2024年高考适应性练习
数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可.
【详解】由题意知：，
所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布性质可知：，，由正态分布曲线的对称性可知：，即可得到答案.
【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：，
因，可得，
再根据正态分布曲线的对称性可知：，
所以，
故选：B.
3. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
则有，解得.
故选：C.
4. 已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先化简命题，依题意可得当时恒成立，参变分离可得在上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题，即，
因为是的充分不必要条件，
显然当时满足，
所以当时恒成立，
则在上恒成立，
又函数在上单调递增，且，
所以.
故选：A
5. 展开式中的系数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解.
【详解】现有8个相乘，从每个中三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个.
所以，总的选取方法数目就是.
每个这样选取后相乘结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数.
故选：C.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出，再根据正弦函数的对称轴求出和整数k的关系式，再对k取值即可求解.
【详解】由题意得：，
又因为是的一条对称轴，
所以，
即，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时，；
时，；
时，；
时，.
故选：B.
7. 在中，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解.
【详解】解：由题可建立如图所示坐标系：
由图可得：，
又，
故直线的方程：，可得，
所以，
故选：C.
8. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由欧拉函数的定义可求出，由错位相减法求出，可得，即，即可求出的最小值.
【详解】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，
，
所以，则，
所以，
，
，
两式相减可得：
，
所以，
因为，所以在在单调递增，
所以恒成立，所以，
所以的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的最小值为 D. 在上单调递增
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论.
【详解】对于A，函数定义域为，有，
所以是奇函数，A正确；
对于B，有，
所以，这表明不是的周期，B错误；
对于C，我们有，
而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；
对于D，由于，，
故，所以在上并不是单调递增的，D错误.
故选：AC.
10. 已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若满足的直线恰有一条，则
D. 若满足的直线恰有三条，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】由双曲线的性质和离心率可得A正确；分情况讨论，当与一支有交点时，最短弦长为通径可得B错误；若满足的直线恰有一条可知直线与双曲线的两支分别相交，可得，可判断C正确；若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，可得，可推导出D正确.
【详解】A：当时，因为，所以，故A正确；
B：当过其右焦点的直线与交于左右两支时，的最小值为，（此时为双曲线的两顶点）
当过其右焦点的直线与交于同一支时，最短弦长为通径，即交点的横坐标为，
代入双曲线方程为，解得，此时弦长为，
由于不一定等于，故B错误；
C：若满足的直线恰有一条，
由选项B可知直线与双曲线的两支分别相交，与同一支不相交，
所以，
此时，故C正确；
D：若满足的直线恰有三条，则该直线与双曲线的两支分别相交，且有两条直线与双曲线的同一支相交，
所以，所以，
又，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A. 存在使得
B. 存在使得平面
C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D. 当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可.
【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则由题：，
所以，，，，
又，，，
所以，即，
，即，
所以，
对A，由上，故A错误；
对B，由题意是平面的一个法向量，
，
故当时，此时平面，故B正确；
对C，由上，，
设平面的一个法向量为，则，
所以，取，则，
设点Q到平面的距离为d，则由得，
又由题意可知，
故，
因为长度为定值，所以为定值，
故当时，三棱锥体积最大，故C正确；
对D，设直线与所成角为，由上当时
，
当且仅当即时等号成立，故D对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：遇立体几何复杂问题，如求最值，有垂直条件一般考虑建立空间直角坐标系用向量法解决.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，则实数的值为______．
【答案】1或2
【解析】
【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案.
【详解】因为集合，若，
所以，所以或或或，或或或或，
解得：或或或或或或或，
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
当时，，不满足；
综上：实数的值为1或2.
故答案为：1或2.
13. 在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由已知条件结合余弦定理和求出，再由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可由正弦定理形式面积公式求出面积最大值.
【详解】因为，
所以由余弦定理，得，
所以，又，
则，
所以由余弦定理以及基本不等式得：
，
即，当且仅当时等号成立，
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
14. 当时，，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由令，由，故有，可得，即得其必要条件，再在的条件下，借助，，可得，借助导数可得，即可得是其充分条件，即可得解.
【详解】令，则，
由，故，即，
即“”是“当时，”的必要条件，
当时，
令，则，
故在上单调递增，即，即，
则有，
令，则，
故在上单调递增，即，即，
则有，
即有，
令，
则，
由，，故，
即在上单调递增，则有，
即，
故“”是“当时，”的充分条件，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，一是借助必要性探路法（端点效应），得到其必要条件，二是借助常见不等式，在时，，在，的情况下，得到，从而可通过导数得到.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出公差，借助等差数列性质与等比数列性质计算即可得；
（2）分奇数项及偶数项分组求和，结合等比数列的性质与裂项相消法计算即可得.
【小问1详解】
设的公差为，由题意知，即，
即有，因为，可得，，
所以；
【小问2详解】
设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，
则
，
，
所以．
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
青年 非青年 合计
喜欢
20
不喜欢 60
合计
200
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）45 （2）（i）列联表见解析；有；（ii）
【解析】
【分析】（1）借助频率分布直方图及百分位数的性质计算即可得；
（2）（i）完善列联表后，计算卡方即可得；（ii）借助分层抽样的性质可得抽取8人中居民类别，再结合组合数的计算与概率公式计算即可得.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45；
【小问2详解】
（i）由题知，列联表为：
青年 非青年 合计
喜欢 90 20 110
不喜欢 60 30 90
合计 150 50 200
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联；
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应抽取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，
，
，
所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，取中点，连接，先证明出平面平面，由面面平行证明线面平行即可；
（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式求解即可．
【小问1详解】
连接，取中点，连接．
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，所以．
所以，在中，，同理，
因为，所以．
因为为中点，所以，
因为，且在同一平面内，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
【小问2详解】
以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
在直角中，因为，所以，
在中，，所以，
又，
所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设二面角为，由图可知为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．
18. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，再对m进行分类讨论得的正负情况，进而得函数单调性.
（2）先由题意得出隐性条件得m的限制范围， 再对不等式两边同时取以为底的对数整理得左右两边为同样形式的不等式进而将原问题等价简化成研究 恒成立即可求解.
【小问1详解】
由题可知，，且在定义域上单调递增，
当时，恒成立，此时在上单调递减，
当时，令，则，
所以时，，此时单调递减；
时，，此时单调递增，
当，即时，
此时在恒成立，单调递增，
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增.
【小问2详解】
因为，所以，
又，所以，即，
故时，恒成立，
令，，则，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，从而．
将两边同时取以为底的对数可得
整理可得．
令，则，且在上单调递增，
因为且，
所以在上恒成立，
所以恒成立，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
所以，
又因为，所以．
【点睛】方法点睛：对于指、对、幂函数同时出现的复杂不等式问题，如本题，一般考虑用同构思想方法将不等式两边转化成形式一样的式子，再构造函数利用函数单调性来研究.
19. 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析，
（2）12
【解析】
【分析】（1）由题得出椭圆方程，设直线方程为，写出两点处的切线方程，由对称性得，点处于与轴垂直的直线上，法一：两切线方程联立得，再代入即可证明；法二：由点在两切线上得直线的方程，结合直线过点，即可得出；
（2）由（1）得出直线的方程，设直线和交于点，得出为线段的中点，由弦长公式得出进而得出，由两直线夹角公式得出，得出，根据基本不等式求解即可．
【小问1详解】
由题意可知，，
所以，所以椭圆方程为，
设直线方程为，
联立，消可得，，
所以，
因为过点的切线为，过点的切线为，
由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上，
法一：联立，消去得，，
将代入上式得，
所以点在直线上．
法二：因为点在两切线上，所以，
所以直线的方程为，
又直线过点，所以，解得．
【小问2详解】
将代入得，，
直线的方程为，
设直线和交于点，联立，解得，
又，所以为线段的中点，
因为，
所以，
又因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为12．2024年高考适应性练习
数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 若随机变量，且，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
3. 若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 已知，，若是的充分不必要条件，则（ ）
A. B. C. D.
5. 展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，交于点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 的最小值为 D. 在上单调递增
10. 已知双曲线离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的最小值为
C. 若满足的直线恰有一条，则
D. 若满足的直线恰有三条，则
11. 如图，在直三棱柱中，，分别为棱上的动点，且，，，则（ ）
A. 存在使得
B. 存在使得平面
C. 若长度为定值，则时三棱锥体积最大
D. 当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，若，则实数的值为______．
13. 在中，内角对边分别为，，且，则面积的最大值为______．
14. 当时，，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据分位数：
（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
青年 非青年 合计
喜欢
20
不喜欢 60
合计
200
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.
参考公式：，其中．
参考数据：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
17. 如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
18. 已知函数.
（1）讨论单调性；
（2）若恒成立，求实数取值范围.
19. 已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．
