2023年下学期渌江中学九年级第三阶段检测
数学试卷
（时量：120分钟 总分：120分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．方程的根是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则锐角α等于（）
A．15° B．30° C．45° D．60°
3．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大
7．如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．4.5 B．3 C．3.5 D．4
8．如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（ ）
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD BC D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、B是双曲线上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
二．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分）
11．已知关于x的方程的两实数根分别为m，n，则＝ ．
12．将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为 ．
13．现有数据1，2，3，4，5，这组数据的方差 ．
14．如果点在抛物线上，那么 （“”、“”或“”）
15．如图，为测量一棵与地面垂直的树 的高度，在距离树的底端 米的处，测得树顶的仰角 为，则树的高度为
16．如图，在中，，，，点分别在、、上，且四边形是正方形，点分别在上，且四边形是正方形……，点分别在上，且四边形是正方形，则线段的长度是 ．
三、解答题（共9大题，共计72分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．已知一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
19．如图，在菱形中，于点E， ，．
(1)求的长．
(2)则的值．
20．2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩分 频数 频率
15 0.1
0.2
60
45
(1)表中 ， ， ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校共有3600名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？
21．如图，在和中，已知，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
22．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
23．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求D到的距离．
(2)求古塔的高度（结果保留根）．
24．在矩形中，对角线，交于点，过点作于点．
(1)求证；
(2)求证：
(3)若，，求的长．
25．如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】移项，直接开方即可得．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开方法．
2．D
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出即可．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．D
【分析】方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
，
，
故选：D.
【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
4．D
【分析】直接利用反比例函数增减性得出的取值范围即可．
【详解】解：根据题意，反比例函数的图像在某象限内，随着的增大而减小，
则有，解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
5．A
【分析】根据余弦等于邻边比斜边，进行求解即可．掌握余弦的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
故选A．
6．D
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
7．B
【分析】证即可利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵
∴
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．注意确定对应线段．
8．D
【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．
【详解】解：
A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；
B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；
C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD BC变形为，则△ABC∽△DCA；
D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA．
故选择：D．
【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．
9．B
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
10．B
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线, 再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．
【详解】过点B作BE⊥x轴于点E，
∵D为OB的中点，
∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE，
设A（x，），则B（2x，），
故CD=，AD=，
∵△ADO的面积为1，
∴AD OC=1，，
解得，
∴．
故选B．
11．
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值等知识点，根据根与系数的关系可得，然后再化简，最后整体代入即可解答；掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的方程的两实数根分别为m，n，
∴，
∴．
故答案为．
12．
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，先确定原抛物线的顶点坐标，然后再求出平移后的顶点，根据平移后的顶点坐标写出平移得到的解析式即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∴平移后得到的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后得到的抛物线的解析式为．
故答案为．
13．2
【分析】此题考查方差，解题关键在于掌握方差的计算公式．先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【详解】解：这组数据的平均数是：，
则方差．
故答案为：2．
14．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】∵
∴，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线对称轴为直线，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴是解题的关键．
15．米##m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解．
【详解】解：在中，米，为，
（米）．
故答案为：米．
16．
【分析】先根据相似三角形的性质求出前几个正方形的边长，找出它们之间的关系，再求解．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
由题意得：，
即：，
又∵，
∴，
，
解得：，即：，
同理：，
，
解得：，即：，
同理：，
，
解得：，即：，
由此规律得：
线段的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的变化类规律，找出变化规律是解题的关键．
17．（1）；（2），
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，利用配方法解一元二次方程等知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
（1）先将特殊角的三角函数值代入，计算负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的混合运算即可作答；
（2）采用配方法即可求解．
【详解】（1）解：
原式
；
（2）解：
，．
18．（1）k＜4；（2）m=0或．
【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；
（2）根据解方程，可得x2﹣4x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【详解】解：（1）由一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，得
=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4k＞0，
解得k＜4；
（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0，得
x2﹣4x+3=0，
解得x1=1，x2=3，
一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，
当x=1时，把x=1代入x2+mx﹣1=0，得1+m﹣1=0，解得m=0，
当x=3时，把x=3代入x2+mx﹣1=0，得9+3m﹣1=0，解得，
综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，m=0或．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程的知识是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，根据菱形的性质得到等式，即可得到答案；
（2）由菱形的性质得到，然后证明便可计算答案．
【详解】（1）解：，，
，
设，则，
菱形，
，
，
解得，
；
（2）解：，
由（1）可得，
在，由勾股定理可得，
菱形，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值，勾股定理的应用，菱形的性质以及平行线的性质，熟练掌握三角函数值和勾股定理的应用是解题的关键．
20．(1)30，0.4，0.3
(2)见解析
(3)估计在知识竞赛中取得90分以上的学生有1080名
【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可解答；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）用360乘以90分以上的学生的频率即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，
，．
故答案为：30，0.4，0.3．
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：名．
答：在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有1080．
【点睛】本题主要考查了频数分布表、频数分布图、用样本频数估计整体频数等知识点，理解频数分布表、频数分布图是解答本题的关键．
21．(1)见解析
(2)9
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，
（1）根据题意得即可判定相似；
（2）根据面积比为边长比的平方即可得，可求的答案．
【详解】（1）证明：在和中，
∵．
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）∵，且，
∴，
∵，
∴．
22．(1)二、三这两个月的月平均增长率为
(2)当商品降价5元时，商品获利4250元
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得：，（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可；
（2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点．
由题意得，，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴．
答：古塔的高度．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质以及已知条件可得，，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，根据，即可得证；
（3）根据矩形的性质以及已知条件，得出∠CAD=∠ABE，进而根据余弦的定义，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
又，
；
（2），
：：，
又，
；
（3）解四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，余弦的定义，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)存在，①当时，；②当时，
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得到结论；
（2）过点作于，把代入得，得到，求得，求出，进而可得到结论；
（3）分两种情况求解即可：①当轴时，，②当时，．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：过点作于，
把代入得，
，
，
，
，
，
．
（3）解：存在．理由如下：
，
，
①当轴时，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
，
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件点的坐标为，．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识，解题关键是正确的作出辅助线．
