2023-2024学年下学期高2022级期中考试
数学
总分：150考试 时间：120分钟
一 单选题（每小题只有一个选项正确，选对得5分，不选或多选0分，共40分）
1.已知函数，则（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.的展开式中的系数为（ ）
A.80 B.40 C.10 D.-40
3.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.有4个极值点，其中有2个极大值点
B.有4个极值点，其中有2个极小值点
C.有3个极值点，其中有2个极大值点
D.有3个极值点，其中有2个极小值点
4.已知数列满足且，则（ ）
A.128 B.64 C.32 D.16
5.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫 商 角 徵 羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商 角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A.18种 B.24种 C.36种 D.72种
6.定义，已知数列为等比数列，且，则（ ）
A. B.2 C. D.4
7.若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知且，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（每小题至少两个选项正确，全对得5分，少选得2分，多选或错选不得分，共20分）
9.已知是等差数列的前项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A.数列为递减数列 B.
C.的最大值为 D.
10.设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A. B.
C. D.
11.某医院派出甲 乙 丙 丁4名医生到三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A.所有不同分派方案共种
B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D.若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
12.已知数列的通项公式为，在中依次选取若干项（至少3项），，使成为一个等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A.若取，则
B.满足题意的也必是一个等比数列
C.在的前100项中，的可能项数最多是6
D.如果把中满足等比的项一直取下去，总是无穷数列
三 填空题（每小题5分，共20分）
13.等比数列的前项和为，则__________.
14.已知，则__________.
15.定义在上的函数满足，且有，则的解集为__________.
16.已知函数（为自然对数的底数），过点作曲线的切线有且只有两条，则实数__________.
四 解答题（17题10分，其余每小题12分）
17.正项数列满足.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
18.用这6个数字，求：
（1）组成没有重复数字的四位偶数的个数；
（2）组成无重复数字且大于4000的自然数的个数.
19.已知函数在时取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.
20.已知数列的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中，每一行的第一个数构成等差数列是的前项和，且
（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知，求的值；
（2）设，对任意，求及的最大值.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：当时，.
22.设函数.
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.
数学参考答案
1.A 解析：由于函数，则其导函数为：，代入，可得：，解得：，故选：A.
2.B 解析：由二项式展开式的通项公式为，令，可得，所以展开式中的系数为.故选：B.
3.C 解析：函数的极值点由两侧异号的零点个数决定，由图象可知，的零点有4个，其中三个异号零点，所以极值点有3个；两侧异号的零点中有2个先正后负的零点 1个先负后正的零点，所以极大值点有2个 极小值点有1个.故选：C
4.D 解析：因为且，所以，则，，则，则，则，则，则，，则，则.故选：D
5.C解析：解：先将宫 徽 羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有，再将商 角插入4个空中的2个，有，所以共有种.故选：C.
6.D 解析：由题意，数列为等比数列，且，所以，所以，则，由等比数列性质知：与符号一致，故.故选：D.
7.D解析：因为的定义域为，且，令，可得，由题意可知与有2个变号交点，则，令，解得；令，解得可知在内单调递增，在内单调递减，可得，且当趋近于0，趋近于，当趋近于趋近于0，
可得的图象，如图所示：
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：D.
8.D解析：由，可得，令，可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
因为，则，即，因为，所以.故选：D.
9.ABC 解析：因为，故，所以等差数列为递增数列，故错误；因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；因为，故D正确.故选：ABC
10.BC 解析：对于A：，故无论取何值，不可能等于，故A错误；对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线，故正确；对于，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线，故C正确；对于D：，故无论取何值，不可能等于，故D错误.故选：BC.
11.BCD 解析：选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；选项B：若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，则所有不同分派方案共（种）.判断正确；选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况，则不同分派方案共（种）.判断正确.故选：BCD
12.AB 解析：因为数列的通项公式为，
对于，取，则，
由于为等比数列，则，则有，即，故A正确；
对于B，数列的通项公式为，则，若为等比数列，即
是等比数列，则，是等比数列，
故满足题意的也必是一个等比数列，故B正确；
对于C，在的前100项中，可以取，可以使成为一个等比数列，此时为7项，故错误；
对于D，取，则，则不是数列的项，所以把中满足等比的项一直取下去，不总是无穷数列，故D错误.故选：AB.
13.42 解析：因为为等比数列的前项和，所以成等比数列，则，又，所以，解得.故答案为：42
14.5解析：令得到，所以.
15.解析：设，则，在上单调递增.又，则.等价于，即，即所求不等式的解集为.
16.解析：设切点为，由可得，所以在点处的切线的斜率为，所以切线为：，因为切线过点，所以，即，设，由可得，由可得：或，所以在和上单调递减，在上单调增，，当趋近于时，
趋近于0，若只能作两条切线，则与图象有两个交点，在同一坐标系中作出与的图象，如图所示：
由图知：.故答案为：
17.（1）证明见解析
解析：（1）因为，所以，又，所以是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，所以
.
18.（1）（2）
解析：（1）分为两类，第一类个位数是0时，前三位数共有排法；
第二类个位数是2或4时，千位数有4种选择，百位数和十位数共有种排法，
由分步计数原理可得共有个，综上可得，没有重复数字的四位偶数的个数为156.
（2）四位数中千位数是4或5时，有个；
五位数有个，六位数有个，所以无重复数字且大于4000的自然数的个数为1320个.
19.（1）（2）
解析：（1）易知，依题意，解得，
此时，当或时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，.
（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；
所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为.
20.（1）（2）.
解析：（1）为等差数列，设公差为，.
设从第3行起，每行的公比都是，且，，故是数阵中第10行第5个数，而.
（2）
.
设：（当且仅当时，等号成立）时（其他方法酌情给分）
21.（1）答案见解析（2）证明见解析
解析：（1）因为的定义域为，所以，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，当时，单调递减，
当时，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，令，则，
令，则，因为，所以，
所以当时，恒成立，所以在上单调递减，
即在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，即.
22.（1）无最小值，最大值为（2）证明见解析
解析：（1）由题意得，则.
令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
，
无最小值，最大值为.
（2），则，
又有两个不同的极值点，
欲证，即证
原式等价于证明①.
由，得，则②.
由①②可知原问题等价于求证，
即证.
令，则，上式等价于求证.
令，则，
恒成立，在上单调递增，
当时，，即，
原不等式成立，即.
