一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 (3) 它的图象关于点 3 , 0 对称； (4)若 ∈ 0,
2 ，则 ∈ 3, 2 ；则上述结论正确
1.已知集合 = { |1 < < 6, ∈ }， = 2,3 ， = 2,4,5 ，则( ) ∩ =( )
的个数为 ( )
A. 4,5 B. 2,3,4,5 C. 2 D. 2,4,5
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 1. + 1 > 0是 < 1成立的 ( ) 2 27.抛物线 2 = 2 ( > 0) 的焦点为 ，其准线与双曲线 4 2 = 1的渐近线相交于 、 两点，
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
若△ 的周长为 4 2，则 =( )
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 2 B. 2 2 C. 8 D. 4
3.如图，已知函数 的图象关于坐标原点对称，则函数 的解析式可能是( )
8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍
A. ( ) = 2ln B. ( ) = ln
[ ú é ]”的五面体(如图)，四边形 为矩形，棱 // .若此几何体中， = 6， =
C. ( ) = ln D. ( ) =
2， 和 都是边长为 4的等边三角形，则此几何体的体积为 ( )
4.党的二十大报告提出，要加快发展数字经济，促进数字经济与实体经济的深度融合，数
字化构建社区服务新模式成为一种时尚.某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字
化社区服务的满意度，满意度采用计分制(满分 100分)，统计满意度绘制成如下频率分布直
A. 32 2 B. 44 3 C. 56 2 D. 64 33 3 3 3
方图，图中 = 3 .则下列结论不正确的是 ( )
2 + 6 7 ≥ 3 , 2
A. = 0.01 9.已知函数 = log + 1 1 < < 3 ,若关于 的方程 + + + 2 = 02
B. 满意度计分的众数为 80分 有 6个根，则 的取值范围为 ( )
C. 满意度计分的 75%分位数是 85分 A. ∞, 2 2 3 B. 2,2 2 3 C. 2, +∞ D. 2,2 2 3
D. 满意度计分的平均分是 76.5 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
0.6 2
5 1.已知 = 1 ， = log1 ， = 4 ，则 ， ， 的大小关系是 ( ) 10.已知复数 满足 1 + 2 = 4 3 (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部为 ．2 2 9 3
11.若( 2 1 A. < < B. < < C. < < D. < < 3 ) 的展开式中二项式系数之和为 256，则展开式中常数项是 ． 2
2 2
6.将函数 = sin cos 的图象向左平移 个单位，再将纵坐标伸长为原来的 4倍(横坐标 12.已知直线 经过点 (4, 2)，且被圆 + = 25截得的弦长为 6，则直线 的方程是 ．6
13.某校高三某班第一小组有男生 5人，女生 3人，现需从中抽取 2人参加校秋季运动会助
不变)得到函数 的图象，且 的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为4，对
理裁判工作，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率为 ；在至少有一名女生参加校
于函数 有以下几个结论：
运会助理裁判的条件下，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率 ．
(1) = 2； (2) 它的图象关于直线 = 12对称；
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天津经济技术开发区第一中学 2023—2024 学年度第二学期高三年级数学学科作业检查
行政班级 行政学号 姓名
………………………………… 密 ………………………………………………… 封 …………………………………………
线……………………………
14.已知 > 0, > 0, lg2 + lg4 = lg2 1 1，当 = .时， + 取得最小值，最小值是 。 18.(本小题 15分) 4 +1
2 2 ,
1 已知 1 2是椭圆
:
15.在平面四边形 中， = 2 3， = 6，向量 在向量 上的投影向量为 ， 2
+ 2 = 1( > > 0)的两个焦点，过 2 1,0 的直线 交 于 , 两点，当
2
3
1 垂直于 轴时，且△ 的面积是 ．则∠ = ；若 = 3 ，点 为线段 上的动点，则
1 2
的最小值为 ． 2
(1)求椭圆 的标准方程；
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(2)设椭圆 的左顶点为 ，当 不与 轴重合时，直线 交直线 : = 2 于点 ，若直线 上
16.(本小题 14分)
存在另一点 ，使 2 2 = 0，求证： , , 三点共线．已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 2 = + 2 ．
(1)求 ；
19.(本小题 15分)
(2) 3若 = 3 ，求 sin(2 + )的值；
若{ }为等差数列，{ }为等比数列， 1 = 1 = 1， 5 = 5( 4 3)， 5 = 4( 4 3).
(3) △ 4 3若 的面积为 3 ， = 3，求△ 的周长． (1)求{ }和{ }的通项公式；
17 ( 15 ) (3 2) . 本小题 分
(2)
, 为奇数,
对任意的正整数 ，设 = +2 求数列{ }的前 2 项和．
如图，在四棱锥 1中，底面 为正方形，平面 ⊥平面 ， 为棱 的中 , 为偶数. +1
点， ⊥ ， = = 2． (3)记{ }的前 项和为 ，且满足 2 +1 ≤ [( + 1) +1 1]对于 ∈ 恒成立，
求实数 的取值范围．
20.(本小题 16分)
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 1， ∈ (0, 2 )时，求 ( )的单调区间；
(2)当 > 0时，若 ( )在区间(0, 2 )内存在极值点 ．
①求实数 的取值范围；
②求证： ( )在区间(0, )内存在唯一的 ，使 ( ) = 1，并比较 与 2 的大小，说明理由．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(Ⅲ)求直线 到平面 的距离．
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天津经济技术开发区第一中学 2023—2024 学年度第二学期 满意度计分的平均分为： = 55 × 0.1 + 65 × 0.15 + 75 × 0.35 + 85 × 0.3 + 95 × 0.1 = 76.5分，所以选
项 D正确．
高三年级数学学科 开学作业检查答案
故选 B．
1. 【答案】 5.【答案】
解：∵全集 = { |1 < < 6, ∈ } = ｛2，3，4，5｝， 集合 =｛2，3｝， 1 0.6
解：由题意得： = = 20.62 ∈ (1,2)， = log
2
1 9 > log
2
1 = 2，
∴ = {4,5}. 2 2
8
1 2 2
又 = {2,4,5}， = 43 = 23 ∈ (1,2)，且 = 23 > 20.6 = ，
∴ ( ) ∩ = {4,5} . 故 < < ，
故选 A． 故选 C．
2.【答案】 6.【答案】
1
解：由 + 1 > 0
+1
，得： > 0， 解：由题意得： ( ) = =
1
2 2 ，向左平移6个单位，
解得： > 0或 < 1， 1 再将纵坐标伸长为原来的 4倍，横坐标不变得到函数： ( ) = 4 × 2 2 ( + 6 ) = 2 (2 + 3 )，
1
故 + 1 > 0是 < 1成立的必要不充分条件， 对于(1)，由 ( )的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为4，最小正周期4 = 4，即 = ，
故选： ．
∴ 2 = 1 = 1 2 ，解得 ，故 ( ) = 2 (2 + )，故(1)错误；3.【答案】 3
解：由图像知函数 ( )是( ∞, 0) ∪ (0, +∞)上的奇函数，排除 ， ； 对于(2)，当 = 12时，代入 ( ) = 2 (2 + 3 )，可知 ( 12 ) = 2，故图象的一条对称轴是 = 12，故(2)
| |
当 ∈ (0, +∞)时， ( ) = 恒大于 0，与图像不符，排除 ，
正确；
故选 C． 对于(3)
，当 = 3时，代入 ( ) = 2 (2 + 3 )可知 ( 3 ) = 0，故图象的一个对称点是( 3 , 0)，故(3)正确；
4.【答案】 对于(4)，若 ∈ [0, 2 ]，则 2 +
3 ∈ [ 3 ,
4
3 ]，∴ sin(2 +
3 ) ∈ [
3
2 , 1]，
解：由频率分布直方图可知( + 0.015 + 0.035 + + ) × 10 = 1，即 + 2 = 0.05，又 = 3 ，所以 =
∴ ( ) = 2 (2 + 3 )在 ∈ [0,
2 ]上的取值范围是[ 3, 2]，故(4)正确．
0.01，所以选项 A正确;
由上可知(2)(3)(4)正确，正确有个数为 3个．
满意度计分的众数为 75分，所以选项 B不正确;
故选： ．
前三组的频率之和为0.1 + 0.15 + 0.35 = 0.6 < 0.75，前四组的频率之和为0.6 + 0.3 = 0.9 > 0.75，则75%
0.75 0.6 7.【答案】
分位数 ∈ [80,90)，且 = 80 + 0.9 0.6 × 10 = 85，满意度计分的 75%分位数为 85，所以选项 C正 2 2
解：双曲线 4
2 = 1渐近线方程为 =±
2
2 ，
确;
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抛物线 2 = 2 ( > 0) 的准线方程为 = 2，
2 2
由题意得： ( 2 , 4 )， ( 2 , 4 )，
∴ | | = 22 ，| | = | | =
2 + ( 24 )
2 = 3 24 ．
又∵△ 的周长为 4 2，
∴ | | + | | + | | = 3 24 +
3 2 2
4 + 2 = 4 2．
解得： = 2．
故选： ．
8.【答案】
令 = ，则 2 + + + 2 = 0可化为 2 + + + 2 = 0，
解：过 作 ⊥平面 ，垂足为 ，取 的中点 ，连结
要使关于 的方程 2 + + + 2 = 0有 6个根，
， ，
数形结合知需方程 2 + + + 2 = 0在 0,2 上有 2个不相等的实根 1， 2，
过 作 的平行线 ，交 于 ，交 于 ，
不妨设 0 < 1 < 2 < 2， = 2 + + + 2，
∵△ 和△ 都是边长为 4的等边三角形， 2 4( + 2) > 0
∴ = = 12 ( ) = 2
0 < < 2
， = 42 22 = 2 3， 则 2 ，解得 2 < < 2 2 3，
(0) = + 2 > 0
= 1
(2) = 4 + 2 + + 2 > 0
2 = 2， =
2 2 = 2 2，
故 的取值范围为( 2,2 2 3)，
采用分割的方法，把该几何体分割成三部分，
故选 B．
如图，包含一个三棱柱 ，两个全等的四棱锥： ， ，
10.【答案】 2
∴这个几何体的体积：
【解析】【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数 ，进而即得．
= + 2
【详解】因为 4 3 = 5，
1
= △ × + 2 × 3 矩形 × 所以 1 + 2 = 5，
1 5 5(1 2 ) 5(1 2 )= 2 × 4 × 2 2 × 2 + 2 ×
1
3 × 2 × 4 × 2 2 =
56 2． 则 =
3 1+2
= (1+2 )(1 2 ) = 5 = 1 2 ，
故选： ． 所以复数 的虚部为 2．
9.【答案】 故答案为： 2．
解：作出函数 的图象如图所示． 11.【答案】28
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解：因为( 2 1 3 ) 的展开式中二项式系数之和为 256， 至少有一名女生参加校运会助理裁判包括两种情况， 2
一，一名女生和一名男生参加校运会助理裁判工作，有
1 1
5 3 = 15种情况，
所以：2 = 256，
二，两名女生参加校秋季运会助理裁判工作，此时有 2
= 8 3
= 3种情况，
得 ．
1 1 故至少有一名女生参加校秋季运会助理裁判包括 15 + 3 = 18种情况，
故该二项式为( 2 ) 2 83 = ( 2 3
) ，
2 则在至少有一名女生参加校秋季运会助理裁判的条件下，恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的概
16 8
通项为： +1 = ( 1) 8 3 ， 15 5率为 18 = 6 ，
令 16 8 3 = 0，得 = 6． 15 5故答案为： 28 ， 6
6
常数项为： 1 · 68 = 28．
14. 3 3 2 2 2【答案】
28 2
；1 + 3
故答案为 ．
解：∵ lg2 + lg4 = lg2 +2 = lg2，
12.【答案】 = 4或 3 4 20 = 0
解：圆 2 2
∴ + 2 = 1,2 + 4 + 1 = 3，
+ = 25的圆心为(0,0)，半径 = 5，
1 1 1 2 1
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 4，此时直线 被圆 2 + 2 = 25 截得的弦长为 2 × + 4 + 1 = 3 × 2 + 4 + 1 2 + 4 + 1
52 42 = 6，符合题意； 1 2(4 + 1) 2 = 3 [3 + 2 + 4 + 1 ]
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 + 2 = ( 4)，即 4 2 = 0，
= 1 [3 + 2 2(4 +1) · 2 ] 1 + 2 2，
由直线 被圆 2 + 2 = 25截得的弦长为 6 3 2 4 +1 3，
2 4 +1 2
(0,0) | 4 2| 2 2
当且仅当 =
可得圆心 到直线的距离为 = 5 3 = 4， 2 4 +1
时“=”成立，
2+1
又∵ + 2 = 1，
3
解得 = 4，
∴可得 2 2 12 + 9 = 0， = 3 ± 3 22 ，
∴直线 的方程为 + 2 = 34 ( 4)，即 3 4 20 = 0， ∵ 2 = 1 > 0, ∴ < 1，
故答案为： = 4或 3 4 20 = 0．
∴ = 3 3 2
15 5 2
，
13.【答案】28； 6
= 3 3 2 1 1 2 2即当 2 时， + 4 +1取得最小值 1 + 3 ．
【
2 3 3 2 1 + 2 2解：男生 5人，女生 3人，从中抽取 2人参加校秋季运动会助理裁判工作，共 8 = 28种情况， 故答案为 2 ； 3 ．
其中恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的情况有 15 13 = 15种， 15. 【答案】6； 6
15
故恰有一名女生参加校秋季运会助理裁判的概率为 28 ； 【详解】过点 作 垂直 于点 ，则向量 为向量 在向量 上的投影向量，
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由题意知点 为线段 的中点，所以 = 12 = 6
16
， ∴ = 3，
2 2 2
所以 cos∠ = = 3 = 3 ，又 ∠ 为锐角，故 ∠ = ． 由余弦定理得， = + 2 = ( + )
2 2 2 ，
2 3 2 6
2 16
以点 为坐标原点， 为 轴建系如图，则 (0,0)， (6,0)， (3, 3)． 即 9 = ( + ) 3 × 3，解得 + = 5，
因为 = 1 ，所以 (5, 3)． ∴ 的周长为 + + = 8．3
17.【答案】(Ⅰ)证明：因为平面 ⊥平面 ，因为点 为线段 上的动点，所以设 = = ( 3, 3)， ∈ [0,1]故点 (6 3 , 3 )．
平面 ∩平面 = ， = (6 3 , 3 ) (1 3 , 3 3) = (6 3 )(1 3 ) + 3 ( 3 3)
2 又因为 ⊥ ， 平面 ，= 12 24 + 6， ∈ [0,1]．
所以 ⊥平面 ．当 = 1时， 取到最小值 6．
(Ⅱ)解：因为底面 为正方形，
故答案为： 6 ； 6．
所以 ⊥ ，由(Ⅰ)知 ⊥平面 ，
所以 、 、 两两垂直，建系如图，
(0,0,0)， (2,2,0)， (0,1,1)，
= (2,2,0)， = (0,1,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )
16.【答案】解：(1) ∵ 2 = + 2 ． 则 = 2 + 2 = 0， = + = 0，
∴由正弦定理可得：2 = + 2 = 2 + 2 ， 令 = 1，则 = 1， = 1，
∴可得： = 2 ， 所以 = (1, 1,1)，
∵ 为三角形内角， ≠ 0，解得 = 1， ∈ (0, )， 又因为 = (0,0,1)是平面 的一个法向量，2
| | 1 3
所以平面 与平面 夹角的余弦值为∴ = ． | | | |
= 3 1 = 3 ．
3
(Ⅲ)解： (0,0,2)， (2,0,0)， 3 6 = (2,0, 2)，(2)由已知 = 3 ，得， = 1 cos
2 = 3 ，
由(Ⅱ)知 = (1, 1,1)是平面 的法向量，
∴ 2 = 2 = 2 2 13 ， 2 = 2
2 1 = 3， 因为 = 0，又 平面 ，所以 / /平面 ，
∴ sin(2 + ) = sin(2 + ) = 2 + 2 = 2 2 3， 所以直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，3 3 3 6
因为
1 1 3 4 3 = (2,0,0)，(3) ∵ = 2 = 2 2 = 3 ，
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{#{QQABQYYQgggIABIAAQgCEwVICkKQkAAACAoOhEAIMAABSQFABAA=}#}
|
| 2 2 3
所以直线 到平面 的距离为 所以 , , 三点共线．| = = ．| 3 3
19.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ( ≠ 0)，18.
2 2 ∵ 1 = 1 = 1， 5 = 5( 4 )， (1) = 1 = + 1 3 5
= 4( 4 3)，
【详解】 依题意知， ，所以 ．
∴ 1 + 4 = 5 ， 4 = 4( 3 2)，解得 = 1， = 2，
因为 △ 1
3 1 3 3
2 的面积是 2 ，即 2 × 2 × 2 = 2 ，解得 2 = 2 ， ∴ = ， = 2 1；
2
所以 = 3 51 2 + 4 = 2 ， (2)由(1)得 = ，
1
= 2 ，
从而 2 = 1 + 2 = 4，解得 = 2
(3 2) ， , 为奇数,
∵任意的正整数 ，设 =
+2
，2 2 1
2 = 3 + = 1 , 为偶数.所以 ，椭圆的标准方程为 4 3 ． +1
∴ = (3 2) (3 2)2
1 2 +1 2 1
(2)由(1)知， 2,0 ． 当 为奇数时， = ( +2) = +2 ， +2
依题意，设直线 方程为 = + 1, 1, 1 , 2, 12 ， 当 为偶数时， = 1 = 2 ， +1
= + 1,
由 3 2 + 4 2 = 12,消去 得 3
2 + 4 2 + 6 9 = 0， 22 ∴ 2
2 2 22
对于任意的正整数 ， =1 2 1 = =1 ( 2 +1 2 1 ) = 2 +1 1，
则 1 +
6
2 = 3 2+4 , 1
9
2 = 3 2+4 ， = 2 1 1 3 5 2 1 =1 2 =1 4 = 4 + 42 + 43 + . . . + 4 ①，
直线 的斜率 1 = +2 ，直线 的方程： =
1
+2 + 2 ，1 1 1 × 1 = 1 + 3 2 3 2 1由4 ①得4 =1 2 42 42 + . . . + 4 + 4 +1 ②，
6
而直线 : = 4，所以 4, 1 ． 1 (1 1 1+2 3 = 1 + 2( 1 1 1
)
由① ②得4 =1 2 4 42 + 43 + . . . + 4 )
2 1 = 1 + 2 × 16 4 1 2 1 54 +1 4 1 4 +1 ，则
1 =1
2 = 9
6 1 4
直线 2 的斜率 2 =
1+2 = 2 1 6 +54 1 1+2
，
9×4 ，
而 2 2 = 0，即 2 ⊥ 2 ， 22 ∴ { } 2 1 + 5 6 +5 = 4 6 +5 4数列 的前 项和
1+2
2 +1 9 9×4 2 +1 9×4 9；
所以直线 2 的斜率 2 = 2 ．1
(3)由(1) = = 2 1 = ( +1)得 ， ，则 ，
+2 3 +6 2
因此直线 的方程： = 1 12 2 1 ，则点 4, ，1 2 1
满足 2 +1 ≤ [( + 1) +1 1]对于 ∈ 恒成立，则( 1)( + 1) ≤ ( + 1)(2 1)，
3 1+6
所以直线 的斜率 2 1 = 4 2 =
1+2
4 ． ∵ ∈
，∴ + 1 > 0，
1
又直线 的斜率 = 2 ， ∴ 1 ≤ (2 1) ∈ ≥ 1 +2 对于 恒成立，转化为2 2 1恒成立，
+2 +3 2 = 2 1 = 2 + 1 = +4 1 2+3 1+ 2 +9 = 1 则 2+2 4 1 2+3 4
， 令 ，则 +1 = ，
1 4 1 2+3 2 1 2 +1 1
2 9 2+4 6 3 ∴ = 1 (2
1) ( 1)(2 +1 1) 2 (2 ) 1
而 + 4 1 2 + 3 1 + 2 + 9 = 3 2+4 + 3 2+4 + 9 = 0，即 = ， +1 2 +1 1 2 1 = (2 1)(2 +1 1) = (2 1)(2 +1 1)
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当 = 1时， +1 > 0，当 ≥ 2时， +1 < 0， 当 < < 2时， ′( ) = (
) > 0，
∴ 1 = 0 < 2 =
1
3 > 3 =
2
7 > 4 =
1
5 > . . .， 此时函数 ( )在(0, 2 )只有一个极值点，且为极小值点，
∴ { 1数列 }的最大值为3， 综上所述，实数 的取值范围是(1, +∞)；
∴ ≥ 1， ②证明：要证明存在唯一的 ∈ (0, )，使得 ( ) = 1，3
令 ( ) = ( ) 1 = 1，只需证明存在唯一的 ∈ (0, )，使得 ( ) = 0，
1
故实数 的取值范围为[ 3 , +∞)．
因为 ′( ) = = ′( )，
20. 【答案】解：(1)当 = 1时，若 ∈ (0, 2 )， ( ) =
，则 ′( ) = > 1 > 0，
由①可知，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , 2 )上单调递增，
所以，函数 ( )的增区间为(0, 2 )，无减区间． 又当2 < < 时， ′( ) =
> 0，
(2)①因为 0 < < 2， ′( ) =
= ( )， 所以，函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , )上单调递增，
( ) =
0 < < ′( ) =
( + )
令 ，其中 ，则 > 0， 当 0 < < 时， ( ) < (0) = 0，且 ( ) < (0) = 0， 2 cos2
又因为 ( ) =
1 > 0，所以，函数 ( )在(0, )内无零点，在( , )内存在唯一零点，
所以，函数 ( )在(0, 2 )上单调递增，
即存在唯一的 ∈ (0, )使得 ( ) = 0，即 ( ) = 1，
作出函数 ( )与 = 的图象如图所示：
由①可知， = > 1，
所以， (2 ) = 2 2 1 = 2 2 1 = 2 2 1，
令 ( ) = 2 2 1，其中 0 < < 2，
则 ′( ) = 2 2 2 ( + ) = 2 ( )，
令 ( ) = ，其中 0 < < 2，
则 ′( ) = + > 1 + > 0，
所以，函数 ( )在(0, 2 )上为增函数，故当 0 < <
2时， ( ) > (0) = 0，
由图可知，当 ≤ 1时，对任意的 ∈ (0, ) ′( ) = ( 2 ， ) > 0，
0 < < 故当
2
时， ′( ) > 0，所以，函数 ( )在(0, 2 )上为增函数，
则函数 ( )在(0, 2 )上为增函数，不合乎题意；
因为 0 < < 2， (2 ) > 0，所以， (2 ) > ( ) = 0，
当 > 1时，由图可知，直线 = 与函数 ( )的图象有且只有一个交点，设交点的横坐标为 ，
因为 ( )在( , )上为增函数，且 2 ∈ ( , )， ∈ ( , )，
当 0 < < 时， ′( ) = ( ) < 0，
所以 < 2 ．
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