2023—2024学年惠州市重点中学九年级12月月考试卷（数学）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、精挑细选，一锤定音（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
6．设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
7．如图，已知为的直径，是圆上同侧的两点，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在同一直角坐标系内，函数和的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，顶点的坐标为是上一动点，将点绕点逆时针旋转，当点的对应点落在边上时，点的坐标为（ ）
（第9题）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线的对称轴为，现有下列结论：
（第10题）
①；②；③；④；⑤．
正确结论的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、慎思妙解，画龙点睛（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．二次函数的顶点是______．
12．若是一元二次方程的一个根，那么______．
13．若是方程的两个实数根，则的值为______．
14．如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则______．
（第14题）
15．已知函数，当时，函数的最小值是，则实数的取值范围是______．
16．如图，是的直径，弦是弦的中点，．若动点从点出发沿着方向运动，连接，则最小值是______．
（第16题）
三、过关斩将，胜利在望（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：
（1）； （2）．
18．（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数，方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求的值及方程的另一个根．
19．（6分）如图，已知，为等边三角形内一点，且，将绕点顺时针旋转至的位置．
（1）试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求的长度．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出绕点顺时针旋转后的图形；
（2）直接写出的面积为______．
21．（8分）如图，在中，，以为直径的分别交于点，且点是的中点．
（1）求证：为等边三角形；
（2）求的长．
22．（8分）兴华中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）若这个苗圃园的面积为72平方米，求垂直于墙的一边的长；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理出．
23．（10分）如图，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
24．（10分）如图，正方形中，，动点分别在边上，且，连接．
（1）求证：；
（2）若，求线段的长
25．（12分）如图，拋物线交轴于点和点，交轴于点
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形，如果有，求出点的坐标；若不存在，请说明理由
（3）轴上，是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
