（全国通用）2024年中考数学三轮解法技巧
专题01 整式及其运算
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
中考频度 ★★★★★
考情分析 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考查整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。在整式的化简求值问题中，则多注意整式混合运算的法则应用。
一、选择题
【真题1】（2023 淮安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【真题2】（2023 赤峰）已知，则的值是
A．6 B． C． D．4
【答案】
【分析】分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．
【解答】解：原式
．
，
，
．
故选：．
二、填空题
【真题3】（2023 凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
【答案】．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：是完全平方式，，，
或，
．
故答案为：．
【真题4】（2023 沈阳）当时，代数式的值为 ．
【答案】2．
【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果．
【解答】解：
当时，原式．
故答案为：2．
三、解答题
【真题5】（2022 广西）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，0．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
，
当，时，原式．
考向1 整式的概念
解法技巧 整式相关概念 （1）由数字与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式． （2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项． （3）用基本的运算符号（指加，减，乘，除，乘方及开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．
【模拟01】（2022 大渡口区模拟）下列各式中，不是整式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据单项式与多项式统称为整式，根据整式及相关的定义解答即可．
【解答】解：、是分式，不是整式，符合题意；
、是整式，不符合题意；
、是整式，不符合题意；
、是整式，不符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查整式的相关的定义，解决此题的关键是熟记整式的相关定义．
【模拟02】（2024 广东一模）单项式表示球的体积，其中表示圆周率，表示球的半径，下列说法正确的是
A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4
【答案】
【分析】根据单项式的有关概念即可得出答案．
【解答】解：的系数是，次数是3．
故选：．
【点评】本题主要考查单项式，解题的关键牢记单项式的系数与次数．
【模拟03】（2023 崇州市一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第9个单项式是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可．
【解答】解：根据题意得：
第9个单项式是．
故选：．
【点评】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
【模拟04】（2023 东莞市校级一模）下列说法中正确的是
A．2不是单项式
B．的系数是
C．的次数是3
D．多项式的次数是4
【答案】
【分析】根据单项式和多项式的概念逐一求解可得．
【解答】解：．2是单项式，故此选项不符合题意；
．的系数是，故此选项符合题意；
．的次数是2，故此选项不符合题意；
．多项式的次数是2，故此选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查单项式与多项式的概念．解题的关键是正确理解单项式与多项式．
【模拟05】（2023 东丽区一模）若是五次多项式，则的值为 ．
【分析】根据多项式的次数定义，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是正确理解多项式的概念，本题属于基础题型．
考向2 整式的运算
解法技巧 整式的运算： （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项； （2）乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式； （3）幂运算：；；；.
【模拟01】（2024 铜山区模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据各个选项中的式子，可以写出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：，故选项正确，符合题意；
不能合并为一项，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
【模拟02】（2024 靖宇县校级一模）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：，故选项错误，不符合题意；
，故选项正确，符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【模拟03】（2024 长安区一模）规定一种新运算：☆，如2☆．
（1）计算：☆ ；
（2）如果2☆，则的值为 ．
【答案】（1）；
（2）1或．
【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算可得：，从而整理得：，然后按照解一元二次方程因式分解法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：☆5
，
故答案为：；
（2）☆，
，
整理得：，
，
或，
或，
故答案为：1或．
【点评】本题考查了整式的混合运算，解一元二次方程，理解定义的新运算是解题的关键．
【模拟04】（2023 荔湾区校级二模）已知：．
（1）化简；
（2）若、是矩形两条对角线的长，且该矩形的对角线长为，求的值．
【答案】（1）；
（2）的值为45．
【分析】（1）利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答；
（2）根据矩形的性质可得，然后把，的值代入（1）中的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）、是矩形两条对角线的长，且该矩形的对角线长为，
，
当时，原式，
的值为45．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【模拟05】（2023 临江市一模）以下是小鹏化简代数式的过程．
解：原式①
②
．③
（1）小鹏的化简过程在第 步开始出错，错误的原因是 ．
（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．
【分析】（1）从第①步开始核对计算结果，可发现错在，即完全平方公式运用错误；
（2）将原式按照完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的法则展开并合并同类项，再将代入计算即可．
【解答】解：（1）小鹏在第①步开始出错，，错误的原因是完全平方公式运用错误．
故答案为：①，完全平方公式运用错误．
（2）
．
当时，原式．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．
考向3 乘法公式
解法技巧 乘法公式的考查属于高频考点．关键在于准确掌握两个重要公式：平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何背景，熟悉公式的形式和结果，并能灵活运用． （1）平方差公式：． （2）完全平方公式：． 完全平方公式的变形：．
【模拟01】（2023 庆云县校级模拟）将四个全等的直角三角形（直角边分别为、按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1阴影部分的面积为；
图2阴影部分的面积利用看作边长为的面积减去中间空白正方形的面积，即，
因此有，
故选：．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图中阴影部分的面积是正确解答的关键．
【模拟02】（2024 杭州模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据完全平方公式，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
【模拟03】（2023 海州区校级二模）化简．
【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式法则解答．
【解答】解：原式．
【点评】考查了平方差公式，单项式乘多项式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【模拟04】（2023 花都区一模）如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，
如：
①，
②，
③，
因此8，16，24都是奇特数．
（1）写出第④个等式；
（2）设两个连续奇数为和（其中取正整数），那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
【分析】（1）写出第四个等式即可；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由为：根据“奇特数”定义列出关系式，化简后即可作出判断．
【解答】解：（1）第④个等式为：；
（2）由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数，理由为：
设两个连续奇数为和（其中取正整数），
，
则由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数．
【点评】此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【模拟05】（2023 衡水二模）从一列偶数0，2，4，6，中任意抽出两个连续的数，计算这两个数的平方差．
（1）填空： ；
；
；
．
（2）琪琪同学经过大量的计算后得出结论：两个连续偶数的平方差是某个奇数的4倍．你认为琪琪的结论是否正确，通过计算证明你的判断．
（3）从数列中任意抽出两个偶数，两个数的平方差是否一定能被一个大于4的偶数整除？请说明理由．
【答案】（1）20，5；44，11；92，23；16，14，15；（2）琪琪的结论是正确的，理由见解析；（3）从数列中任意抽出两个偶数，两个数的平方差不一定能被一个大于4的偶数整除．
【分析】（1）利用平方差公式进行运算即可；
（2）设较小的偶数为，较大的偶数为，利用平方差公式计算即可得出结论；
（3）举反例说明即可．
【解答】解：（1）；
；
；
．
故答案为：20，5；44，11；92，23；16，14，15；
（2）琪琪的结论是正确的，理由：
设较小的偶数为，较大的偶数为，
，
两个连续偶数的平方差是某个奇数的4倍．
（3）从数列中任意抽出两个偶数，两个数的平方差不一定能被一个大于4的偶数整除，
例如：，，但4不大于4，
从数列中任意抽出两个偶数，两个数的平方差不一定能被一个大于4的偶数整除．
【点评】本题主要考查了平方差公式，数字变化的规律，实数的运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．（全国通用）2024年中考数学三轮解法技巧
专题01 整式及其运算
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
中考频度 ★★★★★
考情分析 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考查整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大。在整式的化简求值问题中，则多注意整式混合运算的法则应用。
一、选择题
【真题1】（2023 淮安）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【真题2】（2023 赤峰）已知，则的值是
A．6 B． C． D．4
【真题3】（2023 凉山州）已知是完全平方式，则的值是 ．
【真题4】（2023 沈阳）当时，代数式的值为 ．
【真题5】（2022 广西）先化简，再求值：，其中，．
考向1 整式的概念
解法技巧 整式相关概念 （1）由数字与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，特别地，单独一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式． （2）同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．几个常数项也是同类项． （3）用基本的运算符号（指加，减，乘，除，乘方及开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．
【模拟01】（2022 大渡口区模拟）下列各式中，不是整式的是
A． B． C． D．
【模拟02】（2024 广东一模）单项式表示球的体积，其中表示圆周率，表示球的半径，下列说法正确的是
A．系数是，次数是3 B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是4 D．系数是，次数是4
【模拟03】（2023 崇州市一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、，根据其中的规律得出的第9个单项式是
A． B． C． D．
【模拟04】（2023 东莞市校级一模）下列说法中正确的是
A．2不是单项式
B．的系数是
C．的次数是3
D．多项式的次数是4
【模拟05】（2023 东丽区一模）若是五次多项式，则的值为 ．
考向2 整式的运算
解法技巧 整式的运算： （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项； （2）乘法：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式； （3）幂运算：；；；.
【模拟01】（2024 铜山区模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【模拟02】（2024 靖宇县校级一模）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【模拟03】（2024 长安区一模）规定一种新运算：☆，如2☆．
（1）计算：☆ ；
（2）如果2☆，则的值为 ．
【模拟04】（2023 荔湾区校级二模）已知：．
（1）化简；
（2）若、是矩形两条对角线的长，且该矩形的对角线长为，求的值．
【模拟05】（2023 临江市一模）以下是小鹏化简代数式的过程．
解：原式①
②
．③
（1）小鹏的化简过程在第 步开始出错，错误的原因是 ．
（2）请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当时代数式的值．
考向3 乘法公式
解法技巧 乘法公式的考查属于高频考点．关键在于准确掌握两个重要公式：平方差公式和完全平方公式，了解公式的几何背景，熟悉公式的形式和结果，并能灵活运用． （1）平方差公式：． （2）完全平方公式：． 完全平方公式的变形：．
【模拟01】（2023 庆云县校级模拟）将四个全等的直角三角形（直角边分别为、按图1和图2两种方式放置，则能验证的等式是
A． B．
C． D．
【模拟02】（2024 杭州模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【模拟03】（2023 海州区校级二模）化简．
【模拟04】（2023 花都区一模）如果一个正整数能够表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，
如：
①，
②，
③，
因此8，16，24都是奇特数．
（1）写出第④个等式；
（2）设两个连续奇数为和（其中取正整数），那么由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？
【模拟05】（2023 衡水二模）从一列偶数0，2，4，6，中任意抽出两个连续的数，计算这两个数的平方差．
（1）填空： ；
；
；
．
（2）琪琪同学经过大量的计算后得出结论：两个连续偶数的平方差是某个奇数的4倍．你认为琪琪的结论是否正确，通过计算证明你的判断．
（3）从数列中任意抽出两个偶数，两个数的平方差是否一定能被一个大于4的偶数整除？请说明理由．
