2023~2024学年怀仁一中高二年级下学期第一次月考
数学试题答案
1.D [因为a1=2,a 5 5n+1-2an=0,故{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故a6=a1q =2×2=64.]
2.C [因为a-b=(1,1,0),
所以(a-b)·c=(1,1,0)·(-1,2,2)=-1+2+0=1.]
3.B [由题意可设所求直线的方程为4x+2y+m=0,
将点A(2,1)代入直线方程4x+2y+m=0中,得4×2+2×1+m=0,解得m=-10,
所以所求直线的方程为4x+2y-10=0,即2x+y-5=0.]
4.A [∵A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),
∴AB→=(-1,1,0),A→C=(-1,0,1),设平面ABC 的法向量为n=(a,b,c),
AB→·n=0, -a+b=0,∴ A→ ∴ 令a=1,则n=(1,1,1),C·n=0, -a+c=0,
→ ( OA
→·n 1 3
又OA= 1,0,0),∴原点O 到平面ABC 的距离d= ]|n| = = .12+12+12 3
5.C [因为S9=S10
对于A,d=a11-a10>0,故A错误;
对于B,因为a10=0,d>0,则a9<0,故B错误;
对于C,因为a10=0,a9<0,
18(a +a ) 18(a
S = 1 18 = 9
+a10)
所以 18 <0,故C正确;2 2
对于D,因为a9<0,所以S9-S8=a9<0,所以S8>S9,故D错误.]
6.C [如图,过点P 向准线作垂线,垂足为A,
则|PF|=|PA|,
当CP 垂直于抛物线的准线时,|CP|+|PA|最小,此时线段CP 与圆C 的交点为Q,
因为准线方程为x=-4,C(6,2),
圆C 的半径为2,所以|PQ|+|PF|的最小值为|AQ|=|CA|-2=10-2=8.]
7.B [建立如图所示的平面直角坐标系,
x2
设|OA|=a,由已知设椭圆方程为 22+y =1,a
又|OP|=3,∠MPN=45°,所以直线PN 的方程为y=x-3,
由题意可知,当椭圆与直线相切时,|OA|最大,即主题公园的面积最大,
x2 2
联立 a2
+y =1,
得(1+a2)x2-6a2x+8a2=0,
y=x-3,
Δ=(-6a2)2-4·(1+a2)·8a2=0,解得a2=8,即|OA|=a=22≈2.8.]
1 1
8.B [设等比数列{a 2 2n}的公比为q,由a3=4,a5=1得a5=a3q ,即q = ,由于 ,所以 ,故4 an>0 q=2 an=
n-3
a3qn-3=4× 1 5-n,所以 5-n ,2 =2 bn=log2an=log2 =5-n
n(4+5-n) n(9-n){b } , 4,
S
S = = , n
9-n
故 n 为等差数列 且首项为 故 n 所以 = ,2 2 n 2
n(n+1)
S1 S2 S 9n-(1+2+3+…+n) 9n- 2 17n-n2
所以
1+2+
…+ nn =
,
2 = 2 = 4
该式是关于n 的二次函数, ,
17 S1 S2 Sn
其图象开口向下 对称轴为直线n= ,故当n=8或9时, + +…+ 取到2 1 2 n
最大值.]
高二数学试题答案 第1页,共5页
{#{QQABZYQUogCoAAJAAAgCAwEKCgIQkAEAAIoGRFAMsAABiBNABAA=}#}
2 2
9.ACD [
x
双曲线 2-
y
2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为bx±aa b y
=0,
圆心(2,0)到渐近线的距离d= 32-(22)2=1,
(,) |2b+a×0| 2b则点 20 到渐近线的距离d= =c=1
,于是a= 3b,c=2b,
a2+b2
2 x
2 2
由a =3b2,双曲线C 化为 y2- 2=1,又点 M(23,2)在双曲线C 上,3b b
12 2 x2 2
所以 22- 2=1,所以b =2,a
2=6,所以双曲线C 的方程为 y ,故 正确;
3b b 6
-2=1 A
由a= 3b,
3
所以C 的渐近线方程为y=± ,故 错误;3x B
c 23
双曲线C 的离心率e=a=
,故 正确;
3 C
x2 y2 ,
联立 6
-2=1 消去x 得y2+4y+4=0,因为Δ=0,故D正确.]
x- 2y+ 2=0,
10.ABD [设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q≠0),
, 1+d+2q=7, d=2,依题意 得 解得 则a =2n-1,b =2n,A,B都正确;1+2d+2q2=13, n nq=2,
于是c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,数列{cn}的前2n 项和
n( ) (( 1+4n-3 41-4
n) 4
S2n= a1+a 23+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)= 2 + 1-4 =2n -n+
(
3 4
n-1),
4
S9=S8+a9=2×42-4+3×
(44-1)+17=385,C错误,D正确.]
1 2
11.CD [如图,对于A项,由AD→=3A
→C+3AB
→ 得,3AD→=A→C+2AB→,
得(AD→-A→C)+2(AD→-AB→)=0,得CD→+2BD→=0,则B→C=3BD→,故A项错误;
1 1 1
对于B项,MN→=PN→-PM→= PB→+ P→C- PA→,得2MN→=PB→ →2 2 2 +PC-PA
→,
得4|MN→|2=|PB→|2+|P→C|2+|PA→|2+2PB→·P→C-2PB→·PA→-2P→C·PA→
=4+4+4+2×2×2×cos60°-2×2×2×cos60°-2×2×2×cos60°=8,
得|MN→|= 2,故B项错误;
对于C项,因为PA→·B→C=0,P→C·AB→=0,所以PA→·(BP→+P→C)=0,P→C·(AP→+PB→)=0,
将两式相加,得PA→·BP→+P→C·PB→=0,即PB→·(AP→+P→C)=0,得PB→·A→C=0,故C项正确;
,→ → → 2 2对于D项 PQ=PA+AQ=PA→+3AN
→=PA→+ (3 PN
→-PA→)
1 → 2 1= PA+ PN→= PA→
2 1
+ × (PB→+P→C)
1 → 1 → 1= →,故 项正确 ]3 3 3 3 2 3PA+3PB+3PC D .
12.BD [根据题意可知从第二层起,每一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数,即an-an-1=n(n
≥2),即an=an-1+n(n≥2),
对于A,因为a3=6,所以a4=a3+4=10,故A错误;
对于B,因为an-an-1=n(n≥2),所以an+1-an=n+1,故B正确;
对于C,因为a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),且a1=1,
… , n
(n+1)
所以上述各式相加得an-a1=2+3+ +n 故an=1+2+3+…+n= (n≥2),2
, n
(n+1) ( )
经检验 a1=1满足an= ,
nn+1
所以an= ,则 ,故 错误;2 2 a10=55 C
, 1 2对于D 由选项C可知a = =2
1 1
- ,
n n(n+1) n n+1
n 1
则∑ =2 1 1 1 … 1 1 2na 1-2+ ,故2-3+ +n-n+1 =n+1 D正确.]i=1 i
高二数学试题答案 第2页,共5页
{#{QQABZYQUogCoAAJAAAgCAwEKCgIQkAEAAIoGRFAMsAABiBNABAA=}#}
13.25
解析 设等比数列{an}的公比为q,则0
1 a6+a7 a6(1+q) a6 1 1
解得q= 或q=1(舍去),所以5 a +a =a (1+ )= 2= 2=1=25.8 9 8 q a6q q
25
3
14.2B
→C
解析 ∵PA⊥平面ABC,则PA⊥BC,
P→
1
C·B→C=(PA→+AB→+B→C)·B→C=PA→·B→C+AB→·B→C+B→C·B→C=0+6×6× +622 =54
,
→ → P
→C·B→C B→C 54 3
∴向量PC 在BC 上的投影向量为 · = B→C= B→C.
B→C B→C 36 2
2
15.4n-2
4n-1
解析 当n≥2时,an=Sn-S 2n-1=2n -2(n-1)2=4n-2,当n=1时,a1=S1=2满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=4n-2;
b1 1 b2 1 1
依题意,b1=2,b2= = ,则{ }的公比 ,于是 n-1 ,a2-a1 2
bn q=b = bn=b1q =2× n-11 4 4
所以数列{ } 2bn 的通项公式为bn= .4n-1
16.(0,1)
解析 设|PF1|=m,|PF2|=n,因为点P 在椭圆上,所以m+n=2a1, ①
又因为点P 在双曲线上,所以m-n=2a2, ②
由①+②得m=a1+a2,①-②得n=a1-a2,
2π
在△PF1F2 中,由余弦定理得|F F|2=m2+n21 2 -2mncos ,3
即4c2=(a +a )21 2 +(a1-a )22 -2(a1+a2)(a
1
1-a2)× - ,2
2 2
即4c2 2
3a a 3 1 1 4 1 3
=3a1+a2
1 2
2,即4= 2 + 2,即4= 2+ 2,所以1< 2< ,3 =4-
,
c c e1 e2 e1 e22 e21
1, 1·1 1 3 1 1令t= 2 则 2 2= 2 4- 2 =-3t2+4t∈(0,1),所以 ·e e ∈(0,1).e1 e1 e2 e1 e1 1 2
17.解 (1)过点(0,0)且与直线2x-y=0垂直的直线的方程为x+2y=0,
由题意可知,圆心C 即为直线x+2y=0与直线x+y-1=0的交点,
x+2y=0, x=2,联立 解得 故圆C 的半径r= 22+(-1)2= 5,x+y-1=0, y=-1,
因此圆C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=5. ………………………………………………………………… 4分
(2)由题意可知,圆心C 到直线l的距离d= 5-22=1.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,圆心C 到直线l的距离为1,满足条件;……… 6分
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+3=k(x-3),即kx-y-3k-3=0,
|2k+1-3k-3| |k+2| 3
由题意得d= = =1,解得k=- ,
k2+1 k2+1 4
3
此时直线l的方程为y+3=- (x-3),即4 3x+4y+3=0.
综上,直线l的方程为x=3或3x+4y+3=0.…………………………………………………………… 10分
y2 x2解 () : ( , ) a a18. 1 因为双曲线C 2- 2=1a>0b>0 的渐近线为y=± x,所以b b=2
,又焦点(0,c)到直线
a b y
=
|-c|
2x 的距离d= =1,所以c= 5,……………………………………………………………… 3分
22+(-1)2
2
又c2=a2+b2,所以a2=4,b2=1,所以双曲线C 的方程为y 24-x =1.
………………………………… 5分
高二数学试题答案 第3页,共5页
{#{QQABZYQUogCoAAJAAAgCAwEKCgIQkAEAAIoGRFAMsAABiBNABAA=}#}
(2)当直线l斜率不存在时,直线l:x=1与双曲线C 的交点坐标为(1,22),(1,-22),不符合题意,故直
线l的斜率存在.
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,由题知x1+x2=2,y1+y2=8,
y21
4-x
2
1=1,
联立 ………………………………………………………………………………………………2 7分y2 2 ,
4-x2=1
y2 21 y2 (y1+y2)(y1-y2)
两式相减得 2
4-4-x1+x
2
2=0,即 =(x1+x2)(x1-x2),4
(y1+y2)(y1-y2)
即( )( )=4,所以4k=4,解得 ,x1+x
k=1
2 x1-x2
所以直线l的方程为y-4=x-1,即x-y+3=0,……………………………………………………… 10分
经检验直线l:x-y+3=0与双曲线C 有两个交点,满足条件,
所以直线l的方程为x-y+3=0.………………………………………………………………………… 12分
19.解 (1)因为(a 2 2n+1-an)(an+1+an)=2n+1,所以an+1-an=2n+1,
又a1=1,当n≥2时,a2n=a21+(a22-a21)+(a23-a2 2 22)+…+(an-an-1)
n[1+(… ( ) 2n-1
)]
=1+3+5+ + 2n-1 = 2 =n
2,………………………………………………………… 4分
当n=1时,a1=1满足关系式a2n=n2,所以a2 2 *n=n ,n∈N ,
因为an>0,所以an=n.……………………………………………………………………………………… 6分
(2)由()
an n1 知bn= a = . …………………………………………………………………………………… 7分
2n 2
n
1 2 3 n 1 1 2 3 n-1 n
所以Sn=b1+b2+…+bn= … , … ,2+ 2+ 3+ +2 2 2n 2
Sn=22
+ + + + +
23 24 2n 2n+1
1 1
2 1-1 1 1 1 1 n 2n n n+2
两式作差得 Sn= + 2+ 3+…+ n- n+1= - n+1=1- n+1, ………………………2 2 10
分
2 2 2 2 11- 2 22
n+2
所以Sn=2- n .…………………………………………………………………………………………… 12分2
20.解 (1)∵抛物线y2=4x 的焦点为(1,0),
∴椭圆C 的半焦距c=1,
c 1
又椭圆C 的离心率e= = ,………………………………………………………………………………a 2 2
分
∴a=2,则b= a2-c2= 3.
x2 2
∴椭圆C 的方程为 +y =1.……………………………………………………………………………… 4分4 3
y=kx+m,
(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0,设l的方程为y=kx+m,联立 x2
+y
2
,
4 3
=1
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. ……………………………………………………………………… 7分
由Δ>0,可得m2<4k2+3.
-8km
设 M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2= ,3+4k2
6m
y1+y2=k(x1+x2)+2m= 2, ……………………………………………………………………… 10分3+4k
3m
-4km 3m 3+4k
2 3
∴P
3+4k2
,
3+4k2 ,∴kOP= ,-4km=-4k
3+4k2
∴kMN ·
3
kOP=- ,故4 kMN
·kOP 为定值.………………………………………………………………… 12分
高二数学试题答案 第4页,共5页
{#{QQABZYQUogCoAAJAAAgCAwEKCgIQkAEAAIoGRFAMsAABiBNABAA=}#}
21.解 (1)由已知,得当1≤n≤16时,(5n+20)×5×4≥200×5,解得6≤n≤16;………………………… 2分
当17≤n≤24时,(224-n-2n+50)×5×4≥200×5,解得17≤n≤18,
所以当6≤n≤18(n∈N*)时,采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入. ……………………… 4分
(2)当1≤n≤16时,{an}为等差数列,
16(a +a )
记{an}的前16项和为S16,a1=25,a16=100,S
1 16
16= ; ……………………………… 分2 =1000 6
当17≤n≤24时,记a17+a18+…+a24=T 7 6 08,T8=(2-2×17+50)+(2-2×18+50)+…+(2-2×24+
50)=(27+26+…+20)-2×(17+18+…+24)+50×8
8
27× 1- 12 8×(17+24)
= 1 -2× 2 +400=255-328+400=327.
…………………………………… 9分
1-2
所以S16+T8=1327,即采摘零售的总采摘量是1327公斤.
批发销售的销售总量为200×24=4800(公斤),24天一共销售1327+4800=6127(公斤),故农户不能24
天内完成销售计划.…………………………………………………………………………………………… 12分
22.解 (1)取BC 的中点Q,连接PQ,则PQ∥AB,PQ⊥AD,
因为△SAD 是等边三角形,P 为棱AD 的中点,所以SP⊥AD,
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SP 平面SAD,
所以SP⊥平面ABCD,又PQ 平面ABCD,所以SP⊥PQ,
1 3 23
则V 2S-ABCD= SP·AD·AB= AD = ,所以 ,则 ,……………………………… 分3 6 3 AD=2 SP= 3 2
如图,以P 为原点,PA,PQ,PS 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),C(-1,1,0),E 1,,30 ,F 1,1,3 ,2 2 2 2 2
CB→=(2,0,0),EF→= 10, ,2 0 ,PE→= 1,,3 ,2 0 2
设平面PEF 的法向量为n=(x,y,z),
n· →
1
EF=2y=0
,
直线BC 与平面PEF 所成的角为θ π0≤θ≤ ,则2
n·
1 3
PE→=2x+2z=0
,
→ n·
→
令z=-1,则n= 3,0,-1 ,所以sinθ= cos
CB 23 3
= = = ,
|n||CB→| 2×2 2
π
所以直线BC 与平面PEF 所成的角为 .…………………………………………………………………… 分3 5
(2)假设存在,设SE=λSA,λ∈[0,1],B(1,1,0),Q(0,1,0),A(1,0,0),S(0,0,3),
由(1)得PQ⊥AD,PQ⊥SP,因为SP∩AD=P,SP,AD 平面SAD,所以PQ⊥平面SAD,
则PQ→=(0,1,0)即为平面SAD 的一个法向量,…………………………………………………………… 7分
PB→=(1,1,0),SA→=(1,0,- 3),P→S=(0,0,3),SE→=λSA→=(λ,0,- 3λ),
则PE→=P→S+SE→=(λ,0,3- 3λ),设m=(a,b,c)为平面PEB 的法向量,
m·PB→ =a+b=0,则 m·PE→=λa+(3- 3λ)c=0,
令c=λ,则m=(3λ- 3,3- 3λ,λ),…………………………………………………………………… 9分
→·
则 cos
|PQ m| 3- 3λ 23
= → = = ,|PQ||m| 3(λ-1)2+3(1-λ)2+λ2 5
1
化简得3λ2+2λ-1=0,解得λ= 或λ=-1(舍去),3
23
所以存在点E 在靠近点S 的线段SA 的三等分点处,使得平面PEB 与平面SAD 夹角的余弦值为 5 .
………………………………………………………………………………………………………………… 12分
高二数学试题答案 第5页,共5页
{#{QQABZYQUogCoAAJAAAgCAwEKCgIQkAEAAIoGRFAMsAABiBNABAA=}#}
10.已知数列.是等差数列，乃：是等比数列+21一1，b:一2，a：b2一了，4：…b一13.记c.一
2023~2024学年怀仁一中高年级下学期第一次月考
aw为奇数·数列c.的前n项和为S.,则
lb,1为偶数，
1.am=2-1
B..=2
数学试题
C.5、-=1A09
ns2au+言r1)
(时间：120分钟满分：150分)
11.在四面体P一1B(中，下列说泌正确的有
一、选择题：本题共8小题.搿小题5分，共4ǜ分.杯钙小题给出的四个选项中，贝有一顶是符合题
A片Ai-AC+号Ai,期-i
日要求的
B.若四而体P-BC的各棱长都为2，M,V分别为P1,B:的中点，则：1V-1
1,在数列{an}中1一2，a-1一2u,-0,则等于
心.若P.t=0,P心.A宝=9，测P或.A衣=0
1.12
.16
.32
1).61
2.若a=(2,3,2),b=(12,2),e=(一1,2,2).则（一b)·c的值为
)
n.若Q为△A:的重心则-号p:号P1号p
.一1
B.0
.1
[D.2
12.南宋数学家杨杯所著前详解九章算法·商功中出规了如所示的形
3.过点1(2,1)且与南线1：2r一4y十3一0垂直的直线方程是
状后人称之为““垛”.“所垛“最上层有1个哦，第_二层有3个球，第
.x-2v=0
B.2x十y-5-0
层有6个球，…，依此类稚.设从上到下各层球数构成一个数列{a},则
(.2.r-y-3=0
I0.x-2y-4-0
4.心圳4(l,0,0),B(,1,0),((0,0,1),则原点()到平而1B的距离是
A.4:-9
B.4a11。-i产1
号
B.3
(.23
I).33
〔.-d1
D.12m
5.已知等差数列w的公差为d,前n项和为S。日S=SS:,则
三、填空题：本题共4小题，符小题5分，共20分.
.d0
B.0
C.50
I).S、S为
6.已知地物线y一16.x的焦点为F.,点P在抛物线上·点在园C:(.x一5》+〔y一2)一1上，则
13.心知各项均为正数且单调递凌的等比数列：“，满足a·3a15a.依次成等券数列，则：”：
a:a
.十|P|的最小值为
.1
B.6
(.8
D.10
1÷.如图，已知PA平啊43：，/A3一120，PA-43-B-5,则向量PC
,如图，某市规划在两条道路边沿M,P之问建造一个半椭圆形状的主
在B产卜：的投影向品等于
燃公树，其中B,B,为椭的短轴，)1为椭园的长半轴.已知(P一
8.
15.设数列u%:的前n项和为.，H5,一2n,{b。}为等比数列.H81一b.
3k,B.B,一2k,∠MN一1，为使主题公时的面积尽可能大，则
0:(e一i:)-b.,则dw-
|1|的收值应为21.111w31,732,将确到心.】k)
经
6如阁，已知P是箱罚C话+方一u1>6>0)和双阳线C:
A.2.9 km
B.2.8 km
.2.7ktr1
D).2.6 km
(u:心，b6)的交点F:F.是(：(C的公共焦点r1分别为(，（的
8.在：等比数列{以。}中，〔∈N),且《×一1，一1，。一log:.数列
离心米片∠FPF:子则，·的取位国为
的前”项和为8期当丹++…最大时m等于
3
四、解答题：本题共合小题，共而分.解答成文字说明、证明过程或演算北螺
7,〔I0分)巴排例：的圆心在直线xy一]=0上，且有线2x-y=0相切于点0,0).
A.8
B.8或9
C.16或17
D.17
(1)求圆'的方程：
二，选择题：本题共1小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题日发求.全
(2)直线1过点P(3,3)H与圆（相交，所得弦长为4，求直我↓的方程，
部选对的得分，部分选对的得2分，有选错的得心分.
Q已知双脚线C:-一1a>心，b>0经过点M(2万，厄)，并日它的一条渐近线被圆(x一2
|y=9所截得的歧长为4、2，则下列结论正确的是
(的方型为--
B.(的渐近线方程为y一+3
cC的齿心*为的
D.直线x一泛y十挖=0与C只有个公共点
高二数学试题第1页·共4页
高二数学试题第2顶，共4页
