2024年辽宁省初中学业水平跟踪训练卷（一）
一．选择题（共10小题，共30分）
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元，那么﹣10元表示（ ）
A．支出10元 B．收入10元 C．支出90元 D．收入90元
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．下列是初中化学实验室常用四种仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2﹣a2＝1 B．a2 a3＝a6 C．（a3）3＝a6 D．
5．已知x1，x2是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，则x1x2的值为（ ）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
6．不等式5x+3≤4x+2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是137.5°．我们知道圆盘一周为360°，360°﹣137.5°＝222.5°，137.5°÷222.5°≈0.618．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
8．《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路快的人出发后走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ）
A．B． C． D．
9．一次函数y＝2x+1与y＝kx﹣k（k≠0）的图象的交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都是1，正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
二．填空题（共5小题，共15分）
11．计算：（﹣2）﹣1＝ ．
12．如图，直线a∥b，把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝60°，则∠2的度数为 ．
13．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ．
14．如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为 ．
12题 13题 14题 15题
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，4），AB⊥x轴，垂足为B，OA，AB分别与反比例函数的图象相交于C，D两点．若C为OA的中点，则点D的坐标为 ．
三．解答题（共8小题，共75分）
16．(10分)计算：（1）2tan45°﹣（2020﹣π）0；
（2）．
17．(8分)2023年5月，我国天舟二号货运飞船在文昌发射中心发射成功．飞船模型深受大家的喜欢．某商家两次购进飞船模型进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款飞船模型，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进飞船模型多少个？
（2）若所有飞船模型都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个飞船模型的标价至少为多少元？
18．(8分)为了提高玉米产量进行良种优选．某农业科学院选择了两块基本条件大致相同的试验田用于分析甲、乙两种玉米种子的产量，从两块试验田中各随机抽取了20穗玉米，并对其单穗质量（单位；克）进行整理分析，过程如下：
收集数据：
甲型种子：161 161 172 181 194 201 206 206 211 215
215 222 226 232 232 232 242 246 251 254
乙型种子：162 174 183 185 196 207 208 213 215 217
219 220 220 220 225 228 236 237 245 250
整理数据：
分组型号 160＜x≤180 180＜x≤200 200＜x≤220 220＜x≤240 240＜x≤260
甲 3 2 6 a 4
乙 2 3 9 4 2
分析数据：
统计量型号 平均数 众数 中位数 方差
甲 213 m 215 759.8
乙 213 220 n 536.3
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，m＝ ，n＝ ．
（2）此次调查中，单穗质量为217克的玉米在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是 型玉米；
（3）综合以上信息，你认为哪种玉米种子的产量表现更好，请说明理由．
19．(8分)某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
20．(8分)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图1，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图2的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米，求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
21．(8分)如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．
22．(8分)数学活动小组通过观察投掷铅球的运行轨迹来研究二次函数的性质：在投掷铅球的实验中，该铅球运行的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是二次函数y＝ax2+bx+c．小明投掷铅球出手时离地面的高度为1.8m，经测量铅球落地成绩刚好是8m（铅球成绩达到8m是满分）．
（1）写出的取值范围是 ；
（2）若小明投掷的铅球运行到水平距离为3m时，铅球达到最大高度，求该铅球运行路线的解析式；
（3）已知小红投掷铅球出手时离地面的高度为1.6m，，
①若小红投掷铅球成绩也是满分，求b的取值范围；
②若小红投掷铅球成绩刚好是8m，求：小红投掷铅球的运行水平距离为多少米时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大？
23．(8分)综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图1，在矩形ABCD中，点E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接EF，DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF，GH和CE的位置和长度也随之变化．
（1）图2中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，请直接写出GH与CE之间的数量关系： ．
（2）图3中，AB＝4，BC＝6，求的值．
剪一剪，折一折：（3）在（2）的条件下，连接图3中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得到△ABC（如图4）．点M，N分别在AC，BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM的长为 ．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．A．2．B．3．D．4．D．5．C．6．A．7．D．8．A．9．D．10．D．
二．填空题（共5小题）
11．．12．30°．13．．14．5．15．（2，1）．
三．解答题（共8小题）
16．（1）2；（2）．
17．解：（1）设第一次购进飞船模型x个，则第二次购进飞船模型2x个，
根据题意得：10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进飞船模型200个．
（2）由（1）知，第二次购进飞船模型的数量为400个．
设每个飞船模型的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个飞船模型的标价至少为140元．
18．解：（1）将甲型种子抽样20穗质量进行分组统计，可得220＜x≤240的频数为5，即a＝5，
甲型种子抽样20穗质量出现次数最多的是232，共出现3次，因此众数为232，即m＝232，
将乙型种子抽样20穗质量从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为218，即中位数是218，也就是n＝218，
故答案为：5，232，218；
（2）甲的中位数为215，乙的中位数为218，
所以此次调查中，单穗质量为217克的玉米在单穗质量排名（从高到低）中更靠前的是甲型玉米；
故答案为：甲；
（3）乙型玉米种子的产量表现更好，理由：乙型种子单穗质量的中位数大于甲型种子单穗质量的中位数，说明乙型种子大部分质量高于甲型种子（答案不唯一）．
19．解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则解得：
∴zx+19，
∴z关于x的函数解析式为z
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（x+19﹣10）（5x+40）
x2+35x+360
（x﹣14）2+605，
因为0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
20．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°，
∴AF＝AB cos16°≈5×0.96＝4.8（米），
∴点A到墙面BC的距离约为4.8米；
（2）过点A作AG⊥CE，垂足为G，
由题意得：AG＝CF，AF＝CG＝4.8米，
∵CD＝1.8米，
∴DG＝CG﹣CD＝4.8﹣1.8＝3（米），
在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，
∴AG＝DG tan45°＝3（米），
∴CF＝AG＝3米，
在Rt△ABF中，AB＝5米，∠BAF＝16°，
∴BF＝AB sin16°≈5×0.28＝1.4（米），
∴BC＝BF+CF＝1.4+3＝4.4（米），
∴遮阳篷靠墙端离地高BC的长为4.4米．
21．（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A，且OA是⊙O的半径，
∴PA⊥OA，
∵PO平分∠APD，OB⊥PD于点B，OA⊥PA于点A，
∴OB＝OA，
∴点B在⊙O上，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OB＝4，OC＝5，
∴AC＝OA+OC＝4+5＝9，
∵∠OBC＝90°，
∴BC3，
∵∠A＝90°，
∴tan∠ACP，
∴PAAC9＝12，
∴PA的长是12．
22．解：（1）∵成绩刚好是8m，
∴04，
∴﹣80，
故答案为：﹣80．
（2）根据题意，y＝ax2+bx+c经过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（3）①根据离地面的高度为1.6m，，得到，
∴04，
∴﹣80，
∴﹣80，
解得0＜b，
当x＝8时，y≥0，
∴y，
∴b≥1.7，
故b的取值范围为：b≥1.7．
②设高度差为，
，
∵，
∴Δy有最大值，且当时，取得最大值，
故铅球的运行水平距离为4.1m时与（2）中小明投掷铅球的运行路线的高度差最大．
23．解：转一转：（1）结论：GHCE．
理由：如图②中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵AB＝CB，BFAB，BEBC，
∴BF＝BE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∵DG＝GA，DH＝HF，
∴GHAFCE．
故答案为：GHCE．
（2）如图③中，连接AF，
∵BFAB，BEBC，
∴，
∴，
∵∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴，
∴AFCE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GHAFCE，
∴．
（3）剪一剪、折一折：
如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R，
∵PM平分∠APN，
∴∠MPT＝∠MPN，
由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，
∴∠MPT＝∠C，
∵∠MTP＝∠MRC＝90°，
∴△PTM≌△CRM（AAS），
∴MT＝MR，
∴BM平分∠ABC，
∴∠MBT＝∠MBR＝45°，
∴TB＝TM，BR＝RM，
设TM＝TB＝x，
∵ AB BC AB MT BC MR，
∴4×6 x （4+6），
∴x，
∴BR＝MR，CR＝BC﹣BR＝6，
∴CM．
故答案为：．
