2024年初中学业水平第一次模拟考试数学
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．
1. 下列实数中，最大的数是（）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．实数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：∵，
∴最大的数是，
故选：D．
2. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键．
根据从左侧看到的图形，即可判定．
解：此商场的休息椅的左视图为C，
故选：C．
3. 2023年11月4日，我国首艘国产大型邮轮“爱达·魔都号”正式命名交付．这标志着我国从此实现了国产大型邮轮制造“零的突破”．全船搭载107个系统、5.5万个设备，包含2500万个零部件，2500万用科学记数法可以表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
2500万用科学记数法可以表示为．
故选：B．
4. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
根据轴对称图形与中心对称图形定义判定即可．
A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
5. 如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C．若C，B两点表示的数互为相反数，则图中点A表示的数是（）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数轴上表示的数，根据相反数在数轴上的位置确定原点的位置是解题的关键．根据点B、C表示的数互为相反数得到数轴原点的位置，读出点A表示的数即可求解．
解：根据点B、C表示的数互为相反数，可得图中点D为数轴原点，
∴点A对应的数是，
故选：D．
6. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是幂的乘方、同底数幂相乘、平方差公式以及单项式的除法，掌握以上知识是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂相乘、平方差公式以及单项式的除法逐一判断各选项，即可得到答案．
解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，是的直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于E，则为（）
A. 23° B. 34° C. 42° D. 48°
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
连接，根据圆周角定理可得，由为的切线可得，根据直角三角形的性质求解即可．
连接，如图所示，
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
故选：C.
8. 如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（）
A. 8 B. 11 C. 10 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而根据等角对等边得出，进而代入数据即可求解．
解：由作图方法可知是的角平分线，
∴，
，
，
，
，
，
∴周长为8，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
9. “热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设甲的速度为，则乙的速度为，根据甲行驶的时间比乙行驶的时间少20min列出方程即可．
设甲的速度为，则乙的速度为，，根据行驶时间的关系列方程，得
故选：A．
10. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则；⑤若关于x的一元二次方程无实数根，则．其中正确的个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断②；利用抛物线与x轴的交点个数可判断③；利用抛物线的对称轴，设，两点横坐标与对称轴的距离为、，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越远的点的函数值越大，即可判断④；根据根的判别式即可判断⑤；解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向上，即，
∴，
当时，，
∴，故①错误；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴，
由图象可得，当时，，
∴，故②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确
④∵直线是抛物线的对称轴，
设，两点横坐标与对称轴的距离为、，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越远的点的函数值越大，
∴，故④不正确；
⑤∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，故⑤正确；
∴正确的结论有3个，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想．
把代入方程，整理得，把所求的代数式变形为，再整体代入计算即可．
∵是一元二次方程的一个根，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
12. 不等式组的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
解不等式①得，；
解不等式②得，；
故不等式组的解集为：．
故答案为：．
13. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查列表法与画树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张图片恰好是“牛”“兔”的概率．
解：画树状图如下，
由图可得，一共有16种等可能性的结果，
其中小乐抽到的两张图片恰好是“牛”“兔”的可能性有2种，
∴小乐抽到的两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是，
故答案为：．
14. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解．
解：由图2知：当，P和A重合，则，
当，y最小，最小值为n，此时，，
∴，
当时，P和B重合，则，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，平行四边形中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，以点B为圆心，的长为半径画弧交边于点F，则阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基础知识．
连接，．首先证明，都是等边三角形，推出即可解决问题．
解：如图连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
故答案为：．
16. 如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的规律，根据题意可知，的周长=的周长，的周长的周长，根据规律即可得出答案．
解：根据题意可知，的周长=的周长，
的周长的周长，
所以的周长的周长，
故答案：．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．
17. （1）计算；
（2）先化简分式，然后从，0，1中选一个合适的数代入求值．
【答案】（1）1；（2），当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：
（1）利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值计算即可；
（2）先计算小括号内，然后把除法转化为乘法，再进行约分，最后取合适x的值代入计算即可．
解：（1）原式
；
（2）
，
∵，，
∴当时，原式．
18. 为了进一步增强广大学生预防溺水安全教育的意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺水安全知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如下图所示（数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表：
平均数 中位数 优秀人数
甲班成绩 76 m 3
乙班成绩 76 72 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计图中组对应扇形的圆心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）表中m的值是______；甲班的成绩在这一组的众数是______；
（4）如果该校九年级学生有1200名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
【答案】（1）57.6
（2）见解析（3）77；77
（4）96人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据E组的条形统计图和扇形统计图的数据求出抽取的甲班学生人数，即可求解；
（2）计算出C、F组的人数即可求解；
（3）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数），众数是一组数据中出现最多数，据此解答即可；
（4）计算出样本中优秀人数所占比例即可求解．
【小问1】
解：由题意得：抽取的甲班学生人数为：（人）
∴统计图中组对应扇形的圆心角是：
故答案为：57.6；
【小问2】
解：C组的人数为：（人），
F组的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小问3】
解：∵，，
∴中位数在组，
又甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79．
∴，
∴众数为77.
故答案为：77；77；
【小问4】
解：（人）
即：估计九年级学生成绩优秀的有96人．
19. 【概念理解】
如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【问题探究】
（1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
如图3，小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
（2）你认为正确的结论有______；（只需填序号）
（3）请你任选一个你认为正确结论进行证明．
【答案】（1）见解析；（2）①④⑤⑥ ；（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查中垂线的判定，等腰三角形的性质，掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
（1）格点向下平移4个单位长度，得到点，连接和即可；
（2）根据，，得到垂直平分，等腰三角形三线合一，得到平分一组对角和，利用四边形的面积，得到四边形的面积，进而得到任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；
（3）同（2）进行求证即可．
（1）如图，四边形就是求作的图形．
（2）正确的有①④⑤⑥；
故答案为：①④⑤⑥．
（3）对于④：∵，，
∴点在线段的中垂线上，
∴垂直平分，
对于①：∵，，垂直平分，
∴平分，平分，
∴对角线平分一组对角和；
对于⑤：∵四边形的面积；
对于⑥：同⑤法可得：任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点D，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且的面积为18，求平移后直线的关系式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点、一次函数平移问题、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）把点代入求得点C坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）首先求出和时的函数值，然后判断出在第二象限内，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，由的面积为18，求得，再根据一次函数平移的性质即可求解．
【小问1】
解：设反比例函数解析式为，
∵直线图象经过点，
∴，
∴，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；
【小问2】
解：当时，，
当时，，
∵
∴在第二象限内，y随x的增大而减小
∴当时，；
【小问3】
解：设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，如图，
则，即
∴，
∴，
∴，
∴平移后直线解析式为．
21. 在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，．
（1）求入射角的度数；
（2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，）
【答案】（1）
（2）光斑移动的距离是．
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，
（1）设法线为，根据平行线的性质得到，根据正切的定义求出，从而可得入射角，即可求解；
（2）根据，先求出，再作，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，即可求解．
理解“折射率”的定义，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
【小问1】
解：如图，设法线为，则，
，
，，
，
，
入射角约为，
．
【小问2】
解：，，，
∴，
，
作，
，
设，，
则，
，
解得：，
，又，
，
答：光斑移动的距离是．
22. 如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求的半径．
【答案】（1）见解析（2）的半径2
【解析】
【分析】（1）连接，根据是直径，得出，求出，根据菱形的性质得出，，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，即可证明结论．
（2）首先证明出是等边三角形，得到，然后利用含度角的直角三角形的性质得到，进而求解即可．
【小问1】
证明：连接，如图所示：
∵是直径，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为直径，
∴是的切线．
【小问2】
∵四边形是菱形
∴
∴
∴是等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∴的半径2．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，三角形全等的判定和性质，菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，切线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握切线的判定方法．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】(1)根据待定系数法，将点A，点P代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线与对称轴的交点就是所求的点M，求出直线的关系式和对称轴，求出交点坐标即可；
（3）分两种情况：当Q在下方或当Q在上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【小问1】
将点，代入，
得：，
解得：
∴抛物线的解析式为；
【小问2】
当时，，
∴点，
当时，有，
解得：，，
∴点，
∴抛物线的对称轴为：直线
设直线的关系式为，把点B坐标代入，
得：，解得，，
∴直线的关系式为，
由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M，
当时，，
∴时，最小；
【小问3】
当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴，交y轴于M，过P作于N，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∵，,
∴，解得，
∴,
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线解析式得
，
解得或，
∴；
②当Q在上方时，如图，过P作.于H，过H作.轴，交y轴于M，过P作于N，
同理得.
综上，存在，点Q的坐标为或
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法确定出解析式是解本题的关键.
24. 【问题提出】
在等腰中，，，点P为延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接、．判断与的数量关系；与的关系．
【问题特殊化】
（1）如图1所示，当时，与的数量关系为______；______°；
（2）如图2所示，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】
（3）当时，若，，请求出线段AD的长．
【答案】（1），；（2）不成立．理由见解析；（3）线段的长为或
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可知，进而可知、是等边三角形，可证得，由全等三角形的性质得出，可知，设BD交PC于点O，由可得，进而可得答案；
（2）由旋转可知，由等腰三角形的性质可知，，，作，，可得，，进而可得，，可知，进而可证，可得，，结合即可求解；
（3）分两种情况：当点P在线段的延长线上时，当点P在线段上时，类比（2）证明，再结合勾股定理即可求得答案．
（1）∵将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，
∴．
∵，，，
∴、是等边三角形．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
设BD交PC于点O．
∵，
∴．
∵，
则，
∴，即．
故答案为：，；
（2）不成立．理由如下：由旋转可知，
∵，，，
∴，，，
作，，
则，，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故（1）中的结论不成立，，；
（3）如图所示，点P在线段的延长线上时，作于点Q，连接．
在中，，
由旋转可知，
∵，，，
∴，，
则，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴，．
又∵，，
∴，
∴四边形为正方形．
∴；
如图所示，当点P在线段上时，作，连接、．
在中，，
同理可得，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∴．
在中，．
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．2024年初中学业水平第一次模拟考试数学
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答卷时，务必将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分的答案填涂或书写在答题卡指定位置上．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．
1. 下列实数中，最大的数是（）
A. B. 0 C. 2 D.
2. 某商场的休息椅如图所示，它的左视图是（）
A. B. C. D.
3. 2023年11月4日，我国首艘国产大型邮轮“爱达·魔都号”正式命名交付．这标志着我国从此实现了国产大型邮轮制造“零的突破”．全船搭载107个系统、5.5万个设备，包含2500万个零部件，2500万用科学记数法可以表示为（）
A. B. C. D.
4. 下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
5. 如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C．若C，B两点表示的数互为相反数，则图中点A表示的数是（）
A. 2 B. 1 C. D.
6. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
7. 如图，是直径，C，D是上的点，，过点C作的切线交的延长线于E，则为（）
A. 23° B. 34° C. 42° D. 48°
8. 如图，在中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，连接交于点E，过点E作交AB于点D，若，，则的周长为（）
A. 8 B. 11 C. 10 D. 13
9. “热爱劳动，尊重劳动．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为，则依题意可列方程为（）
A B.
C. D.
10. 如图，抛物线的顶点A的坐标为，与x轴的一个交点位于0和1之间，下列结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则；⑤若关于x的一元二次方程无实数根，则．其中正确的个数是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______．
12. 不等式组的解集是______．
13. 十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四副十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是______．
14. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示，则______．
15. 如图，平行四边形中，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交边于点E，以点B为圆心，的长为半径画弧交边于点F，则阴影部分的面积为______．
16. 如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，……如此下去，则的周长为________．
三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．
17. （1）计算；
（2）先化简分式，然后从，0，1中选一个合适的数代入求值．
18. 为了进一步增强广大学生预防溺水安全教育的意识，让学生真正知危险、会避险，某校举行了防溺水安全知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如下图所示（数据分为6组：A：，B：，C：，D：，E：，F：），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：71，72，72，73，74，75，75，77，77，77，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表：
平均数 中位数 优秀人数
甲班成绩 76 m 3
乙班成绩 76 72 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计图中组对应扇形的圆心角是______度；
（2）请补全条形统计图；
（3）表中m的值是______；甲班的成绩在这一组的众数是______；
（4）如果该校九年级学生有1200名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
19. 【概念理解】
如图1，四边形中，，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
【问题探究】
（1）如图2，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
如图3，小明认真思考得出了下列结论：①对角线平分一组对角和；②对角线平分一组对角和；③垂直平分；④垂直平分；⑤四边形的面积；⑥任意一个对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半．
（2）你认为正确的结论有______；（只需填序号）
（3）请你任选一个你认为正确的结论进行证明．
20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点D，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且的面积为18，求平移后直线的关系式．
21. 在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把称为折射率（其中代表入射角，代表折射角）．
观察实验
为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形为矩形，测得，．
（1）求入射角的度数；
（2）若光线从空气射入水中的折射率，求光斑移动的距离．（参考数据：，，）
22. 如图，以菱形的边为直径作交于点E，连接，F是上的一点，且，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）当，时，求的半径．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点M，使值最小，求点M的坐标；
（3）如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
24. 问题提出】
在等腰中，，，点P为延长线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接、．判断与的数量关系；与的关系．
【问题特殊化】
（1）如图1所示，当时，与的数量关系为______；______°；
（2）如图2所示，当时，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【拓展应用】
（3）当时，若，，请求出线段AD的长．
