2023-2024学年甘肃省武威市第二学期凉州区清水镇九年制学校七年级数学期中模拟试卷
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）要使二次根式有意义，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）一木杆在离地面5m处析断，木杆顶端落在木杆底端12m处，则木杆析断前高为（ ）
A．18m B．13m C．17m D．12m
5．（本题3分）若△ABC的三边长分别为a、b、c且满足（a+b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
6．（本题3分）如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为( ).
A．12 B．7 C．5 D．13
7．（本题3分）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b= ．
12．（本题3分）若，则 ．
13．（本题3分）已知位置如图所示，试化简:= .
14．（本题3分）若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为 度．
15．（本题3分）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km．
16．（本题3分）如图，数轴上点A对应的数为2，于A，且，以O为圆心，以为半径画圆，交数轴于点C，则长为 ．
17．（本题3分）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ．
18．（本题3分）如图，正方形的边长为8，M在上，且，N是上一动点，则的最小值为
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）计算：
(1)
(2)
20．（本题6分）已知，如图，在数轴上，请化简．
21．（本题6分）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分；
(1)求a、b、c的值；
(2)若x是的小数部分，则的算术平方根．
22．（本题6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
23．（本题6分）如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
24．（本题8分）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．
(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
25．（本题8分）如图，如图，，过的中点O作直线交的延长线于E，交的延长线于F，求证：．
26．（本题8分）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
27．（本题10分）在中，，，点D，E分别是边的中点，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，连接．
(1)如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
(2)如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数，不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴
解得：，
故选：D．
3．B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
4．A
【分析】在直角三角形中，已知两条直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】∵一木杆在离地面5米处折断，木杆顶端落在木杆底端12m处，
∴折断的部分长为 =13，
∴折断前高度为5+13=18（米）．
故选A．
【点睛】考查了勾股定理的应用，解题关键是已知两条直角边，运用勾股定理求出斜边．
5．B
【分析】首先根据三边关系，进行转换得出a2+b2=c2，即可判定△ABC直角三角形.
【详解】（a+b）（a2+b2﹣c2）=0，
∵a+b≠0，
∴a2+b2﹣c2=0，即a2+b2=c2，
∴△ABC直角三角形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查利用三边关系以及勾股定理逆定理，判定三角形的形状，熟练掌握，即可解题.
6．D
【详解】∵AB⊥CD，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
又∵△ABD和△EBC都是等腰三角形，
∴EB=BC=5，AB=BD，
∴AB=BD=DC-BC=17-5=12，
∴在Rt△ABC中，AC=.
故选D.
7．B
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
8．C
【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键．
根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可．
【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍，
，即，
，，
四边形为平行四边形，
设点A到的距离为h，
，
∴四边形的面积为：
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质，由折叠的性质求出是解决问题的关键．
根据折叠的性质，得，求出的度数，再根据平行线的性质即可求得的度数．
【详解】解：长方形沿对折，，
，
，
．
故选：D．
10．B
【分析】由一个自然数的算术平方根为，先求解这个自然数及与之相邻的下一个自然数即可得到答案．
【详解】解：由题意得，这个自然数是，则相邻的下一个自然数是，
故选B．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，掌握算术平方根的含义是解题的关键．
11．﹣1
【分析】利用非负数的性质可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，进而得出答案．
【详解】∵（a﹣1）2+=0，
∴a=1，b=﹣2，
∴a+b=﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.
12．/0.2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
13．2c
【详解】【分析】根据数轴可知：a＜b＜0＜c，|b|<|c|，求出a-b＜0，a-c<0，b+c>0，根据绝对值和二次根式的性质进行化简即可.
【详解】∵根据数轴可知：a＜b＜0＜c，|b|<|c|，
∴a-b＜0，a-c<0，b+c>0，
∴=c-a+b+c+(a-b)=2c，
故答案为2c.
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，是一道容易出错的题目，解题的关键是要根据数轴确定出各式子的取值范围.
14．90
【详解】设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则
（5x）2+（12x）2=（13x）2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
则这个三角形中最大的角为90度，
故答案为90．
15．10
【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离.
考点：勾股定理
16．
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识点的应用，关键是求出长．先在直角中，根据勾股定理求出，再根据同圆的半径相等即可求解．
【详解】解：在直角中，．
．
．
故答案为：．
17．40
【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线，
连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答
【详解】解：连接，
，
又，，
同理
，
又，，
，
故答案为：40
18．10
【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出图形得到的最小值即为线段的长．连结，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案．
【详解】连结，，，
正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点，
直线即为的垂直平分线，
，
，
当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长，
正方形的边长为8，且，
，，，
，
的最小值为10．
故答案为：10．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可；
（2）先计算算术平方根和立方根，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、数轴、绝对值，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是解题的关键．由在数轴上的位置可得，，，再化简即可．
【详解】解：由在数轴上的位置可得，，，
原式，
，
，
21．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义求出、的值，再根据无理数的估算求出即可；
（2）先估算出的范围，再求出的值，最后求出答案即可．
【详解】（1）解：根据题意，可得，；
解得，；
因为，
所以，
因为是的整数部分，
所以；
所以，，．
（2）解：由（1）知的整数部分为3，
则，
所以，
则3的算术平方根为．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，平方根、算术平方根、立方根的定义、二次根式的运算．能正确得出关于、的方程是解（1）的关键，能估算出的范围是解（2）的关键．
22．有危险，需要暂时封锁；理由见解析．
【分析】本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．因此过C作于D，然后根据勾股定理在中即可求出的长度，然后利用三角形的面积公式即可求出，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
【详解】解：有危险，需要暂时封锁．
理由：如图，过作于，
米，米，，
∴在中，米，
∵，
∴米．
∵，
∴有危险，段公路需要暂时封锁．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出的长．
23．(1)见解析
(2)17
【分析】（1）根据，证明；
（2）由等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，再根据，求出的长．
【详解】（1）∵
∴
∵在与
∴
（2）∵，，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．
24．(1)见解析
(2)四边形是矩形．理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，再根据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知平行等于，易证四边形是平行四边形，而，是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证，即，那么可证四边形是矩形．
【详解】（1）证明：，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
是的中点；
（2）若，则四边形是矩形．理由如下：
，
，
，
；
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
25．见解析
【分析】由题意，可知四边形为平行四边形，则，，又点O为的中点，，故，继而可得出．
【详解】证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∴
∴，
∵点O为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
【点睛】本题考查平行四边形及全等三角形的判定与性质，难度适中，关键是对这些知识的熟练掌握和运用．
26．
【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
27．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）结论：，连接，证明是等边三角形，可得，根据证明，可得结论．
（2）成立．如图2中，连接，证明是等腰直角三角形得，根据证明，可得结论．
（3）分两种情形：当点F在线段上和当点F在的延长线上时求解即可．
【详解】（1）结论：．
理由：如图1中，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）成立．
证明：如图2中，连接．
连接，由题意得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）如图2中，
由（2）知，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴过点C．
在中，，，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
如图3中，当点F在的延长线上时，
同法可得，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的中位线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
