2024年天津中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选题、填空题、解答题，满分120分，考试时间100分钟.
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、单选题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．2
2．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．央视网消息，据海关统计，2024年前2个月，我国货物贸易进出口总值达到6.61万亿元人民 币，同比增长8.7%．将数据“6.61万亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图几何体中，主视图和俯视图不一样的是（ ）
A． B． C． D．
6．估计的值（ ）
A．4到5之间 B．3到4之间 C．2到3之间 D．1到2之间
7．下列方程组中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
8．计算的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
9．若点，，都在反比例函数 的图象上， 则， ，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，，G为边上一点，且连交对角线于点E，将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点N，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，将沿折叠得，若与的边平行，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
12．如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论：
①当的长是时，劳动基地的面积是；
②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为；
③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
13．化简： ．
14．计算的结果为 ．
15．下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户．月）
户数（户） 5 22 27 31 15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
16．请写出一个不经过第四象限的一次函数解析式 ．
17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为 °．
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上．
（1）线段的长等于 ；
（2）以为直径作半圆，在半圆上找一点，满足；在上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明它们的位置是如何找到的（不要求证明） ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．解不等式（组）．
(1)，并在数轴上表示出它的解集．
(2)，并在数轴上表示出它的解集．
20．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩每位同学成绩都不低于25分绘制出部分频数分布表和部分频数直方图如下：
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
21．如图，为的弦，为的中点，为延长线上一点，与相切，切点为，连接并延长，交于点，交直线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．在进行城市规划时，工程师需要在两栋楼宇和之间建造一个观景台，楼宇的高度为60米，两栋楼宇相隔80米．规划师在楼宇的顶部测量到楼宇顶部的俯角为，在地面上的点D测量楼宇顶部的仰角为．假设地面是水平的，并且楼宇、的顶部及观测点P都位于同一平面内．且点P在上，请求出观景台的具体高度．
23．如图1，一条笔直的公路上有A、B、C三地，甲、乙两辆汽车分别从A、B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B、A两地，甲、乙两车离C地距离、（千米）与行驶时间x（时）的部分函数图象如图2所示．·
(1)甲车的速度为______千米/时，乙车的速度为______千米/时；
(2)点M的坐标是______，表示的实际意识是____________；
(3)在图2中补全甲车离C地的距离（千米）与行驶时间x（时）的函数图象；
(4)何时两车离C地的距离相等？并指出此时乙车的具体位置．
24．如图1，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于点，连接.
(1)____________；
(2)如图2，若正方形边长为6，点为的中点，连接，
①求线段的长；
②求的面积；
(3)当时，若令，则________(用含的式子表示).
25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接，和，当四边形的面积为9时，求点M的坐标；
(3)请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线，直线于点D，E．
【猜想证明】随着点M的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明，若不是，请说明理由．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页2024年天津中考最后一卷
数学参考答案
一、填空题.
1．A
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，熟知有理数乘法计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
3．C
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：将数据“6.61万亿”用科学记数法表示为．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了常见的几何体三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A、正方体主视图和俯视图都是正方形，二者一致，不符合题意；
B、圆柱的主视图和俯视图都是长方形，二者一致，不符合题意；
C、圆锥的主视图是三角形， 俯视图是圆，二者不一致，符合题意；
D、球的主视图和俯视图都是圆，二者一致，不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查的是无理数的估算，掌握估算的方法是解本题的关键，先估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴估计的值在4到5之间，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．
【详解】解：A、不是方程组的解，故该选项不符合题意；
B、是方程组的解，故该选项符合题意；
C、不是方程的解，故该选项不符合题意；
D、不是方程的解，故该选项不符合题意．
故选：B．
8．B
【分析】本题考查同分母分式的加减运算，根据同分母分式的加减：分母不变，分子相加减即可求出答案．
【详解】解：
，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查比较反比例函数自变量的大小，将函数值代入求出对应的自变量x，比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数 的图象上，
，，，
解得，，
，
故选B．
10．B
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、旋转的性质，根据旋转的性质得，，可得，再根据勾股定理求得，易证，可得，则可得，进而可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
四边形是正方形，，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
故选B．
11．C
【分析】
本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
解：①当时，如图1中，
，
，
由折叠得，
；
②当时，如图2，
，
，
，
由折叠得，，
的度数为或；
故选：C．
12．D
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：①当的长是时，，
劳动基地的面积是，说法正确；
②设的长是时，则，
若的面积为，
则
或，说法正确；
③设的长是，的面积为
由题意可得，
解得：，
∵，
当时，y随x的增大而增大，
∴当时，面积有最大值，
∵时，面积为，时，面积为，
∴面积的最小值为，说法正确，
综上，3个说法都正确，
故选：D．
二、填空题.
13．a
【分析】根据分式的除法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：a．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．
14．
【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式的运用．
根据平方差公式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
15．0.8．
【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论．
【详解】由表格可知这100户中，
有户为第二档人，
∴，
故答案为：0.8．
【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键．
16．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的性质，能够根据直线所经过的象限正确判断k，b的符号是解题的关键．根据经过二、三、四象限的一次函数，即可求解．
【详解】解：∵次函数的图象不经过第四象限，
∴，，
∴一次函数关系式可写为：如（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
17．135
【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
18． 见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的作图，
（1）利用勾股定理可得答案；
（2）取格点，连接并延长交半圆于点；取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，即可得图．
【详解】（1）解：在中，；
故答案为：．
（2）解：如图所示，
如图，取格点，即半圆的圆心，连接并延长交半圆于点，，，点即为所作点；
取格点，连接并延长，与的延长线交于点，连接交于点，连接，并延长交于点，，，，，，，点即为所求．
三、解答题.
19．(1)，见详解
(2)，见详解
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，并在数轴上表示出解集．
（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式并在数轴上表示出解集即可．
（2）解不等式组，分别求出每个不等式的解集，再找出公共解即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，
解集表示如下：
（2）
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式组的解题为：，
解集表示如下：
20．（1）a=12；（2）见解析；（3）本次测试的优秀率是44；
【分析】（1）用总人数减去第1，2，3，5组的人数，即可求出a的值；
（2）根据（1）得出的a的值，补全统计图；
（3）用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率．
【详解】解：（1）表中a的值是：a=50-4-8-16-10=12；
（2）根据题意画图如下：
（3）本次测试的优秀率是=44．
答：本次测试的优秀率是44；
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
21．(1)见解析
(2)14
【分析】（1）由切线的性质可得，由余角的性质可求解；
（2）通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，
，
，
与相切，
，
，
，
是等腰三角形，
为的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：是直径，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，，
，
，
的半径为14．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是本题的关键．
22．米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点P作于H，连接，则四边形是矩形，可得，解得到米，再解得到米，则米，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于H，连接，则四边形是矩形，
∴，
在中，米，
∴米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴观景台的具体高度为米．
23．(1)，；
(2)，乙车经过到达地；
(3)，图见解析；
(4)两车行驶或小时到地距离相等，当乙车行驶小时，乙车行驶至之间，距离点距离为处，当乙车行驶小时，乙车行驶至点．
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，求一次函数的解析式，掌握相关知识，结合图形进行求解是解题的关键．
（1）由图象可知，，据此来求解；
（2）求出乙到达地时，所用的时间即可得出点M的坐标；
（3）设出直线的解析式，根据待定系数法求出解析式并画出图象；
（4）由图象分别解出时和时甲、乙的解析式，令其相等，即可求解．
【详解】（1）解：由图象可知，，
∴，
，
故答案为：，．
（2）解：当乙到达地时，所用的时间为：
，
∴点M的坐标是，表示乙车经过到达地，
故答案为：，乙车经过到达地．
（3）解：当时设，
∵甲还要走到处，
∴用时，
∴函数过点，，
代入中，得，
解得：，
∴，如图：
（4）解：由图可知，当时，甲车经过点，乙车还未到达点，
设，
乙车的函数图象过点，，代入得：
，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴乙车行驶的路程为：，
∴乙车行驶至之间，距离点距离为处，
当时，设，
乙车的函数图象过点，代入得：
，
解得：，
∴，
∴，
解得：，
∴乙车行驶的路程为：，
∴乙车行驶至点，
∴两车行驶或小时到地距离相等，当乙车行驶小时，乙车行驶至之间，距离点距离为处，当乙车行驶小时，乙车行驶至点．
24．（1）；（2）①线段的长为2；②；（3）a .
【分析】（1）根据正方形的性质可得DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解；
（2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE=3，DC=DF=AB=BC=6，利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，可得AG=GF，设AG=x，表示出GF、BG，再利用勾股定理列出方程求解即可；
②根据勾股定理求出EG=5，求出 ，再根据△GBE和△BEF等高求解即可；
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CE=a，可得AG=CE=EF=GF=a，再求出BG=BE，然后根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：(1)如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=DA．∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，
∴∠DFG=∠A=90°，DA=DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中， ，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3=∠4，
∴∠EDG=∠3+∠2=∠ADF+∠FDC，
=（∠ADF+∠FDC），
=×90°，
=45°；
(2)①解：∵将沿折叠得到，为的中点，
∴，，∵四边形是正方形，
∴，∴.
在和中，
，
∴(HL)，∴，
∵为中点，∴.
设，则，，∴，
在中，根据勾股定理得：
，即，
解得，即线段的长为2；
②在中，，，根据勾股定理得：.
∵BE BG.
∵△BEF和△BEG等高，
∴；
(3)∵DE=DG，∠DFE=∠C=90°，
∴点F是EG的中点，即GF=EF，
在Rt△ADG和Rt△CDE中， ，
∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），
∴AG=CE，
∴AB-AG=BC-CE，AG=CE=EF=GF=a，
即BG=BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴ 即
解得BE=a .
故答案为（1）；（2）①线段的长为2；②；（3）a .
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查了二次函数的性质与一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）利用待定系数求抛物线的解析式即可；
（2）连接，过点M作轴交于点H，先求出直线的表达式为，设点，则点，根据四边形的面积求出m的值即可得出点M的坐标；
（3）先依题意作图，设点M、N的坐标分别为、，
由点M、N的坐标可得直线的表达式为：，进而得出，再求出，，即可得出答案．
【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于，两点，
，解得，
故抛物线的函数表达式为；
（2）解：连接，过点M作轴交于点H，如图所示：
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形的面积
，
解得：，
故点；
（3）解：依题意作图如图所示：
设点M、N的坐标分别为、，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
的表达式为：，
将代入得：，
整理得：，
设直线的表达式为，
把点和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
当时，可得，
解得：，
可得：，
，
则
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
