2023-2024学年浙江省杭州市西湖区丰潭中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．下列图形为旋转对称图形（即绕一个点旋转后能与原图重合的图形）的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3(x+2)2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位
3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C．π D．
4．若点，，是抛物线上的三点，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．在一个装有白球和红球的袋子里摸出黑球
B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心
C．过不在同一直线上的三个点确定一个圆
D．a是实数，
6．杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数的图像过点、，关于此函数图像与性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上 B．图像开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
8．如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A． B． C． D．a，b大小无法比较
9．下面的三个问题中都有两个变量：①某种商品以每件x元出售，可卖出件，该商品的销售总额y与售价x．②用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x．其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图,AB是半圆的直径,EF为⊙O的弦,为内一点,,,若点为弦的中点,连接QC．甲和乙分别得出一个结论:甲．;乙．．甲和乙所得结论正确的是（ ）．
A．只有甲正确 B．只有乙正确
C．甲乙都正确 D．甲乙都不正确
二、填空题
11．已知的半径为3，若点P在圆上，则 3（填“＞”、“＜”、“=”）．
12．已知二次函数的表达式为，则该二次函数的对称轴为直线 ．
13．杭州为保障国庆中秋双节交通顺畅及亚运会赛事活动顺利开展，赛事期间对竞赛场馆周边道路进行严格的交通管控措施．经过某个路口的汽车，它可以继续直行或者向右转，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为 ．
14．已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是 ．
15．如图，与的边相切，切点为B．将绕点B按顺时针方向旋转得到，边交线段于点C．若，则 度．
16．如图，是的弦，，且，若M，N分别为、的中点．（1）的最大值为 ．（2）面积的最大值为 ．
三、解答题
17．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值，并写出这个二次函数的表达式．
(2)判断该二次函数的图象是否经过点，并说明理由．
18．如图，，是已知上两点．
(1)点是上任意一点（不包括，），用直尺和圆规作以为底边的所有圆内接等腰．
(2)在（1）的条件下，若的半径为，，直接写出的度数．
19．在直角坐标系中，二次函数的图象经过点、．
(1)若点在函数图象上，则点的坐标可以是下列选项中的 ．（只填序号）①；②；③；④．
(2)若函数图象对称轴为直线，点在第一象限，求，的取值范围
20．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球后然后放回
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸出黑球的次数m 34 47 68 168 267 332
摸出黑球的频率 0.34 0.313 0.34 0.336 0.34 0.332
(1)根据上表数据，估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ．（结果精确到0.01）
(2)估算袋中白球的个数．
(3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
21．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
22．在体育课上，男生进行实心球投掷训练，实心球离手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系：
水平距离x/m 0 2 3 4 5
竖直距离y/m
(1)小强进行训练时，抛实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出小强抛出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
(2)小强改变了抛掷姿势，经多次训练后，实心球抛出的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．已知中考实心球的成绩满分标准是抛掷着陆时的水平距离至少为10米，若小强要获得满分，求a的取值范围．
23．在二次函数中．
(1)若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
(2)若点在抛物线上，令，求证：．
(3)如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
24．如图1，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，．
(1)求证：平分．
(2)如图2，延长，相交于点．
①求证：．
②若，，求的半径．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的概念分析即可．
【详解】解：A，B，D无法通过旋转一个小于的角度，只有选项C图形可以平分成3份，是旋转对称图形．
故选：C．
2．A
【分析】根据图象左移加，可得答案．
【详解】∵将抛物线y=3x2平移得到抛物线y=3（x+2）2，
∴这个平移过程是向左平移了2个单位.
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
3．C
【分析】此题考查了弧长公式，n是圆心角度数，R是半径，根据公式代入计算即可．
【详解】解：该扇形的弧长为．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．熟知二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：
解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，，是抛物线上的三点，
离对称轴的距离最远，在对称轴上，
，．
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查了事件的分类，根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义解答即可；掌握随机事件、不可能事件、必然事件的定义是解题的关键．
【详解】解：A．在一个装有白球和红球的袋子里不可能摸出黑球，故该选项属于不可能事件，不合题意；
B．亚运会射击运动员射击一次命中靶心可能发生，故该选项属于随机事件符合题意；
C．过不在同一直线上的三个点一定确定一个圆，故该选项属于必然事件，不符合题意；
D．a是实数，则，不可能出现,故该选项属于不可能事件，不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．
【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．根据可判断B，由图像过点、，得到对称轴为，从而判断C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再把代入求出函数值，即可判断A，利用根的判别式可判断D．
【详解】解：二次函数中，，
抛物线开口向下，故B错误；
图像过点、，
对称轴为直线，故C错误；
二次函数的图像过点、，
，
二次函数的解析式为，
当时，，
点不在函数图像上，故A错误；
令，整理得，
，
抛物线与直线有两个交点，故选项D正确．
故选：D．
8．A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，
∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查了函数图象、函数解析式等知识点，先分别求出各个问题的解析式、然后再判定图像是不是开口向下的抛物线即可解答；求出各个问题的解析式是解题的关键．
【详解】解：①商品的销售总额x，
是一个开口向下的二次函数，可以用如图所示的图象表示，故①符合题意．
②假设绳子长度为100，一边长为x，矩形的面积，
是一个开口向下的二次函数，可以用如图所示的图象表示，故②符合题意，
③将水箱中的水匀速放出，直至放完，变量y与变量x之间的函数关系成反比例关系，图像不是抛物线，故③不符合题意．
故选：A．
10．C
【详解】连接,,先证,设,则,,在中由勾股定理得,根据垂径定理及推论得,然后在中勾股定理得据此可得出,因此解出即可得的长．
【解答】解:连接,,
∵是的中点,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
∴,
故甲的说法正确;
设,则,,
在中,,,
由勾股定理得: ,
∵是的中点,点半圆的圆心,
∴,
在中,,,
由勾股定理得:,
∴,
整理得:,
∴（舍去负值）,
∴,
故乙的说法正确．
故选:C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及其推论,直角三角形的性质,勾股定理等,熟练掌握垂径定理及其推论,灵活运用勾股定理构造方程是解答此题的关键．
11．=
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点在圆上时，即为点与圆心的距离等于半径，据此即可作答．
【详解】解：∵点P在圆上，的半径为3，
∴．
故答案为：=．
12．##
【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称轴．根据二次函数图象的对称轴的公式，直接代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，
故答案为：．
13．##0.25
【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，先画出树状图，再根据概率公式即可求解，根据题意画出树状图是解题的关键．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中两辆汽车经过该路口全部继续直行的结果有1种，
∴两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为．
故答案为：．
14．##
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，正确理解x的方程有一个正的实数根即为函数与在第一象限内有一个交点，即可作答．
【详解】解：∵方程有一个正实数根，
∴函数与在第一象限内有一个交点，
∴，
∴．
故答案为：．
15．85
【分析】本题考查了切线的性质、三角形外角的性质、旋转的性质、等边三角形的判定及性质，连接，根据切线的性质得，再根据等边三角形的判定及性质和旋转的性质得，再利用三角形外角的性质即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：与的边相切，
，
，
连接，如图：
绕点B按顺时针方向旋转得到，且，
，，
，
为等边三角形，
，
，
．
故答案为85．
16． ##
【分析】（1）根据中位线性质得出，当取得最大值时，就取得最大值，连接并延长交于点，连接，根据三角函数求出，即可求出；
（2）根据的长固定为4，得出当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大，连接，，根据勾股定理求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵点M，N分别为、的中点，
∴，
∴当取得最大值时，就取得最大值，
连接并延长交于点，连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵的长固定为4，
∴当边上的高最大时，的面积最大，点B是优弧的中点时，边上的高最大，
如图，连接，，
∵点B是优弧的中点，
∴．
∵M是中点，
∴，且过O点，
由（1）得的直径为，则，
∵，
∴，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，勾股定理，中位线性质，垂径定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
17．(1)，
(2)二次函数的图象是不经过点，理由见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）通过计算自变量为时的函数值为，则可根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不在这个二次函数图象上．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
二次函数的表达式为：；
（2）二次函数的图象是不经过点，
理由：由（1）知：；
当时，，
二次函数的图象是不经过点．
18．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了尺规作图，垂径定理，三角函数的性质，解题的关键是掌握垂径定理和三角函数的性质．
（1）作的垂直平分线与的交点即为所求；
（2）由图可知，垂直平分，从而得到，，根据，可得，进而得到，由此即可解答．
【详解】（1）解：如图，和即为所求；
（2）连接设交于点，
由作图得：垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
的度数为或．
19．(1)④
(2)的取值范围为，的取值范围为
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）①②的横坐标和、的横坐标相同，所以①②不可能在二次函数的图象上，③与、共线，所以③不可能在二次函数的图象上，故选④；
（2）根据抛物线的对称轴，、的坐标可判断抛物线开口向下，与轴的另一交点为，再根据点在第一象限求出，的取值范围．
【详解】（1）解：①②的横坐标和、的横坐标相同，
①②不可能在二次函数图象上；
设经过直线的解析式为，
，
解得，
，
把代入得，
③这个点与、共线，
③不可能在二次函数图象上；
故点的坐标可以是④，
故答案为：④；
（2）函数图象对称轴为直线，点、，
抛物线开口向下，与轴的另一交点为，
点在第一象限，
m的取值范围为0＜m＜5，的取值范围为．
20．(1)0.33
(2)2
(3)
【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.33左右，即为摸出黑球的概率；
（2）设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；
（3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.33左右，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.33，
故答案为：0.33；
（2）解：设袋子中白球的个数为x，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴估算袋中白球的个数为2；
（3）解：列表如下：
白 白 黑
白 （白，白） （白，白） （黑，白）
白 （白，白） （白，白） （黑，白）
黑 （白，黑） （白，黑） （黑，黑）
由表知共有6种等可能结果，其中他两次都摸出白球的结果数为4，
∴他两次都摸出白球的概率为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论；
（2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数；
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
即：
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键．
22．(1)实心球竖直高度的最大值是，抛物线的函数解析式为
(2)抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确读懂表格，利用表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）根据表格中的数据求出顶点坐标为，则抛物线解析式为，再把代入抛物线解析式中计算求解出抛物线解析式，再根据，即可求出实心球的竖直高度的最大值；
（2）先求出水平距离恰好为10米时a的值，再由水平距离越大，则开口越大，即a的值越大，由此可得答案．
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴在时，实心球的竖直高度最大，最大为；
（2）解：当着陆时的水平距离为10米时，即时，，
∴，
解得，
∵抛掷着陆时的水平距离越大，说明抛物线开口越大，
∴抛掷着陆时的水平距离大于10米时，，
∴，
∴抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是．
23．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可；
（2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．
24．(1)证明见解析
(2)①证明见解析，②的半径长为5
【分析】（1）由点为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明平分；
（2）由是的直径，得，由，，得；
②连结，则，由，，由平行线的性质得，则，所以，而，则，所以，设的半径为，则，，由勾股定理得，求出符合题意的值即可．
【详解】（1）证明：点为的中点，
，
，，
平分．
（2）①证明：是的直径，
，
，
，，
．
②解：如图2，连结，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
的半径长为5．
【点睛】此题重点考查垂径定理、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定、平行线的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
