第二十八章 锐角三角函数 单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．
【详解】解：依题意，，如图所示，
，故A选项错误，
，故B选项正确，
，故C选项错误，
，故D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）已知在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求余弦，勾股定理，先根据勾股定理求得斜边的长，进而根据余弦的定义求解是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
3．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用等角的余弦值相等列等式即可作答．
【详解】如图，
由图可知：，，，
∵线段a与直尺垂直，
∴，
∵线段b与数轴垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点D表示的数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的余弦值的知识，掌握余弦的定义是解答本题的关键．
4．（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
【答案】A
【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度．
【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，
∵坝高，CF⊥AB，
∴DE=CF=5cm
又斜坡的坡比为
∴BF=12cm，
在RtBCF中
BC=
=
=13cm
【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．
5．（2022上·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为( )
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】连接，，根据勾股定理可以得到，则是等腰三角形底边上的中线，根据三线合一定理，可以得到是直角三角形．根据三角函数的定义就可以求解．
【详解】如图，连接，，设正方形的网格边长是，则根据勾股定理可以得到：
，，
在中，由等腰三角形三线合一得：，
则，
，
故选：B．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念，注意到图中的等腰三角形是解决本题的关键．
6．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】由图，可证，得．连接，则，得．
【详解】解：由图知，
∴．
∴．
连接，则，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数；添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
7．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少．结果精确到1米；参考数据：，
A．332 B．333 C．334 D．335
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,勾股定理．根据题意可得：，先在中，利用含角的直角三角形的性质求出，的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
在中，米，，
米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
飞船从到处的平均速度．
故选：D．
8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，设，由矩形的性质得，由折叠得，，则，因为，所以，，可求得，由勾股定理得，求得符合题意的值为3，则，，所以，于是得到问题的答案．正确地找到全等三角形的对应边并且用代数式表示线段、、的长是解题的关键．
【详解】解：设，
四边形是矩形，，，
，
由折叠得，，
，
，
，，
，且，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
，，
，
故选：．
9．（2023下·吉林长春·九年级校考期中）某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角（点是点的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘处离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，得到，再根据，得到，在中根据三角函数即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
在中，
∴此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
10．（2023·山东日照·校考三模）如图，点A、B、C在上，且AB经过点O，，，动点D在AB上，过点D作DE AB，交折线于点E，设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可求，①点在上时，可求，从而可求面积解析式；②当点在上时，可求，从而可求面积解析式；进而可求解．
【详解】经过点，
，
，
，
①如图，点在上时，
，
，
，
，
，
；
图象为过原点的开口向上的一段抛物线；
②当点在上时，连接
，，
，
；
图象为一段开口向下的抛物线；
故选：．
【点睛】本题考查了三角函数，二次函数在动点问题与面积问题中的应用，掌握三角函数的定义，求出点在上和点在上的函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ．
【答案】
【分析】坡比，即坡面的垂直高度和水平宽度的比，即坡角的正切值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，，，，
∴设，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坡比的概念及计算方法，掌握其概念和计算方法是解题的关键．
12．若为锐角，，则 .
【答案】
【详解】∵，tan60o=,
∴=,
又∵为锐角,
∴a=．
故答案是．
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．
【答案】
【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可．
【详解】解：由题意，得：海里，
∴海里；
∴渔船每小时航行海里；
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在中，，， ，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】求出线段、，再根据点与圆得位置关系判断即可．
【详解】解：∵在中，，， ，
∴，
∴，
∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出，．
15．（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，与相交于点G，连接交于点H．若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点H作，垂足为M，根据正方形的性质得，，，，根据勾股定理得，根据得，利用证明，则，根据得，则，根据得是的垂直平分线，则，，，根据得，根据得，则，在中，，，，进行计算得，即可得．
【详解】解：如图所示，过点H作，垂足为M，
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，，，
即，
，
，
，
∴的面积为：
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点，构造辅助线．
16．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，在四边形中，，E是线段上的一动点，．
（1）当时， ；
（2）当时，点E到的距离是 ．
【答案】 21
【分析】（1）由题意得，证明，则，即，解得，；
（2）由题意得，如图，过作于，于，由（1）得，则，即，设，，则，，，，，，，，由勾股定理得，，即，整理得，，由勾股定理得，，即，整理得，，则，设点E到的距离为，由，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，，
故答案为：21；
（2）解：∵，
∴，
如图，过作于，于，
由（1）得，
∴，即，
设，，
则，，
∴，，，，
∴，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
∴，
设点E到的距离为，
∵，
∴，
解得，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值．
（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答；
（2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．
【答案】．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
在中，，即，
，
根据勾股定理得：，
在中，，即，
．
19．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，求：
(1)弦的长；
(2)的正切值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）作于，则，由得到，得到，设，则，，由得到，由勾股定理得，求出的值即可得到答案；
（2）由（1）得：，，，根据正切的定义进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，作于，则，
，
，
，
，
设，则，
，
，
是的弦，，
，
，且是的直径，
，
在中，，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
，，
；
（2）解：由（1）得：，，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
20．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，且，求．
【答案】(1)见详解；
(2)．
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识点．
（1）先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，接着根据线段垂直平分线的性质得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；
（2）利用菱形对角线求出菱形面积和边长，再根据求出即可．
【详解】（1）证明：四边形为平行四边形，
∴，
，
垂直平分，
，，
，
，
在和中
，
，
，
四边形为平行四边形，
垂直平分，
四边形是菱形；
（2）解：如图，作垂足为，
，，四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）阅读材料完成下面问题：求一个锐角的三角函数值．我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，观察（图1）发现并不在直角三角形中，无法直接求其三角函数值．此类问题我们常常利用网格画平行线等方法解决，例如：连接格点M，N，可得，则，连接，那么就变换到中．
(1)直接写出图一中的值为__________；
(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值；
(3)如图3，，，点M在上，且，延长到N，使，连接交的延长线于点P，用上述方法构造网格求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）连接格点M，N，可得，则，连接，再利用定义求解即可．
（2）如图2中，取格点D，连接，，证明， 是等腰直角三角形，从而可得答案．
（3）如图取格点H，连接、，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【详解】（1）解：如图1中， 连接，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴， ，，
∴，
∴；
故答案为：2；
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
同理可得：，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）如图3中，如图取格点H，连接、．
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及逆定理的应用、平行四边形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．
22．（2023上·山东济南·九年级济南育英中学校考期中）遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为）用立柱固定在地面上的点O处，此时垂直于地面，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱上的滑动调节点，打开支架，伞面撑开如图②，其中，，，为中点，，根据生活经验，当太阳光线与伞口垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点，此时立柱与支梁夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为，滑动调节点到，使遮阳效果最佳，此对调节点滑动的距离约为多少？（，，，结果精确到）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，，由可得，从而得到，由即可得到柱与支梁夹角度数；
（2）过点作交于点，过点作交于点，可得四边形为平行四边形，根据，可得，再 利用可求出的长度，即可得到阴影的长度；
（3）过点作交于点，根据题可求出，由，，即可得到调节点滑动的距离；
【详解】（1）解：∵遮阳效果最佳，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
，
∵为中点，，
∴，，
∴立柱与支梁夹角度；
（2）解：如图，过点作交于点，过点作交于点，
∵，，
∴，，
，
∵，，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴,
∴阴影的长度为．
（3）如图，过点作交于点，
∵遮阳效果最佳，即，，
∴由四边形内角和知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
．
∴调节点滑动的距离约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形的判定及性质是解决本题的关键．
23．（2023上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________
【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）利用证明即可．
（2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，利用证明即可．
（3）过点Q作，证明计算即可．
（4）根据（1）得到，，利用三角函数求得得长度即可．
【详解】（1）∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）过点M作，交于点G，连接，交于点H，交于点P．
∵正方形，，
∴，，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，
∴,
∴．
故答案为：．
(3)过点Q作，证明
∵矩形，，
∴，，矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
故答案为：．
(4) ∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角函数的应用，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用是解题的关键．
第二十八章 锐角三角函数 单元测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在中，为最大角，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）已知在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，是嘉琪用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，图中线段a与直尺垂直，线段b与数轴垂直，则点D表示的数是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（ ）
A．13m B．8m C．18m D．12m
5．（2022上·安徽滁州·九年级校联考阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为( )
A． B． C．1 D．
6．（2022上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，是半圆的直径，弦相交于点P，那么（ ）
A． B． C． D．以上都不对
7．（2023上·湖南永州·九年级校联考期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点．如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面O处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为多少．结果精确到1米；参考数据：，
A．332 B．333 C．334 D．335
8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，四边形为矩形纸片，，现把矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处（不与重合），点落在处，此时，交边于点，设折痕为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·吉林长春·九年级校考期中）某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角（点是点的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘处离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东日照·校考三模）如图，点A、B、C在上，且AB经过点O，，，动点D在AB上，过点D作DE AB，交折线于点E，设，的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．一个斜坡的坡角为度，它的坡比 ．
12．若为锐角，，则 .
13．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行 海里．
14．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在中，，， ，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是 ．
15．（2022上·广东广州·九年级广州大学附属中学校考自主招生）如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，与相交于点G，连接交于点H．若，，，则的面积为 ．
16．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）如图，在四边形中，，E是线段上的一动点，．
（1）当时， ；
（2）当时，点E到的距离是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2023上·山东青岛·九年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（2023上·湖南岳阳·九年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．
19．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，求：
(1)弦的长；
(2)的正切值．
20．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线分别与，，相交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，且，求．
21．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）阅读材料完成下面问题：求一个锐角的三角函数值．我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形，观察（图1）发现并不在直角三角形中，无法直接求其三角函数值．此类问题我们常常利用网格画平行线等方法解决，例如：连接格点M，N，可得，则，连接，那么就变换到中．
(1)直接写出图一中的值为__________；
(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值；
(3)如图3，，，点M在上，且，延长到N，使，连接交的延长线于点P，用上述方法构造网格求的值．
22．（2023上·山东济南·九年级济南育英中学校考期中）遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为）用立柱固定在地面上的点O处，此时垂直于地面，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱上的滑动调节点，打开支架，伞面撑开如图②，其中，，，为中点，，根据生活经验，当太阳光线与伞口垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点，此时立柱与支梁夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为，滑动调节点到，使遮阳效果最佳，此对调节点滑动的距离约为多少？（，，，结果精确到）
23．（2023上·山西运城·九年级统考期中）综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________
【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度．
