九年级数学12月课堂练习
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（ ）
A．10 B．5 C．3 D．1
4．若某圆弧所在圆的半径为2，弧所对的圆心角为，则这条弧长为（ ）
A． B． C． D．
5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
8．已知点，，在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，是上的一点，于点，以为直径作，当与的交点落在上时，的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．的面积
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
11．某工厂对一批衬衣进行抽检，随机抽取大量的衬衣后，算得合格衬衣的频率为0.9．估计在这一批衬衣中，1200件衬衣中有 件是合格的．
12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 .
13．如图，交于点，，，的半径为5，则的长为 ．
14．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
15．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，的半径为，点P是优弧 的中点，则的面积为 ．
16．以初速度（单位：从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为，经过时间落回地面，运动过程中小球的最大高度为．若，则 ．
三、解答题（本大题共8大题，共66分）
17．如图，已知抛物线经过点．
(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出y的取值范围．
18．小明和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：，是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小明去观看，否则小亮去观看．
（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是_________；
（2）这个游戏对双方公平吗？请说明理由（用树状图或列表法）．
19．如图，，AB交于点C，D，OE是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
20．如图，在中，是边上一点．
(1)当时，
①求证：；
②若，，求的长；
(2)已知，若，求的长．
21．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一颗古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．
(1)小丽先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度；
(2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？
22．如图，在锐角中，是最短边．以为直径的，交于D，过O作，交于E，连接、、．
(1)求证：；
(2)若，，求的度
(3)若，，求的长．
23．根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案
素材1 图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示． 某时测得水面宽，拱顶离水面最大距离为10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
素材2 为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）
问题解决
任务1 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
任务2 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
任务3 探究救生绳长度 当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保留整数）
24．如图1，四边形内接于，为直径，上存在点，满足，连接并延长交的延长线于点，与交于点．
(1)若，请用含的代数式表示；
(2)如图2，连接，．求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，，求的最小值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了成比例线段，将化为代入即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：B．
3．A
【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可．
【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球，
∴摸到红球的可能性为；
摸到黑球的可能性为，
∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是概率问题，重点考查求概率的公式，根据求概率的公式判断，或者根据概率定义判断都可．
4．C
【分析】本题考查了弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长（n是弧所对应的圆心角度数），带入计算即可．
【详解】解：，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握，计算即可．
【详解】解：设，
四边形是正方形，
，
矩形是黄金矩形，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
故选：D．
6．C
【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，，
设为x，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
得，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．B
【详解】解：∵一次函数y=（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，即-1＜m＜0，
∴函数有最大值，
∴最大值为，
故选B．
8．D
【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【详解】解：∵点，，
∴点B与C关于y轴对称，故B，C错误；
∵，，
∴当时，y随x的增大而增大，故A错误，D正确．
故选：D．
9．C
【分析】当CH与PB的交点D落在⊙O上时，因为HP是直径，可以判定BP⊥HC，再证BP垂直平分HC，求出BH的长度，最后证△AHP∽△ACB，即可求出AP的长度．
【详解】解：如图所示，
当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴，
∴HD2＝PD BD，
同理可证CD2＝PD BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝6，
在Rt△ACB中，
AB10，
∴AH＝10﹣6＝4，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即，
∴AP＝5，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够根据题意画出图形，判断出∠HDP＝90°．
10．D
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，，，．
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换．
11．1080
【分析】根据频数=总数频率，即可得答案．
【详解】∵（件），
∴1200件衬衣中有1080件是合格的．
故答案为：1080．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解总数、频率和频数之间的关系及熟记频数的计算公式是解题的关键．
12．y＝x2＋1．
【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等．
13．
【分析】利用垂径定理，构造直角三角形，再运用勾股定理解题．
【详解】过O点作于P，连接，，
则，，
在中，，
在中，OP=．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
15．
【分析】过点B作于点C，根据点P是优弧的中点，得到，征得是等腰直角三角形，设，得到，，再根据得到，最后根据得到最终的答案．
【详解】试题解析：过点B作于点C，
∵点P是优弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查圆的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理，通过圆周角定理证得是等腰直角三角形是解题的关键．
16．1.1：1
【分析】根据题意可得，再由，可得当时，，当时，，然后根据，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：当h=0时，或0（舍去），
∴，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴，
解得：，
∴，即．
故答案为：1.1∶1
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，理解题意，求出是解题的关键．
17．(1)，顶点坐标；
(2)
【分析】（1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）根据抛物线的顶点坐标，对称轴为直线，可知时，当时，取得最小值，当时，取得最大值，即可求出y的取值范围．
【详解】（1）解：将代入，得：
解得：
此抛物线的顶点坐标为．
（2）解：由（1）可知抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，y的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，懂得把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
18．（1）；（2）游戏是公平
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）用列表法表示出有等可能的结果数和配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）转动转盘一次，转出蓝色的概率是，
故答案为：；
（2）这个游戏公平，理由如下：
用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有6种可能出现的结果，其中配成紫色的有3种，配不成紫色的有3种，
，
，
因此游戏是公平．
【点睛】本题考查游戏公平性，列表法或树状图法求随机事件的发生的概率，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的前提．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论；
（2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
设的半径是，
，
，
，
的半径是．
【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；
（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先在直角三角形中，由勾股定理求得，再利用直角三角形和相似求得的长，加上，即可求得树高．
（2）利用直角三角形和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米．
【详解】（1）∵，且，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：古树的高度是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：小丽向前移动了7m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理，解题的关键是证明三角形的相似．
22．(1)证明见解析；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识．
（1）易证，，从而可知，即；
（2）延长交于点G，易证，由于，所以，所以；
（3）易证，由于，所以，由圆周角定理可知，从而可证明，利用三角形相似的性质即可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即；
（2）延长交于点G．
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
（3）∵O是中点，
∴
∵，
∴．
∵是直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
23．（1）；（2）可挂6个，（3）21 m
【分析】（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，待定系数法求解得．
（2）抛物线，得与横轴交点，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，由，得桥面可挂6个．
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，勾股定理求得中，（m）．
【详解】解：（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为，抛物线经过，，得
，解得
∴．
（2）抛物线，令，，解得或10
∴点
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵
∴左侧可挂3个，桥面可挂6个．
最右侧位于点上方1m处，即点．
（3）
如图，当水位达到最高时，水位线为，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当时，，，，
中，（m），故至少需21 m．
【点睛】本题考查二次函数待定系数法确定解析，图象性质，勾股定理，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
24．(1)
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）利用直径所对的圆周角为和在同一圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得结果；
（2）证线段相等只需证线段所在的两个三角形全等即可．利用全等三角形的判定可得可得结论；
（3）过点作于，可得，得，由相似三角形的判定可得，设，由相似的性质得，在中，由勾股定理知，即可得最小值．
【详解】（1）解：为的直径，
，
，
，
；
（2）证明：为的直径，
，
，
，
，，
，
又，，
，
；
（3）解：如图，过点作于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
当时，的最小值为3，
的最小值为．
【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等基本知识点．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
