专题06 空间向量与立体几何
考点一：空间几何体及其表面积与体积
知识点1 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
3、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法画法．
（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
（3）直观图与原图形面积的关系：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图．
知识点2 空间几何体的表面积和体积
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体体积间的关系
【题型1 空间几何体的表面积】
求空间几何体表面积的常见类型及思路 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加
1．（23-24高三上·湖南·月考）已知圆锥的体积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐 毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
3．（23-24高三下·全国·一模）已知正三棱台的上 下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏徐州·学业考试）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（ ）
A．80 B． C．160 D．
【题型2 空间几何体的体积】
空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换
1．（2023·全国·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．（2023·全国·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
3．（23-24高三下·贵州贵阳·模拟预测）下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 空间几何体的外接球】
1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。
1．（2023·全国·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
2．（23-24高三下·河南·月考）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 .
3．（23-24高三下·江西·月考）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
【题型4 空间几何体的内切球、棱切球】
1、内切球的相关结论与方法： （1）多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等(球半径），利用等体积法求解； （2）旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上；利用轴截面确定内切球半径； 2、棱切球常用结论： （1）正n棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点O，正棱雉的棱切球的球心在其高线上球心位置的确定可以根据对称性找到或过截面圆圆心垂线找到； （2）多面体的每一个面与此棱切球都相交，且截面圆是多面体面的内切圆； （3）棱长都为a的正n棱柱，则棱切球的半径为
1．（2023·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
2．（23-24高三下·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
考点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点1 点、直线、平面之间的位置关系
1、四个公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
【拓展】公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
4、直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
5、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
知识点2 直线、平面平行
1、直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α， a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
2、平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P， a∥β，b∥β α∥β
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
3、平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
知识点3 直线、平面垂直
1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2、平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
3、垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
知识点4 空间角
1、异面直线所成的角
（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）范围：(0°，90°]．
2、直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是.
（2）范围：.
3、平面与平面的角
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
【题型1 共面、共线、共点问题】
1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
1．（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
2．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（ ）
A．四点不共面 B．四点共面
C．为直角三角形 D．为直角三角形
3．（23-24高三上·山西大同·月考）（多选）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
4．（23-24高三下高三·江苏·专题练习）（多选）如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱和的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．，，，四点共面 B．与共面、
C．平面 D．平面
【题型2 线面关系有关命题的判断】
判断空间线、面位置关系的常用方法： （1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问题 （2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面位置关系，并结合有关定理进行判断； (3）借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
1．（23-24高三下·辽宁大连·一模）已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
2．（23-24高三下·湖北·二模）、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
3．（23-24高三下·贵州·三模）已知是不同的两条直线，是不重合的两个平面，则下列命题中，真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（23-24高三下·江苏南通·模拟预测）已知是两个平面，，是两条直线，则下列命题错误的是（ ）
A．如果，，那么 B．如果，，那么
C．如果，，那么 D．如果，， ，那么
5．（23-24高三下·湖南娄底·一模）（多选）已知是空间中三条不同的直线，是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或. D．若，则，
【题型3 平行垂直关系的证明】
立体几何证明问题中的转化思想 1、证明线面平行、垂直关系问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； 2、线线关系是线面关系、面面关系的基础，证明过程中要注意利用平面几何中的结论，起目中隐含的平行和垂直关系，以及平行关系和垂直关系的相互转化。
1．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
2．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.
（1）当为中点时，求证:平面;
（2）当平面时，求的值.
3．（23-24高三上·山东菏泽·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．
4．（23-24高三下·青海西宁·二模）如图，在三棱柱中，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
【题型4 平面几何折叠问题】
注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化． 翻折问题的两个解题策略 1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
1．（23-24高三下·江苏泰州·月考）（多选）已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上，．沿DE将折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（ ）
A．存在点P，使得 B．存在点P，使得直线平面PDE
C．不存在点P，使得 D．不存在点P，使得四棱锥的体积为8
2．（23-24高三下·云南昆明·一模）（多选）在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积的最大值为 B．点都在同一球面上
C．点在某一位置，可使 D．当时，
3．（23-24高三下·吉林·模拟预测）（多选）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
4．（23-24高三下·甘肃·一模）（多选）梯形中，，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置的点，使平面
B．若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等
C．若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是
D．若的中点为，则必存在某个位置的点，使
【题型5 空间几何体的截面问题】
截面形状及相应面积的求法： （1）结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理求截面问题； （2）猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； （3）建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值.
1．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三下·江西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则N ．
5．（23-24高三下·山东日照·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
【题型6 空间几何体的动点轨迹问题】
动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型。 空间中轨迹问题的解答思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直等关系； （2）用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.
1．（23-24高三下·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．1
2．（23-24高三下·江苏·一模）在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
3 ．（23-24高三下·全国·模拟预测）在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·湖南长沙·月考）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
考点三：空间向量在立体几何中的应用
知识点1 空间向量及其运算
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
3、两向量的数量积：
（1）两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，若，则称与互相垂直，记作.
（2）两向量的数量积：非零向量，的数量积．
（3）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
4、空间向量相关运算的坐标表示
设，，
向量表示 坐标表示
数量积
共线 ，，
垂直
模
夹角
知识点2 空间向量在立体几何中的应用
1、空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
2、利用空间向量求空间角
（1）异面直线所成角：设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
（2）直线与平面所成角：
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
（3）二面角：若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
3、利用空间向量求空间距离
（1）点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为.
（3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【题型1 向量基本定理及线性运算】
在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ且同过点P＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
1．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ．
3．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 .
4．（2023·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 空间向量数量积及其应用】
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。
1．（23-24高三上·山东菏泽·月考）已知，则= ．
2．（2022高三·全国·专题练习）设空间向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．8
3．（23-24高三下·月考·月考）已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三下·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 .
【题型3 求异面直线所成的角】
容易忽视异面直线的夹角与向量夹角范围不同，两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 求异面直线所成角的方法： 1、通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，将角都放在三角形中，利用余弦定理求解。 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
1．（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）在正四棱锥中，为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·四川绵阳·一模）三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·广东·模拟预测）在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 求直线与平面所成的角】
若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 求线面角的常用方法： 1、直接作出线面角求解； 2、等体积法求出直线上一点到平面的距离，通过直角三角形可直接确定线面角的正弦值； 3、用向量法求解直线与平面所成角：设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·甘肃定西·一模）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
4．（23-24高三下·湖南娄底·一模）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，.
（1）求证：平面；
（2）已知点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【题型5 求平面与平面所成的角】
若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 求二面角的常用方法 1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形，利用余弦定理求解； 2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接点与棱上的垂足，即可得到二面角的平面角； 3、垂面法：已知二面角内一点到两个半平面的垂线，过两垂线的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 4、向量法： （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
2．（22-23高一下·陕西咸阳·月考）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下高三·全国·专题练习）三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为，，平面ABC，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
4．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【题型6 求空间距离】
求空间距离的常用方法： 1、直接法：根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解； 2、转化法：如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线面距和面面距转化为点面距； 3、体积法：对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的； 4、向量法：在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。
1．（23-24高三下·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·四川·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求点A到平面SBC的距离.
4．（23-24高三下·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，求直线到平面的距离.
【题型7 利用向量解决探究性问题】
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．
1．（23-24高三下·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
2．（23-24高三下·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
3．（23-24高三下·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
4．（23-24高三下·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：．
（2）在棱上是否存在一点，使三棱锥的体积为3？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【题型8 空间几何中的最值范围问题】
1、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对称点A，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 2、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
1．（2023·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D． E．均不是
4．（23-24高三下·河南信阳·一模）已知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，点F，G分别在线段，上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A． B． C． D．专题06 空间向量与立体几何
考点一：空间几何体及其表面积与体积
知识点1 空间几何体的结构特征
1、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点，但不一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
3、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆形
旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
3、空间几何体的直观图
（1）画法：常用斜二测画法画法．
（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
（3）直观图与原图形面积的关系：按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：
S直观图＝S原图形；S原图形＝2S直观图．
知识点2 空间几何体的表面积和体积
1、空间几何体的表面积和体积公式
名称 几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
几何体的表面积和侧面积的注意点
①几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．
②组合体的表面积应注意重合部分的处理．
2、柱体、锥体、台体体积间的关系
【题型1 空间几何体的表面积】
求空间几何体表面积的常见类型及思路 1、求多面体的表面积：只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积； 2、求旋转体的表面积：可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 3、求不规则几何体的表面积：通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积； 【注意】在求解组合题的表面积时，注意几何体表面的构成，尤其是重合部分，面积不要多加或少加
1．（23-24高三上·湖南·月考）已知圆锥的体积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
由，得，所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．解得
又，故选：C．
2．（23-24高三下·湖南长沙·二模）蒙古包（Mongolianyurts）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐 毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（ ）
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】A
【解析】由题意知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，
设底面圆的半径为r，则，
则圆锥的母线长为（米），
故该蒙古包（含底面）的表面积为（平方米），故选：A
3．（23-24高三下·全国·一模）已知正三棱台的上 下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设分别是的中点，连接，
设分别是正三角形和正三角形的中心，
则，且，
由于平面平面，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，
所以，所以是棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，
所以，过作，垂足为，
则，所以，
所以三棱台的表面积为.故选：C
4．（23-24高三上·江苏徐州·学业考试）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（ ）
A．80 B． C．160 D．
【答案】D
【解析】设分别是的中点，连接，根据对称性可知，
在平面的射影在上，设其为，连接，
则平面，而平面，所以，
所以是与平面成的角，即，
所以，
过作，垂足为，连接，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
，所以，
所以，所以，
所以该屋顶的侧面积为：.故选：D
【题型2 空间几何体的体积】
空间几何体的体积 1、处理空间几何体体积的基本思路 （1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出并容易求解的高； （2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算； （3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。 2、求体积的常用方法 （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算； （2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算； （3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换
1．（2023·全国·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】取中点，连接，如图，
是边长为2的等边三角形，，，
又平面，，平面，
又，，
故，即，
所以，故选：A
2．（2023·全国·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，
因为，
则，
故，则，
所以所求体积为.
3．（23-24高三下·贵州贵阳·模拟预测）下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为，
依题意，，解得，，
而圆台的母线长，
因此圆台的高，
所以圆台的体积.故选：D.
4．（23-24高三下·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以2为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为，
设底面中心为，截面中心为，则，，
所以，所以截面为的面积为.
设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为，
底面中心与截面中心之间的距离为，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为2，，
所以，所以为等腰直角三角形，
所以，所以四边形边长为，
所以四边形面积为，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即.故选：D.
【题型3 空间几何体的外接球】
1、求解几何体外接球的半径的思路 （1）根据球的截面的性质，利用球的半径R、截面圆的半径r及球心到截面圆的距离d三者的关系 R2＝r2＋d2求解，其中，确定球心的位置是关键； （2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解． 2、解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 第一步定球心：如果是内切球，则球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，则球心到接点的距离相等且为半径； 第二步作截面：选准最佳角度作截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的； 第三步求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解。
1．（2023·全国·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则 ．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，
则，
因为，即，解得.
2．（23-24高三下·河南·月考）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 .
【答案】
【解析】在中，由余弦定理得，
由，得，设的外接圆半径为r，
由正弦定理得，则，
设三棱柱的外接球半径为R，则，
所以此球O的表面积等于.
3．（23-24高三下·江西·月考）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径，
则该球的表面积为．故选：A．
4．（23-24高三下·辽宁抚顺·一模）在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，即，
又，因为，所以，同理，
又由平面ABC，平面.
设的外接圆半径为，所以，
所以，所以外接球的半径R满足，
∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.
5．（23-24高三下·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除中，底面是正方形，平面，和均为等边三角形，且．则这个几何体的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】连接，分别取、、中点、、，连接、、，
由底面是正方形，平面，和均为等边三角形，
故，底面，又，故，
则，故，
由为底面正方形中心，，
故羡除外接球球心在直线上，
连接、、，设半径为，，则,
由底面，平面，故，
又，、平面，故平面，
又平面，故，故，
又，故有，即，
又，
故有，解得，
故，即，
则这个几何体的外接球的体积为.
【题型4 空间几何体的内切球、棱切球】
1、内切球的相关结论与方法： （1）多面体的内切球：多面体的各面均与球面相切；球心到各面距离相等(球半径），利用等体积法求解； （2）旋转体的内切球：旋转体的各面均与球面相切；球心在旋转轴上；利用轴截面确定内切球半径； 2、棱切球常用结论： （1）正n棱柱的棱切球的球心为上下底面中心连线的中点O，正棱雉的棱切球的球心在其高线上球心位置的确定可以根据对称性找到或过截面圆圆心垂线找到； （2）多面体的每一个面与此棱切球都相交，且截面圆是多面体面的内切圆； （3）棱长都为a的正n棱柱，则棱切球的半径为
1．（2023·全国·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12
【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，
侧面的中心为，连接，如图，
由题意可知，为球心，
在正方体中，，即，
则球心到的距离为，
所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.
2．（23-24高三下·吉林·模拟预测）已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，
由题意知：，两式相除解得，；
所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，
圆锥的高，
设圆锥的内切圆半径为，，解得.故选：D.
3．（23-24高三下·广西·二模）在三棱锥中，，，，的面积分别3，4，12，13，且，则其内切球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为，所以类比勾股定理由面推及到空间几何体可知三棱锥是一个墙角模型，
所以，
设三棱锥的三条侧棱PA，PB，PC长分别为PA=x，PB=y，PC=z，
则由题意有①，所以有，，
所以代入①式，
所以，
设三棱锥的内切球半径为，则
，
所以，，
所以内切球的表面积为.
4．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上，下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆台的轴截面为等腰梯形，上底面半径为，下底面半径为，则腰长为，
故梯形的高为，
则该圆台的体积为.故选：D.
5．（23-24高三上·江苏连云港·月考）已知正三棱柱的体积为，若存在球与三棱柱的各棱均相切，则球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示，取上下底面的中心，分别为上底面棱上的切点，
则为的中点，设，
由题意易知，
则，
因为，
所以.
考点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点1 点、直线、平面之间的位置关系
1、四个公理
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内．
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
【拓展】公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．
（4）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3、直线与直线的位置关系
（1）空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
相交 同一平面内，有且只有一个公共点
平行 同一平面内，没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
4、直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
5、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
知识点2 直线、平面平行
1、直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α， a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
2、平面与平面平行判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P， a∥β，b∥β α∥β
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
3、平行关系之间的转化
在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．
知识点3 直线、平面垂直
1、直线与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α
性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
2、平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 α⊥β
性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 l⊥α
3、垂直关系之间的转化
在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：
在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
知识点4 空间角
1、异面直线所成的角
（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）范围：(0°，90°]．
2、直线和平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是.
（2）范围：.
3、平面与平面的角
（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
（2）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
【题型1 共面、共线、共点问题】
1、证明点或线共面问题的2种方法 （1）首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内； （2）将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2、证明点共线问题的2种方法 （1）先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上； （2）直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上． 3、证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
1．（23-24高三下·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）
A．四点共面 B．
C．三线共点 D．
【答案】D
【解析】对于AB，如图，连接，，
因为是的中位线，所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，所以四点共面，故AB正确；
对于C，如图，延长，相交于点，
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
因为平面平面，
所以，所以三线共点，故C正确；
对于D，因为，当时，，
又，则，故D错误.故选：D.
2．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，若是弧BC的中点，是线段AB的中点，则（ ）
A．四点不共面 B．四点共面
C．为直角三角形 D．为直角三角形
【答案】D
【解析】因为点，而平面，
结合圆柱结构，所以平面，故四点不共面；
圆柱中，AD，BC分别是上、下底面的两条直径，且，
若是弧BC的中点，是线段AB的中点，故，
所以，故；
连接，则依题有为在平面内的射影，
在平面内显然与不垂直，故与不垂直；
，则为直角三角形，故选：．
3．（23-24高三上·山西大同·月考）（多选）已知正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．三点共线 B．四点共面
C．四点共面 D．四点共面
【答案】ABC
【解析】连接，，，因为为的中点，
所以，平面平面，
因为平面，平面，
所以点是平面和平面的交点，
所以，，，三点共线，故A正确；
因为，，三点共线，所以，，，四点共面，，，，四点共面，故BC正确；
取中点，连接交于点，由题意得，，
所以，即为的三等分点，
因为，，不共线，平面，平面，为的中点，
所以点平面，，，，四点不共面，故D错.故选：ABC.
4．（23-24高三下高三·江苏·专题练习）（多选）如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱和的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．，，，四点共面 B．与共面、
C．平面 D．平面
【答案】ACD
【解析】对于选项，连接，则因为，，分别是棱和的中点，所以，
因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，
所以，，，四点共面，所以正确；
对于选项，若与共面，则，，，共面，故在平面中，
这与题设矛盾，所以错误；
对于选项，
因为，，，
所以平面，所以正确；
对于选项，连接，因为，，
所以是等边三角形，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，所以平面，所以正确.故选：.
【题型2 线面关系有关命题的判断】
判断空间线、面位置关系的常用方法： （1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问题 （2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面位置关系，并结合有关定理进行判断； (3）借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.
1．（23-24高三下·辽宁大连·一模）已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【解析】若，则a，b可以是平行，也可以是相交或异面，故A错误；
若，则或，故B错误；
若且，当时，不能证明，C选项错误；
若，且，在上取一点，作，
由面面垂直的性质定理可得且，既与重合，可得，故D正确.故选：D
2．（23-24高三下·湖北·二模）、、是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ）
A．， B．，
C．，， D．，
【答案】C
【解析】对于A，，可以平行，也可以相交，
对于B，a，c可以平行，可以相交，也可以异面，
对于D，，可以平行，也可以相交，
对于C，不妨设，在平面内作，
因为，则，同理在平面内作，则，所以，
又，则，而，所以，所以，即C正确.故选：C
3．（23-24高三下·贵州·三模）已知是不同的两条直线，是不重合的两个平面，则下列命题中，真命题为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】当时， 不成立，故A错误；
由，可知 ，若 ，则，故B正确；
根据线面垂直的判定定理，m需垂直于 内的两条相交直线才有，
此情况m可能与斜交，故C错误；
根据面面平行的判定定理可知D错误，和可能相交.故选：B.
4．（23-24高三下·江苏南通·模拟预测）已知是两个平面，，是两条直线，则下列命题错误的是（ ）
A．如果，，那么 B．如果，，那么
C．如果，，那么 D．如果，， ，那么
【答案】D
【解析】对于A:由面面平行的定义可得与没有公共点，即，故A正确；
对于B:如果，，那么在内一定存在直线，
又，则，故B正确；
对于C:如果，，那么根据线面平行的性质可得 ，故C正确;
对于D；如果，，则或，
又，那么与可能相交，也可能平行，故D错误.故选：D.
5．（23-24高三下·湖南娄底·一模）（多选）已知是空间中三条不同的直线，是空间中两个不同的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或. D．若，则，
【答案】ABC
【解析】对，需要补上不平行才成立，否则可能与相交或平行，故错误；
对，若，则或，故错误；
对，有可能且且，故错误；
对D，若，则，故D正确.故选：ABC.
【题型3 平行垂直关系的证明】
立体几何证明问题中的转化思想 1、证明线面平行、垂直关系问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理； 2、线线关系是线面关系、面面关系的基础，证明过程中要注意利用平面几何中的结论，起目中隐含的平行和垂直关系，以及平行关系和垂直关系的相互转化。
1．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）连接交于点，则为的中点，连接，
因为为的中点，所以，
又平面，且平面，所以平面.
（2）连接，因为，所以四边形为菱形，所以，
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以.
2．（23-24高三上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，底面为正方形的四棱锥中，平面为棱上一动点，.
（1）当为中点时，求证:平面;
（2）当平面时，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】（1）证明：连接 ，设，则为的中点，
连接 ，因为和分别为，的中点，所以，
因为平面，且平面，所以平面 .
（2）以为原点，分别为和轴, 过做的平行线为轴，
建立空间坐标系，如图所示，
设，则，
所以，
设，可得，则，
由平面，所以，解得，所以.
3．（23-24高三上·山东菏泽·月考）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）利用题中条件能否得出平面？若不能，试添加一个适当的条件后证明平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）不能得出平面，添加条件，证明见解析
【解析】（1）因为，，为棱的中点
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，且，所以平面，
因为分别是，的中点，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
因为平面，平面，，平面，
所以平面平面．
（2）利用题中条件不能得出平面，
添加条件，
证明如下：因为，，，平面，
所以平面．
4．（23-24高三下·青海西宁·二模）如图，在三棱柱中，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如图，取的中点，连接，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以．
在中，，
所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知平面，，
所以四棱锥的体积
．
【题型4 平面几何折叠问题】
注意折叠或展开过程中平面图形与空间图形中的变量与不变量，不仅要注意哪些变了，哪些没变，还要注意位置关系的变化． 翻折问题的两个解题策略 1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决 2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
1．（23-24高三下·江苏泰州·月考）（多选）已知正方形ABCD的边长为4，点E在线段AB上，．沿DE将折起，使点A翻折至平面BCDE外的点P，则（ ）
A．存在点P，使得 B．存在点P，使得直线平面PDE
C．不存在点P，使得 D．不存在点P，使得四棱锥的体积为8
【答案】AC
【解析】若，又，,平面，平面，
则面PCD，平面,则，
而，，有解，A对．
若平面PDE，平面BCDE，平面平面，
∴，矛盾，故B错误；
取PC中点N，∵，则，
若，又，且平面DEN，平面DEN,
则面DEN，又平面DEN,则，则矛盾，
∴不存在P使得，C对．
，A到DE距离，
，存在，D错，故选：AC．
2．（23-24高三下·云南昆明·一模）（多选）在矩形中，，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为，连接得到三棱锥，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积的最大值为 B．点都在同一球面上
C．点在某一位置，可使 D．当时，
【答案】ABD
【解析】如图所示：分别过作，
对A，当平面平面时，三棱锥的高最大为，
三棱锥体积的最大值为，A正确；
对B，，的中点为，则,
故为三棱锥的外接球球心，B正确；
对C，若存在点在某一位置，使，连接，
由于，，平面，则平面，
又平面，，这与相矛盾,不重合），
不存在点在某一位置，使，C错误；
对D，当，又，，平面,平面，
又平面，，又，，，D正确．故选：ABD．
3．（23-24高三下·吉林·模拟预测）（多选）如图1，在等腰梯形中，，且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A．在翻折过程中，与可能垂直
B．在翻折过程中，二面角无最大值
C．当三棱锥体积最大时，与所成角小于
D．点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
【答案】AC
【解析】如图1：
在未折起之前，有，， ，..
又，，所以.
沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图：
当时，，又，平面，
所以平面，平面，所以平面平面，
又平面，平面平面，，所以平面.
平面，所以.故A正确.
此时，，所以即为二面角的平面角为，
是二面角的最大值，故B错误；
此时三棱锥的高等于，高取得最大值，
又底面不变，所以三棱锥的体积最大.
如图：
取中点，连接，，则即为一面直线与所成角，
在中，，，，
所以，所以，故C正确；
对D：点在平面内，且直线与直线所成角为，若点的轨迹是椭圆，
根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆），
当二面角或时，，
当二面角时，，
所以点在平面内，且直线与直线所成角为，
且点的轨迹是椭圆时，，故D错误.故选：AC
4．（23-24高三下·甘肃·一模）（多选）梯形中，，沿着翻折，使点到点处，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置的点，使平面
B．若的中点为，则异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等
C．若平面平面，则三棱锥外接球的表面积是
D．若的中点为，则必存在某个位置的点，使
【答案】BC
【解析】梯形中，，则梯形为等腰梯形，
过作的垂线，垂足为，为中点，
则有，由勾股定理得，，
，，则，
对于A，假设存在某个位置的点，使平面，由平面，则，
即梯形中，，显然不成立，故A错误;
对于B，平面平面，的中点为，
平面，平面，，则，又，
所以异面直线与所成角的大小和平面与平面所成角的大小相等，故B正确；
对于C，若平面平面，平面平面，
平面，，则平面，
中，，，则，
外接圆的圆心为的中点，半径为，
设三棱锥外接球球心为，半径为，，
过球心作的平行线，与的延长线交于点,
，由，，
则有，解得，则有，
所以三棱锥外接球的表面积是，故C正确；
对于D，梯形中，四边形为菱形，，则，
翻折过程中，点轨迹是的中点为圆心为直径的半圆弧（不包括点和点），
则，
所以不存在点，使，故D错误.故选：BC.
【题型5 空间几何体的截面问题】
截面形状及相应面积的求法： （1）结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理求截面问题； （2）猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； （3）建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型；③求最值.
1．（23-24高三下·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】C
【解析】如图，设，分别延长交于点，此时，
连接交于，连接，
设平面与平面的交线为，则，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，设，则，
此时，故，连接，
所以五边形为所求截面图形，故选：C．
2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知一正方体木块的棱长为4，点在校上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，在上取一点，使得，连接，
因为且，所以四边形为平行四边形，
所以与相交于且为的中点，
又在上，所以与相交于，且O平分，，
所以四点四点共面且四边形为平行四边形，
所以过三点的截面是平行四边形，
，
，
，
故截面面积为.故选：A.
3．（23-24高三下·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，
取的中点，分别连接，
在正方形中，因为分别为的中点，可得，
所以，，
因为，所以，所以，即，
又因为分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可证：，
又因为且平面，所以平面，
即平面截正方体的截面为，
由正方体的棱长为，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的面积为.故选：D.
4．（23-24高三下·江西·月考）如图，在正三棱锥中，侧棱，过点作与棱DB，DC均相交的截面AEF．则周长的最小值为 ，记此时的面积为，则N ．
【答案】；
【解析】把正三棱锥的侧面展开，两点间的连接线是截面周长的最小值.
正三棱锥中，，所以，
所以，故周长的最小值为.
又，
所以，则.
5．（23-24高三下·山东日照·一模）已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
【答案】5；
【解析】取中点且，平面，可知平面，
根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图至多为五边形.
令，则，
可得，
则，可得，
所以，
又因为与的夹角为与夹角，而与垂直，
则，
可得，
可知：当时，S取最大值.
【题型6 空间几何体的动点轨迹问题】
动点轨迹问题一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型。 空间中轨迹问题的解答思路： （1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直等关系； （2）用动点的坐标表示相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程； （3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.
1．（23-24高三下·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】在棱长为1的正方体中，连接，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，同理，而平面，
因此平面，因为，则平面，
而点为截面上的动点，平面平面，
所以点的轨迹是线段，长度为.故选：B
2．（23-24高三下·江苏·一模）在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故P点轨迹为以为直径的球，
如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心，
设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以，
易知，，又动点在正方体的表面上运动，
所以点的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为，故选：B．
3 ．（23-24高三下·全国·模拟预测）在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，是平面内一点，且，若，则点的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，取的中点，连接，易得，
又，平面，所以平面，
又，所以，，，
在中，，由余弦定理得，
作交的延长线于点，则，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以，所以，
在中，，则，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
则点的轨迹长度为，故选：C，
4．（23-24高三下·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱中，，点在四边形内（含边界）运动．当时，点的轨迹长度为，则该四棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设棱长为，延长，过点作垂直于的延长线于，
由，可得；
由直四棱柱的性质可得，平面，所以；
因为，所以.
在平面内，点的轨迹是以为圆心，
为半径的圆夹在四边形内的部分，即图中圆弧.
因为，所以，
因为点的轨迹长度为，所以，即.
四棱柱的表面积为.故选：A.
5．（23-24高三下·湖南长沙·月考）如图，某简单组合体由圆柱与一个半球黏合而成，已知圆柱底面半径为2，高为4，A是圆柱下底面圆周上的一个定点，P是半球面上的一个动点，且，则点P的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，
如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，
，设，，
在和中使用勾股定理有，解得，
于是点P的轨迹的长度.故选:D.
考点三：空间向量在立体几何中的应用
知识点1 空间向量及其运算
1、空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量；
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量；
（3）相反向量：方向相反且模相等的向量；
（4）共线向量(或平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量；
（5）共面向量：平行于同一个平面的向量
2、空间向量的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使得.
（2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
（3）空间向量基本定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}，使得，其中，叫做空间的一个基底．
3、两向量的数量积：
（1）两向量的夹角：已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是[0，π]，若，则称与互相垂直，记作.
（2）两向量的数量积：非零向量，的数量积．
（3）空间向量数量积的运算律
①结合律：；
②交换律：；
③分配律：.
4、空间向量相关运算的坐标表示
设，，
向量表示 坐标表示
数量积
共线 ，，
垂直
模
夹角
知识点2 空间向量在立体几何中的应用
1、空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为，
直线l的方向向量为，平面α的法向量为
平面α，β的法向量分别为，
2、利用空间向量求空间角
（1）异面直线所成角：设异面直线a，b所成的角为θ，则，其中，分别是直线a，b的方向向量．
（2）直线与平面所成角：
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，为l的方向向量，为平面α的法向量，
φ为l与α所成的角，则.
（3）二面角：若AB，CD分别是二面角α l β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图a.
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为，平面β的法向量为，，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则，如图b，c.
3、利用空间向量求空间距离
（1）点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，
设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为．
（2）点到平面的距离：已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为.
（3）线面距和面面距：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
【题型1 向量基本定理及线性运算】
在进行空间向量相关概念判断时，要注意零向量的特殊性，如零向量与任意向量平行等。 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ且同过点P＝x＋y对空间任一点O，＝＋t对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝x＋(1－x)对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
1．（23-24高二下·湖北·开学考试）如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】为四面体的棱的中点，为的中点，
故，，，
因为，所以，
.故选：A
2．（2023·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ．
【答案】
【解析】由空间内一点满足，
可得，
因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点，
使得，所以，即点为的中点，
可得，所以三棱锥和的体积比值为.
3．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 .
【答案】
【解析】因为四点共面，所以共面，
所以存在唯一实数对，使得，
即，所以，
所以，所以.
4．（2023·河南·模拟预测）已知空间向量，若共面，则实数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意知不共线，且共面，
所以存在实数，使得，
所以，
所以，解得，故选：A.
【题型2 空间向量数量积及其应用】
1、求夹角：设向量，所成的角为，则，进而可求两异面直线所成的角； 2、求长度（距离）：运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； 3、解决垂直问题：利用，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题。
1．（23-24高三上·山东菏泽·月考）已知，则= ．
【答案】
【解析】，
故.
2．（2022高三·全国·专题练习）设空间向量，且，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】由空间向量，
因为，可得，解得.故选：C.
3．（23-24高三下·月考·月考）已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为
.故选：D
4．（23-24高三下·江苏盐城·模拟预测）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】平面，，连接，
由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，，设，，
则，
所以
因为，则，则，所以.故选：D
5．（23-24高三下·云南红河·二模）如图，在棱长均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，
则
因为，所以，
即，
即，由，得，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
【题型3 求异面直线所成的角】
容易忽视异面直线的夹角与向量夹角范围不同，两异面直线所成角的范围是。两向量的夹角的范围是，需要注意两者的区别与联系。 求异面直线所成角的方法： 1、通过平移，将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，将角都放在三角形中，利用余弦定理求解。 2、用向量法求异面直线所成角的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； （4）注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
1．（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）在正四棱锥中，为的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接交于，取的中点，再连接，
因为，所以为所求角或其补角，
在中，为的中点，且，所以，
所以正四棱锥的所有棱长都相等．
设四棱锥的棱长均为2，在中，，，
所以.故选：D.
2．（23-24高三下·辽宁·模拟预测）如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中，
如图，在梯形中，过作，垂足为，
而，故，
故.
同理，.
在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，
则或其补角为异面直线与所成角，
因，，故四边形为平行四边形，
故，，
而，故，
故，
故异面直线与所成角的余弦值为，故选：D.
3．（23-24高三下·四川绵阳·一模）三棱柱，底面边长和侧棱长都相等．，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
由题意，
，
，
又，
设异面直线与所成角为，则.故选：D．
4．（23-24高三下·广东·模拟预测）在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，记的中点为，连接，记正的中心为，连接，
因为在正三棱锥中，底面，
在正中，，在平面中过点作轴底面，则轴，
以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，
因为在正三棱锥中，的边长为6，侧棱长为8，
所以，
则，，
故，
则，，，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.
【题型4 求直线与平面所成的角】
若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 求线面角的常用方法： 1、直接作出线面角求解； 2、等体积法求出直线上一点到平面的距离，通过直角三角形可直接确定线面角的正弦值； 3、用向量法求解直线与平面所成角：设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，直线l与平面α所成的角为φ，向量与的夹角为θ，则有.
1．（2023·全国·高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，
又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，
显然平面，于是平面，又平面，
因此平面平面，显然平面平面，
直线平面，则直线在平面内的射影为直线，
从而为直线与平面所成的角，
令，则，
在中，由余弦定理得：，
由正弦定理得，即，
显然是锐角，，
所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C
2．（23-24高三下·甘肃定西·一模）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设，
因为在矩形中，，所以，
因为底面，
所以分别是与底面所成的角，即，
所以.
因为，所以，解得(负根舍去)，
所以.故选：D.
3．（23-24高三下·山东·二模）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由平面平面，平面，
得平面平面，而平面，
所以平面．
（2）连接，由平面平面，得，
则是直线在平面内的射影，是直线与平面所成的角，
在中，，则，
由点是的中点，得，
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
4．（23-24高三下·湖南娄底·一模）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，.
（1）求证：平面；
（2）已知点为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）连接.
因为，且，所以，
因为，所以.
因为是棱的中点，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
由题意可得，则，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，所以.
因为平面，且，所以平面.
（2）以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，
从而，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【题型5 求平面与平面所成的角】
若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，当求得两法向量夹角的余弦值时，一定要结合图形判断二面角的取值范围． 求二面角的常用方法 1、定义法：在两个半平面分别找棱的垂线，构造三角形，利用余弦定理求解； 2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接点与棱上的垂足，即可得到二面角的平面角； 3、垂面法：已知二面角内一点到两个半平面的垂线，过两垂线的平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 4、向量法： （1）找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小； （2）找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，
所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨设，，．
，，
又，平面平面．
以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，
设平面与平面的一个法向量分别为，
二面角平面角为,而，
因为，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，从而．
所以二面角的正弦值为．
2．（22-23高一下·陕西咸阳·月考）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F，
因为均为等边三角形，故，
故为二面角的平面角；
又平面，故平面，
而平面，故，
又，平面，
故平面，则点A到平面的距离为，
又为等边三角形，边长为2，故，
故在中，，则，即，
故二面角的大小为，故选：A
3．（23-24高三下高三·全国·专题练习）三棱锥被平行于底面ABC的平面截得的几何体如图所示，截面为，，平面ABC，，．
（1）证明：平面平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，
在中，，
因为，所以，
又，故，
因此，即，
又，、平面，故平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）如图所示，作，交于点E，连接BE，
由已知得平面，平面，所以，
又因为，，、平面，
所以平面，因此，
故为二面角的平面角，
过点作，交于点，则，，
所以．在中，，
在中，，
因此，即二面角的余弦值为．
4．（23-24高三下·山东菏泽·月考）如图所示，平面平面，且四边形是矩形，在四边形中，，，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接与交于点，连接，
，，
，，即 ，
又，则，
，，所以四边形是等腰梯形，
且，，
所以四边形是平行四边形，
又面，面，所以平面.
（2）因为平面平面，且四边形是矩形，为两平面的交线，，
所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
由与平面所成角为，易知面可得，
所以，
因为为等腰三角形，且，
所以点的横坐标长度为，纵坐标长度为，
，
则， ，
，，
设平面的法向量为，则，
取，，
设平面的法向量为，
则，
取，，
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【题型6 求空间距离】
求空间距离的常用方法： 1、直接法：根据已知条件，直接作出（或找出）所要求的距离，并进行求解； 2、转化法：如果空间中一些距离直接求起来比较困难时，可以把它转化为其他形式的距离来求解.比如线面距和面面距转化为点面距； 3、体积法：对于点面距离，当所求距离不易作出时，可先寻找一个合适的三棱锥，把所求距离看成是三棱锥的高，然后再利用两种方法求三棱锥的体积，抓住体积不变的原理达到求解点面距离的目的； 4、向量法：在立体几何中很多求空间距离的题目，如果它的背景适合建立空间直角坐标系，用空间向量法来求就会很方便。
1．（23-24高三下·河南·一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】连接．由已知得为的中位线，所以，
为正三角形的中线，所以，又，
所以，所以为直角三角形，
所以．
因为，所以到平面的距离为，
设到平面的距离为，
因为，所以，
所以，所以．故选：B.
2．（2023·广东·二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别取的中点，连接，
根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形；
根据题意可知，
而平面，故平面，
又平面，故平面平面，则平面平面，
作，垂足为S，平面平面，
平面，故平面，
则梯形的高即为平面与平面之间的距离；
，
故，
即平面与平面之间的距离为，故选：B
3．（23-24高三下·四川·模拟预测）如图，四棱锥中，底面ABCD为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，.
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求点A到平面SBC的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：取CD中点E，连接SE，AE，BE，
易得，，因为，，
所以，，，故，
又，，
所以，故，
因为平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD，又因为平面SCD，
所以平面平面ABCD.
（2）由（1）知平面ABCD，且，
在中，，
所以，
故.
在中，，，
所以SB边上的高，
所以.
设点A到平面SBC的距离为d，
则，即，解得，
所以点A到平面SBC的距离为.
4．（23-24高三下·吉林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.
（1）证明：平面平面；
（2）若点为的中点，求直线到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，如图所示，
平面，
，
，即，
又为中点，则，且，
四边形为正方形，，
平面平面，
又，、平面，平面，
又平面平面平面.
（2）在中，分别为中点，，
又平面平面，平面，
点到平面的距离即为到平面的距离，
（方法一），
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
设是平面的法向量，
，
取，则是平面的一个法向量，
点到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
（方法二）连接、，如图所示，
为等腰直角三角形，，
又平面是三棱锥的高，
，
，
，
，
设到平面距离为，则，
，即到平面的距离为.
【题型7 利用向量解决探究性问题】
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．
1．（23-24高三下·北京朝阳·一模）在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得直线与直线相交
B．存在点，使得直线平面
C．直线与平面所成角的大小为
D．平面被正方体所截得的截面面积为
【答案】C
【解析】连接，，所以，，取的中点，连接，
所以，点到线段的最短距离大于，
所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，所以，即，
令，则，，所以，
所以点到平面的距离为，
而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确；
因为，所以平面，连接交于点，
所以为的中点，，
所以为直线与平面所成角，
因为，在中，，
所以，因为与全等，所以，故正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点，
连接，，，，，，
平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，
所以截面面积为，故不正确.故选：.
2．（23-24高三下·全国·一模）如图，棱柱的所有棱长都等于2，且，平面平面．
（1）求平面与平面所成角的余弦值；
（2）在棱所在直线上是否存在点P，使得平面．若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点P在的延长线，且.
【解析】（1）如图：
取中点，连接，，.
因为各棱长均为2，且，所以是等边三角形.所以.
又因为，，所以是等边三角形.
所以，又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
由，所以可以以为原点，建立如图空间直角坐标系.
那么：，，，.
设平面的法向量为，
则，取；
因为平面，可取平面的法向量.
则，即为平面与平面所求角的余弦值.
（2）因为，
设，因为在上，可设，
则，可得.
设平面的法向量为，
则，
取.
由.
所以存在点P，使得平面，此时点P在的延长线，且.
3．（23-24高三下·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）取中点，连接分别为的中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，
故四边形是平行四边形，，
又平面平面，//平面.
（2）假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高，
设，则，
∴，所以，
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
设，．
设平面的一个法向量为，
则所以可取.
易知平面的一个法向量为，
，，
故存在点满足题意.
4．（23-24高三下·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：．
（2）在棱上是否存在一点，使三棱锥的体积为3？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，棱ME上
【解析】（1）设是线段的中点，连接，，，
，，，．
，，，
四边形为矩形，，．
，平面，平面，
平面，．，．
（2）解法一：假设存在点，使三棱锥的体积为3．
如图，设，
，平面平面，平面，平面平面，
平面，
由（1）易知，
，解得，
在棱上存在一点，使三棱锥的体积为3，且．
解法二：假设存在点，使三棱锥的体积为3．如图，设，
，平面平面，平面，平面平面，
平面，
又平面，平面平面，．
过作交于，
平面平面，平面，，
平面．
由（1）知，，
在中，，
，
在中，，
，解得，
在棱上存在一点，使三棱锥的体积为3，且．
【题型8 空间几何中的最值范围问题】
1、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得A关于平面的对称点A，从而利用三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值. 2、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的“静”是指问题中的不变量或者是不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
1．（2023·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取上下底面圆心、，连接、、，
由圆台性质可知，且，
又，故，
则当为以为底的高时，面积最大，
且其最大值为.故选：A.
2．（23-24高三下·四川泸州·二模）已知三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，且，，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，三棱锥的底面面积是个定值，
侧面中，顶点到边的距离也是一个定值，
所以当该三棱锥的体积取得最大值时，平面平面，
因为三棱锥的底面是边长为3的等边三角形，
所以，则，
设的外接圆的半径分别为，
则在等边中，，
在中，，
所以，
则，，
设三棱锥的外接球的半径为，则，
所以其外接球的表面积为.故选：D.
3．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【解析】在上取点，使，连接、，过点作于点，
由，故，又平面， 平面，=
故平面，由平面，平面，故，
故，又，，、平面，
故平面，故到平面的距离为，
又在线段上，故点到直线距离的最小值为，
由，故，则，
故.故选：C.
4．（23-24高三下·河南信阳·一模）已知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，点F，G分别在线段，上运动，若恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知正方体的边长为4，其中点E为线段的中点，
，即四边形为平行四边形，
作点E关于线段的对称点，则，E在平面内，连接，
则，
过点作，AB的垂线，垂足分别为，H，则共线，且，
则，当三点共线时取等号，
又平面，平面，故,
而，则，
同理，
则，，
设，则，
故，，
故实数λ的取值范围为，故选：A．
