2023-2024学年第一学期内地西藏初中校（班）九校期中联考 九年级数学试卷
命题学校：中山市实验中学 考试时间：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．全卷共5页，三道大题。
2. 答卷前，考生务必将自己的学校名、姓名、考试号写在答题纸相应的位置上。
3．所有答案必须在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题纸规定的地方，试卷上答题无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，不选，错选或多选均不得分。
1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列方程中，关于x的一元二次方程是
A． B. C． D．
3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，7） B．（﹣2，﹣7） C．（2，﹣7） D．（2，7）
4. 用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+2)2=9 B． (x-2)2=9 C．(x-2)2=5 D．(x+2)2=5
5．把二次函数y＝2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移3个单位所得的解析式为（ ）
A．y＝2（x+3）2-3 B．y＝2（x+3）2+3 C．y＝2（x﹣3）2﹣3 D．y＝2（x-3）2+3
6. 若是方程的一个根，则的值为
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．某市组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 设比赛组织邀请了x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A． B． C．x（1+x）＝28 D．x（x-1）＝56
8．若关于的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2且k≠1 C．k≤2 D．k≤2且k≠1
9．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
如图，将含有30°角的三角尺ABC（∠BAC＝30°）绕点A顺时针方向旋转一定角度，使得C、A、B′三点共线，若点C、B分别对应C′、B′，连接CC′,则∠CC′B′为（ ）
A．90° B．105° C．110° D．120°
第10题图 第11题图 第12题图
11．已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣1（0≤x≤3）的图象，如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0
C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①c＞0；②b＜1；③2a+b＞0；④4ac﹣b2＜0；⑤ax2+bx+c+3=0有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．②④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若点A（5，2m﹣1）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值为 。
14. 一元二次方程的较大实数根是 ．
15. 请写出一个开口向下，且经过点（1，1）的二次函数解析式： ．
16. 已知a，b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a+b-ab的值是 ．
17. 对于实数a，b，定义运算：“☆”为a☆b=a2-ab-2a，如：2☆3=22-2×3-2×2=-6，若m,n是二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标，则m☆n= 。
18.如图，已知∠MON＝30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD为正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针方向旋转90°得CE，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值为 ．
第18题图
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（本小题8分）解方程：（1）x2+4x﹣1＝0； （2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2．
20．（本小题5分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴．
21.（本小题5分）如图，P是等边 ABC内的一点，若将 BCP绕点B旋转到 BAP’，判断 PBP’的形状.
第21题图
22．（本小题8分）已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k-1＝0．
(1)求证：不论k取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两根为α，β，且，则k的值为多少？
23.（本小题5分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）画出将△ABC绕原点顺时针旋转90°得到的A1B1C1．
（2）画出△ABC关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
第23题图
24.（本小题7分）如图，有长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）如果要围成面积为24m2的花圃，AB的长是多少米？
第24题图
25．（本小题8分） 如图，将 ABC绕点B逆时针旋转后得到 DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，若∠BAC=60°，点E在线段AB上，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）若AB=8，求AC的长
第25题图
26．（本小题8分）近年来，电商成为带动我国经济和社会转型发展的新动力。2022年某省粮食生产再获丰收，某村通过直播带货对产出的生态米进行销售．每袋成本为40元，物价部门规定每袋售价不得高于55元．市场调查发现，若每袋以45元的价格销售，平均每天销售105袋，而销售价每涨价1元，平均每天就可以少售出3袋．
(1)求该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式；
(2)当每袋大米的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
27．（本小题12分）如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
第27题图 备用图2023-2024学年第一学期内地西藏初中校（班）九校期中联考
九年级数学答案
选择题：（每小题3分，共36分）
1.C2.C 3.D4.B5.D6.C7.B8.C9.D10.B11.C12.B
二、填空题：（每小题3分，共18分）
13.14.x=215.（答案不唯一）16.-201317.18或3 18.
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19． (8分)
解：（1）x 2 +4x＝1，
x2+4x+4＝5，……………………………………..…...………….1 分
（x+2）2＝5，…………………………………………………………2 分
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；………………………………………4 分
（2）3x（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0，
（x﹣1）（3x﹣x+1）＝0，……………………………………………….6 分
x﹣1＝0 或 3x﹣x+1＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣．……………………………………………………8 分
20.（5分）
解：（1）把（﹣1，0），（0，3）代入 y＝﹣x 2+bx+c 得：
，……………………………………………………………1分
解得 ，………………………………………………………………2分
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x 2+2x+3；……………………………………..3分
y＝﹣x 2+2x+3
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴是直线x=1．……………………………………………5分
备注：直接用公式求解也得分。
（5分）
解：等边三角形，理由如下：…………………………………………………………1分
连接PP’，如图所示……………………………………………………2分
根据旋转的性质可知，
则旋转角，，……………………………………4分
∴△PBP’为等边三角形.…………………………………………………………5分
22．(8分)
（1）证明：△=，………………………………………2分
∵，………………………………………3分
∴△>0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.………………………………………4分
（2）解：∵方程的两根为α，β，
∴α+β=k+1，αβ=k-1，………………………………………6分
∵1，
∴,即，………………………………………7分
解得k=0.………………………………………8分
（5分）
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；……………………………………2分
（2）如图，△A2B2C2即为所求；………………………………………4分
点C2的坐标为（﹣4，﹣2）．………………………………………5分
24．(7分)
解：（1）依题意得，，∴，………………………2分
∵墙的最大可用长度为10米，
∴，即，解得：，………………………3分
∴x的取值范围是：；
（2）当S=24时，，解得：，，………………………………………5分
∵，∴x=4，即AB=4，………………………………………………………………………6分
∴要围成面积为24m2的花圃，AB的长为4米；……………………………………………………7分
25． (8分)
（1）证明：∵△ABC绕点B逆时针旋转后得到△DBE，
∴△ABC≌△DBE,
………………………………………………1分
是等边三角形………………………………………………2分
………………………………………………3分
………………………………………………4分
（2），
垂直平分……………………………………………5分
……………………………………………6分
……………………………………………7分
……………………………………………8分
26． (8分)
解：（1）w=（x-40）[105-3（x-45）]=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600，…………………………2分
答：该电商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/袋）之间的函数关系式为w=-3x2+360x-9600…3分
（2）w=-3x2+360x-9600=-3（x-60）2+1200，……………………………………………………………4分
∵=-3＜0，且对称轴为x=60，……………………………………………………………………………5分
∴当x＜60，w随x的增大而增大，…………………………………………………………………6分
又∵40≤x≤55，
∴当x=55时，w有最大值，最大值为1125元．………………………………………………………7分
答：当销售价为55元时，可以获得最大利润，为1125元．……………………………………………8分
27． (12分)
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．………………………………………………………1分
解得：．………………………………………………………2分
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；………………………………………………………3分
（2）∵线段BC为定长，
∴当点P到直线BC的距离最大时，即 PBC的面积最大。…………………………………………………4分
如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．…………………6分
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理为顶点式得：．………………………………………………………………7分
∵，0
当m＝时，代入抛物线解析式得函数值．
∴P．……………………………………………………………………………………………………9分
（3）存在，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．…………………………12分
如图，
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为（2，1）．
∵C（0，3），
∴EC＝．
①当以EC为边时，所得的菱形为CEM1N1和CEM2N2，
根据菱形的四条边相等，
∴．
∵点M在对称轴x＝2上，
∴，．
②当以EC为对角线时，所得的菱形为CEM3N3，
∵CE与M3N3互相垂直平分，又∠BCO＝45°，记CE与M3N3的交点为F，
∴△CN3F是等腰直角三角形．
∴．
则点M3的坐标为（2，3）．
综上所述，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
