第八章 向量的数量积与三角恒等变换（B卷·能力提升练）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知向量满足，则（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．2
5．已知向量，的夹角为，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量，，，其中，，且与的夹角为45°，若，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，则（ ）
A． B．向量的夹角为
C． D．在方向上的投影向量是
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
11．若函数的最小值为，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在上单调递减
C．函数的图象可以由函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得到
D．是函数图象的一个对称中心
三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若两个非零向量，满足，则与的夹角为 ．
14．已知函数，则的最小正周期为 ．
15．在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为的物品，在另一个秤盘中放入重量的砝码，天平平衡．根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为，，，若3根细绳两两之间的夹角均为，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则的大小为 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知锐角与钝角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．已知单位向量，，与的夹角为.
(1)求证；
(2)若，，且，求的值.
19．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的最大值和最小值．
20．某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即区域），地面形状如图所示．已知已有两面墙的夹角为锐角，假设墙的可利用长度（单位：米）足够长．
(1)在中，若边上的高等于，求；
(2)当的长度为6米时，求该活动区域面积的最大值．
21．已知函数的最大值为，
(1)求常数的值，并求函数取最大值时相应的集合；
(2)求函数的单调递增区间.
22．设函数，．
(1)求的最小正周期；
(2)若函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解.
【详解】由，解得.
故选：A.
2．A
【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解.
【详解】由已知，化简得．
平方得，
所以．
故选：A．
3．A
【分析】将平方开根号，结合数量积的运算律即可得解.
【详解】解：．
故答案为：A.
4．C
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
5．B
【分析】设，由已知条件得，把等式改写为关于的方程，方程有解，判别式，可求的最大值.
【详解】向量，的夹角为，，
则有，
设，，
∴，即，存在，方程有解，
则有，解得，则的最大值为.
故选：B
6．B
【分析】首先根据二倍角公式得到，从而得到，再利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，所以.
因为，所以.
所以.
故选：B
7．C
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算法则求出向量的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解.
【详解】依题意，因为，，且与的夹角为45°，
建立直角坐标系，如图所示：
所以设，，则，
因为，
所以，
所以
整理得：，
由此可知，的终点在以为圆心，半径为1的圆上，
因为，
其几何意义代表点到点的距离，
又因为点到点的距离为：，
所以的最大值为：.
故选：C.
8．A
【分析】根据求出，得，求出的对称中心为，，根据函数在区间上单调，且，推出为的对称中心，由，，可求出结果.
【详解】因为，其中，，
因为，所以，即，解得，
所以，
令，，则，，
所以的对称中心为，，
因为函数在区间上单调，且，则为的对称中心，
所以，，即，，
当时，取得最小值，
所以.
故选：A
9．BD
【分析】根据向量的加法求出，由两个向量垂直，数量积为零，求出，然后逐一判断各选项，在方向上的投影向量为.
【详解】已知则，
，，，，故A错误；
，所以向量的夹角为，故B正确；
，，故错误；
在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：BD.
10．ABD
【分析】首先化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，求出结合正弦函数的单调性即可判断D.
【详解】对A，，
由周期公式可得,A正确；
对B，因为,故为对称中心，B正确；
对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.
故选：ABD.
11．AC
【分析】应用二倍角余弦公式可得，结合余弦函数、二次函数的性质及已知最小值，讨论与区间的位置关系，求的值.
【详解】由题设，，
令，则，其开口向上且对称轴为，
当时，，则；
当时，，则(舍) 或 （舍）；
当时，，则；
综上，或.
故选：AC
12．AB
【分析】由已知结合二倍角公式，和差角公式及辅助角公式对进行化简，然后结合余弦函数的性质即可检验各选项即可判断．
【详解】，
根据辅助角公式， .
由周期公式可知，故A正确；
令，，可得，，，
当时，可得函数的单调递减区间，故B正确；
函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍，可得，故C错误；
令可得，，故不是函数图象的一个对称中心，故D错误.
故选：AB．
13．##
【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，
所以 且，则 ，
故 ，又，则.
故答案为:.
14．
【分析】利用倍角公式以及辅助角公式变形为的形式，进而可得周期.
【详解】
，
所以的最小正周期为.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意可得且，平方后利用数量积公式展开即可得解．
【详解】依题意，且，
所以，
即，解得．
故答案为：．
16．2
【分析】根据给定条件，用分别表示，再利用和角的正切及均值不等式求解作答.
【详解】依题意，，
显然，由得：，
即，整理得，
在中，，
当且仅当，即时取等号，
所以PQ的最小值为2.
故答案为：2
17．(1)
(2)
【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式求解；
(2)根据两角和的正切公式求解.
【详解】（1）因为，，且，，
所以，，
所以.
（2）由（1）得，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)或.
【分析】(1)利用向量数量积的运算即可证明；
(2)根据向量的模和数量积的计算公式即可求解.
【详解】（1）因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，
即.
因为，与的夹角为，
所以，，
所以，
即.所以或.
19．(1)
(2)最大值和最小值分别为，
【分析】（1）对化简得，则，，解出即可；
（2）由范围有，结合正弦函数的最值即可得到答案.
【详解】（1）依题意得：
，
由，，
得，
所以的单调递增区间为．
（2）由（1）知，，
当时，，
则当，即时，，
当，即时，，
所以在时的最大值和最小值分别为：，．
20．(1)
(2)平方米
【分析】（1）过点作交于．设，则，，
在中，求得，由计算即可得解；
（2）设，则，，从而得出，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）过点作交于．
设米，，则米，米．
在中，．
故．
（2）设，则米，米，
因为，所以，
所以，当时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为平方米．
21．(1)，
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简可得，所以，可得的值，令，可得的值；
（2）令，进而解出，即可求解.
【详解】（1）
.
当时，函数取到最大值，
所以，即，
令，得，
所以当函数取到最大值时的集合为.
（2）由（1）得，
所以令，
得，
所以函数的单调递增区间为.
22．(1)
(2)
【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简解析式即可求出最小正周期；
(2)根据图像平移求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1），
故函数的最小正周期；
（2）将函数的图象左移个单位得到的图象，
则，
，
则当即时，单调递增，
∴在上的单调递增区间为：
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
