题考查了导数的物理意义和导数的计算，属于简单题．
题型3.求函数在某点处的导数
11.设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（ ）
A．-1 B．-3 C．1 D．
【答案】D
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】解：因为，
所以，
故选：D
12.已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据导数的定义求解.
【详解】因为,
所以,
故选:A.
13.已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D.
14.设函数在处的导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
【答案】A
【分析】根据导数的定义即得.
【详解】因为函数在处的导数为2，
所以.
故选：A.
15.曲线在点处的切线方程为,那么,
A． B． C． D．不存在
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义,计算，即可得到答案；
【详解】根据导数的几何意义,在处的导数，
即在处切线的斜率,故.
故选：B
【能力提升】
单选题
1.物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B．
C． D．
【答案】C
【详解】由平均变化率的概念知平均速度是，故应选C.
点睛：根据求平均变化率
2．函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据平均变化率的定义计算即可
【详解】由题，函数在区间上的平均变化率为
故选：D
3.已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平均变化率的定义直接求解.
【详解】因为函数，
所以该函数在区间上的平均变化率为
，
故选：A
4.设函数f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，则a的值为( )
A．－1 B．
C．1 D．
【答案】C
【分析】求导得出含参数的方程，解出含参方程即可
f′(-1)＝.进而求出含参方程.再解出这个含参数的方程即可
【详解】∵f′(－1)＝＝＝3a＝3，∴a＝1.
答案：C
【点睛】本题考查了导数的定义进行四则运算，利用求导法则得出含参方程，再解方程即可，属于基础题.
5.函数的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数定义求解得结果.
【详解】
．选C.
【点睛】本题考查导数定义及其计算,考查基本分析求解能力,属基础题.
6.一质点做直线运动，由始点起经过秒后的距离（单位：米）为，那么3秒末的则速度为（ ）
A．-1米/秒 B．2米/秒 C．0米/秒 D．-2米/秒
【答案】A
【分析】先求s对t的导数,然后将导函数中的t换上3即可得出3秒末的速度
【详解】因为，所以，
所以3秒末的速度为:32-6×3+8=-1(米/秒).
故选:A.
7.已知函数，则（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】解：根据题意，，则，
又．
故选：D．
8.下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若不存在，则曲线在点处无切线
D．若曲线在点处有切线，但不一定存在
【答案】D
【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可.
【详解】对于A，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A错误；
对于B，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B错误；
对于C，不存在，曲线在点处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C错误；
对于D，曲线在点处有切线，但切线斜率可能不存在，所以不一定存在，故D正确.
故选：D
多选题
9.直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么关于的下列说法错误的是（ ）
A．从时刻到时物体的平均速度
B．从时刻到时位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
【答案】ABC
【分析】根据极限的定、瞬时速度判断．
【详解】表示到时，物体的位移的平均变化率，即速度，而表示时刻时的瞬时速度，只有D正确，ABC均错误，
故选：ABC．
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．叫做函数值的增量
B．叫做函数在上的平均变化率
C．在处的导数记为
D．在处的导数记为
【答案】ABD
【分析】由函数值的增量的意义判断A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD.
【详解】A中，叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A正确；
B中，称为函数在到之间的平均变化率，B正确；
由导数的定义知函数在处的导数记为，故C错误，D正确.
故选：ABD
11.如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【答案】CD
【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可
【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误．
瞬时速度为切线斜率，故B错误．
在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为，，所以，故C正确．同理D正确．
故选：CD
12.在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（ ）
A．运动员在时的瞬时速度是
B．运动员在时的瞬时速度是
C．运动员在附近以的速度上升
D．运动员在附近以的速度下降
【答案】BD
【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.
【详解】由已知，，
的瞬时速度为，
因此该运动员在附近以的速度下降，
故选：BD．
填空题
13.函数从到的平均变化率为 ．
【答案】
【分析】直接代入平均变化率公式即可解.
【详解】因为，
所以函数在到之间的平均变化率为：.
故答案为：.
14.已知函数在处可导，若，则 ．
【答案】2
【分析】根据导数与极限的定义求解．
【详解】，所以
．
故答案为：2．
15.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为(单位)，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 .
【答案】3
【分析】利用导数的物理意义求出瞬时速度，将代入求解即可.
【详解】因为，所以，
即，
当时，，
所以这个质点在2秒末的瞬时速度是3.
故答案为：3
16.已知函数f(x)＝x2＋，则＝ .
【答案】－6
【分析】f′()＝
令，f′(1)＝＝＝ (Δx＋2)＝2
而＝
把看成一个整体，比如设为，由于等价于
可看作=(－3)·f′(1)=
【详解】f′(1)＝
＝
＝＝ (Δx＋2)＝2.
∴＝
＝－3＝(－3)·f′(1)＝－6.
答案：－6
【点睛】本题主要考查把极限化成与导数定义一致的形态，对分式进行整理，进而利用等量代换关系进行求值，属于中等题.
解答题
17.求抛物线f(x)＝3x2－4x－1在点(2，3)处的切线方程.
【答案】8x－y－13＝0.
【分析】根据导数的几何意义求出斜率，点斜式求切线方程.
【详解】因为
所以k＝(3Δx＋8)＝8，
则切线方程y－3＝8(x－2)，
即8x－y－13＝0.
18.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4（s的单位：m）的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
【答案】平均速度为15m/s；瞬时速度为26 m/s.
【分析】利用求得平均速度，利用求得瞬时速度.
【详解】自运动开始到t s时，物体运动的平均速度为
＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为＝3×4＋2＋1＝15（m/s）．
由于Δs＝3＋2＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3
＝2＋6t＋3·Δt，
＝2＋6t，
当t＝4时，＝2＋6×4＝26，
所以4 s时物体的瞬时速度为26 m/s.
19.已知函数，求：
（1）从0.1到0.2的平均变化率；
（2）在0.2处的瞬时变化率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）代入公式直接求0.1到0.2的平均变化率即可得出结果；
（2）先求的值，再求即可得出结果.
【详解】（1）因为，
所以从0.1到0.2的平均变化率为．
（2）f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－
=＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－－5＝6x0Δx＋3(Δx)2，
所以函数在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为：
＝6x0＋3Δx．
所以在0.2处的瞬时变化率为.
20.求曲线在点（处的切线的倾斜角．
【答案】
【分析】根据导数的定义求出曲线在处的导数，即为曲线在点处切线的斜率，即可求出其倾斜角.
【详解】
，
所以曲线在点处的切线斜率为，
则倾斜角为.
21.已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．
（1）当，时，求；
（2）当，时，求；
（3）求质点在时的瞬时速度．
【答案】(1)8.02 (2)8.002 (3)8
【分析】(1)根据计算,再求 ,(2) 根据计算,再求 ,(3)先求,再求趋于0时，的值.
【详解】解：．
（1）当，时，．
（2）当，时，．
（3）由题意，得，故质点M在时的瞬时速度为．
【点睛】本题考查瞬时速度定义及其求法,考查基本求解能力,属基础题.
22.泰兴机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600.
(1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义．
【答案】（1）5 000.6(元)；（2）2 000(元)；（3）见解析.
【分析】（1）将x=1000代入函数可得总利润，总利润除以总数1000可得平均利润；
（2）计算即可得解；
（3）求导得c′(x)，再分别计算c′(1 000)和c′(1 500)，利用导数代表瞬时变化率可知实际意义.
【详解】(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)，平均利润为＝5 000.6(元)．
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为＝＝2 000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000，∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)，
c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)，
它们指的是当生产第1 000台时，可获利3 000元；.
而当生产第1 500台时，可获利1 000元．
【点睛】本题考查了导数概念的实际应用，考查了导数的运算，关键是理解导数概念的实际意义.
