2023-2024学年江苏省盐城市东台市七年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.若关于的一元一次方程的解为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列各图是正方体展开图的是( )
A. B. C. D.
5.下列四个数中，是无理数．( )
A. B. C. D.
6.下列画图语句中，正确的是( )
A. 画射线 B. 画出、两点的距离
C. 延长射线 D. 连接、两点
7.如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中的天平保持平衡，现要使中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码( )
A. 克 B. 克 C. 克 D. 克
8.如图，下列各图都是由小正方形组合而成，按照各图的组合规律继续添加小正方形，则第个图形中共有个小正方形．( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.单项式的次数是______．
10.已知，则它的余角为______ ______
11.若单项式与是同类项，则______．
12.据统计，盐城年中秋、国庆假期全市级旅游景区共接待游客万人次，把数据万用科学记数法表示为______．
13.如图，、两个村庄在一条公路不计河的宽度的两侧，现要建一公交站台，使它到、两个村庄的距离之和最小，图中所示的点即为所求的公交站台的位置，那么这样做的理由是______．
14.如果代数式的值为，那么代数式的值为______．
15.设有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简 ______．
16.七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐人如果增加一辆客车，每辆正好坐人，则七年级共有学生______人
17.如图，已知直线上顺次三个点、、，已知，是的中点，是的中点，那么______．
18.如图所示的纸片，平分，如图把沿对折成与重合，从点引一条射线，使，再沿把角剪开，若剪开后得到的个角中最大的一个角为，则 ______
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.先化简，再求值：，其中．
四、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：
；
．
21.本小题分
解下列方程：
；
．
22.本小题分
如图，已知．
试用量角器或三角尺在的下方画的余角；
画射线的反向延长线，若，求的度数．
23.本小题分
在平面内，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中三角形为含角的直角三角板，三角形为含角的直角三角板．
如图，若点在上，则的度数为______；
如图，若，则的度数为______；
如图，若，求的度数；
如图，若，求的度数．
24.本小题分
定义：关于的方程与方程、均为不等于的常数称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”．
若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则 ______；
若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值；
若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值．
25.本小题分
若一个两位数的十位和个位上的数学分别为，，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
甚础尝试
填空：
如果要用数字，，组成一个三位数各数位上的数不同，那么组成的数中最大的三位数是______；最小的三位数是______．
问题探究
若一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除．
拓展运用
黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：
任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同计算中可放在百位，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数例如：若选的数为，则，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；
任意找一个能够被整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次如，所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加如此重复运算下去，就能得到一个固定的数 ______，我们称它为数字黑洞，为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘
26.本小题分
在同一直线上的三点、、，若满足点到另两个点、的距离之比是，则我们就称点是其余两点的亮点或暗点．
具体地，当点在线段上时，若，则称点是【，】的亮点；若，则称点是【，】的亮点；当点在线段的延长线上时，若，称点是【，】的暗点．
例如：如图，数轴上，点、、、分别表示数、、、，则点是【，】的亮点，又是【，】的暗点；点是【，】的亮点，又是【，】的暗点．
如图，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为．
【，】的亮点表示的数是______；【，】的亮点表示的数是______；
【，】的暗点表示的数是______；【，】的暗点表示的数是______．
如图，数轴上，点所表示的数为，点所表示的数为一只电子蚂蚁从点出发，以个单位每秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒．
求当为何值时，是【，】的暗点．
求当为何值时，、、三个点中恰有一个点为其余两点的亮点．
友情提醒：注意是【，】的亮点与是【，】的亮点不一样哦
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是；
故选：．
根据乘积是的两数互为倒数解答即可．
本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误，不符合题意；
B、，无法合并，故此选项错误，不符合题意；
C、，无法合并，故此选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：．
直接利用整式的加减运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：将代入方程可得：，
，
故选：．
将代入原方程即可求出答案
本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意“一”、“”、“田”、“凹”等字型的都不是正方体的展开图．
根据正方体的展开图有“”型，“”型、“”型、“”型四种类型，其中“”可以左右移动即可判断．
【解答】
解：“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
B.是正方体的展开图，故选项正确；
C.不是正方体的展开图，故选项错误；
D.不是正方体的展开图，故选项错误．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、是有理数，故此选项错误；
B、是无理数，故此选项正确；
C、是有理数，故此选项错误；
D、是有理数，故此选项错误；
故选：．
直接利用有理数以及无理数的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了实数，正确掌握相关定义是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：、射线无限长，所以选项不符合题意；
B、量出、点的距离，所以选项不符合题意；
C、射线不需要延长，只能反向延长射线，所以选项不符合题意；
D、用直尺可以连接、两点，所以选项符合题意．
故选：．
利用射线的定义对、进行判断；根据两点间的距离的定义和线段的定义对、进行判断．
本题考查了作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
7.【答案】
【解析】解：设苹果重为克，香蕉重为克，
，，
相加得：，
．
需要在天平右盘中放入砝码克，
故选：．
根据等式的性质即可求出答案．
本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质．
8.【答案】
【解析】解：由所给图形可知，
第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为：；
第个图形中小正方形的个数为：；
，
由此可见，第个图形中小正方形的个数为个，
当，即时，
个，
即第个图形中小正方形的个数为个．
故选：．
依次求出图形中小正方形的个数，发现规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现第个图形中小正方形的个数为个是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：单项式的次数是．
故答案为：．
根据单项式的概念即可求出答案．
本题考查单项式，解题的关键是熟练掌握单项式的概念，本题属于基础题型．
10.【答案】
【解析】解：，
它的余角．
故答案为：；．
用减去的度数，求出的差就是它的余角的度数．
本题主要考查余角，熟练掌握求一个锐角的余角的方法和度分秒的换算方法是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由同类项的概念可知：，，
解得：，，
，
故答案为：．
根据同类项的概念即可求出答案．
本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的概念，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】解：万．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
13.【答案】两点之间，线段最短
【解析】解：图中所示的点即为所求的公交站台的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．利用线段的性质进行判断即可．
此题主要考查了线段的性质，关键是掌握：两点之间，线段最短．
14.【答案】
【解析】解：，
原式．
由于的值为，故只需把要求的式子整理成含的形式，代入求值即可．
做此类题的时候，应先得到只含未知字母的代数式的值为多少，把要求的式子整理成包含那个代数式的形式．
15.【答案】
【解析】解：由数轴可知，
则，，，
则原式
．
故答案为：．
根据数轴可知，再判断出，，，最后去绝对值即可得出答案．
本题主要考查数轴和绝对值，解决本题的关键是掌握去绝对值的方法．
16.【答案】
【解析】解：设七年级共有名学生
则根据题意有：，
解得，
答：七年级共有名学生．
故答案为：．
学生数为未知量，每辆车的载重学生数是已知的，应根据等量关系：每辆车坐人所需车辆数每辆车坐人所需车辆数列方程解答即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找到关键描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17.【答案】
【解析】解：，．
，
是的中点，
；
是的中点，
，
．
故答案为：．
由，于是得到，根据线段中点的定义由是的中点，得到，根据线段的和差得到，于是得到结论．
此题主要考查了两点之间的距离，线段的和差、线段的中点的定义，利用线段差及中点性质是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：沿对折成，
；
又，
，
，
．
故答案为：．
根据题意先求出的度数；再根据求出的度数；最后根据对折求出的度数．
本题考查了角的计算和角平分线的定义，解题的关键是根据角之间的数量关系来解答．
19.【答案】解：原式，
当时，原式．
【解析】原式去括号合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先将减法转化为加法、并计算乘法，再计算加减即可；
先计算乘方、并将除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加法即可．
本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】解：去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：．
【解析】方程去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解；
方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为，求出解．
22.【答案】解：如图，为所作；
，
，
与互余，
．
【解析】作得到；
先画出图形，再利用邻补角的定义得到，然后利用互余计算出的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了余角、补角．
23.【答案】
【解析】解：如图，
、，
，
故答案为；
如图，
、，
，
，
，
故答案为．
如图，
、，
，
，
，
，
；
如图，
，，
．
根据、，再利用可得答案；
根据、，得到，再利用可得答案；
根据、，得到，再利用可得答案；
根据，，即可求得．
本题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角板各个角的度数．
24.【答案】
【解析】解：与方程互为“错位方程”，
．
故答案为：；
将写成的形式，
将写成的形式，
与方程互为“错位方程”，
，
，
、的值分别是，；
的“错位方程”为，
由得，，
当，得，
与的解均为整数，
与都为整数，
也为整数，
当时，，，都为整数，
当时，，，都为整数，
的值为．
根据“错位方程”的定义直接可得答案；
将“错位方程”组成方程组求解可得答案；
根据“错位方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
此题考查的是新定义，一元一次方程的应用，以及解二元一次方程组，能够正确理解概念是解决此题关键．
25.【答案】
【解析】解：，
用数字，，组成一个三位数各数位上的数不同中，最大的三位数是，最小的三位数是，
故答案为：；；
证明：设一个三位数各数位上的数由，，三个数字组成，且，
则所组成的最大三位数为：，最小三位数为：，
所组成的最大三位数与最小三位数之差为：
，
，为正整数，
组成的最大三位数与最小三位数之差可以被整除；
若选的数为，则用，以下按照上述规则继续计算：
，
，
，
故答案为：；
当任选的正整数为时，
，
，
，
，
能得到一个固定的数．
故答案为：．
根据题意写出即可；
由题意得：组成的最大三位数为：，最小三位数为：，用最大的数减去最小的数，去括号、合并同类项，再因式分解即可；
选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可；
选取满足题干的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可．
此题是阅读类题型，主要考查有理数的混合运算，整式的加减，数字的变化规律等，此题综合性强，难度较大，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，，
【，】的亮点表示的数是；【，】的亮点表示的数是，
故答案为，；
，，
【，】的暗点表示的数是；【，】的暗点表示的数为，
故答案为，；
设运动时间为秒，则，
易得方程．
所以．
当是【，】的亮点时，，
，
解得；
当是【，】的亮点时，，
，
解得；
当是、的亮点时，，
解得；
当是、的亮点时，，
，
解得；
综上所述：当为，，，时，、、中恰有一个点为其余两点的亮点．
根据亮点或暗点的定义即可求得；
根据亮点的定义列出方程，解方程即可．
本题考查了数轴和一元一次方程的应用，明确亮点和暗点的定义，根据定义列出方程是解题的关键．
第1页，共1页
