大连市第二十四中学 2024届高三第五次模拟考试
数学（学科）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
2
1．已知集合 A x N∣ x 16 , B x∣ x 2 0 ，则 A B （ ）
A． 1, 2 B． 0,1, 2 C．{x∣ 4 x 2} D．{x∣0 x 2}
2．已知 1 i z 2 （ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）
A． i B． i C．1 D． 1
3．某学校寒假期间安排 3 名教师与 4 名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少 1 名
教师与 2 名学生，且教师甲不去上海，则分配方案有（ ）
A．36 种 B．24 种 C．18 种 D．12 种
4．近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert
于 1898 年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间 t（单位：h ）与放电电流 I （单位：
A ）之间关系的经验公式： nC I t ，其中 n 为 Peukert 常数.为测算某蓄电池的 Peukert常数 n ，
在电池容量不变的条件下，当放电电流 I 20A 时，放电时间 t 20h ；当放电电流 I 50A 时，
放电时间 t 5h .若计算时取 lg 2 0.3 ，则该蓄电池的 Peukert 常数 n 大约为（ ）
A．1.25 B．1.5 C．1.67 D．2
5．已知 ABC 的重心为 O，若向量 BO x AB y AC ，则 x y （ ）
2 1 2 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
6．已知矩形 ABC D 中，AB 2 AD 2 ，E，F 分别为 AB , CD 的中点，将四边形 AEFD 沿 EF 折
起，使二面角 A EF C 的大小为 120 ，则过 A，B，C，D，E，F 六点的球的表面积为（ ）
A． 6π B．5π C． 4π D． 3π
数学试卷 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
ln 2 ln3 1
7．已知 a , b , c ，则 a , b , c 的大小为（ ）
2 6 2e
A．b c a B． a b c
C．b a c D． c b a
T n
n
8. 已知正项数列{a }n 的前 n 项的积为T ， a n n ，则使得 a 2 2024 成立的 n 的最
T 1 i
n i 1
大值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．下列命题中，正确的有（ ）
A．若随机变量 X N 22, ， P X 1 0.68 ，则 P 2 X 3 0.18
B．数据 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的第70% 分位数是 7
1 4
C．若随机变量 X B 6, ，则D X
3 3
D．若 A , B 两组成对数据的样本相关系数分别为 r 0.97, r 0.99A B ，则A 组数据比 B 组数
据的相关性较强
π π
10．已知函数 f x 4 sin x cos x 2 0 ，将函数的图像向右平移 个单位长
4 24
度，得到函数 g x 的图像，则（ ）
π
A．函数 g x 的初相为
4
3 π
B．当 时，函数 f x 的图像关于直线 x 对称
2 2
π
C．当 g x g x 时， 可以为 1
3
π π
D．当 1 时，函数 g x 的单调递增区间为 kπ , kπ ， k Z
3 6
数学试卷 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
2 2
x y
11．已知双曲线C ： 1（ a 0 ，b 0 ）左右焦点分别为 F ，F ， F F 4 7 .经过 F
2 2 1 2 1 2 1
a b
的直线 l 与C 的左右两支分别交于 P ，Q ，且 PQF2 为等边三角形，则（ ）
2 2
x y
A．双曲线C 的方程为 1
8 20
B．△PF F1 2 的面积为8 3
C．以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
1
D．以QF 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．在 ABC 中，A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a 2 ，b 4 ， c cos B a 0 ，
则边 c .
13．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三
个景点中随机选择一个游玩，记事件A 表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件 B 表
示“两家选择景点不同”，则概率 P B A .
xy 3 yz
14. 已知 x , y , z 均为正实数，则 的最大值为 .
x 2 y z
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13 分）
设等比数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 a a a a a ,S 2S 1 . 2 4 5 3 6 2 1
(1)求数列 a n 的通项公式.
(2)求数列 na n 的前 n 项和Tn .
数学试卷 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
16.（15 分）
某企业近年来的广告费用 x（百万元）与所获得的利润 y（千万元）的数据如下表所示，
已知 y 与 x 之间具有线性相关关系．
年份 2018 2019 2020 2021 2022
广告费用 x / 百万元 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
润 y / 千万元 1.6 2 2.4 2.5 3
(1)求 y 关于 x 的线性回归方程；
(2)若该企业从 2018 年开始，广告费用连续每一年都比上一年增加 10 万元，根据（1）中
所得的线性回归方程，预测 2025 年该企业可获得的利润．
n n
x xi y y x y n xyi i i
参考公式： i 1 i 1b , a y b x ． n n
2 2 2
x xi x nxi
i 1 i 1
17.（15 分）
如图（1），在 ABC 中，C D AB ，BD 2CD 2 AD 4 ，点 E 为 AC 的中点．将 ACD
沿CD 折起到 PC D 的位置，使DE BC ，如图（2）．
(1)求证： PB PC ．
(2)在线段 BC 上是否存在点 F ，使得C P D F ？若存在，求二面角 P DF E 的正弦值；
若不存在，说明理由．
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
18.（17 分）
2 3
已知 P 是抛物线C : y 2 px( p 0)1 上任意一点，且 P 到C1 的焦点 F 的最短距离为 .直线
2
2
l 与C 交于 A x , y , B x , y C x , y , D x , y1 1 1 2 2 两点，与抛物线C : y 2 x 2 交于 3 3 4 4 两点，其中
点 A, C 在第一象限，点 B , D 在第四象限.
(1)求抛物线C1 的方程.
1 1 1 1
(2)证明：
y y y y
1 2 3 4
S
1
(3)设△ AOB，△COD 的面积分别为 S , S1 2 ，其中O 为坐标原点，若 AC 3 BD ，求 . S
2
数学试卷 第 5 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
19.（17 分）
定义：若曲线 f ( x , y ) 0 或函数 y f ( x) 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，
则称该切线为曲线 f (x , y ) 0 或函数 y f ( x) 的图象的“自公切线”.
2 2
（1）设曲线C : x y x x 1 0 ，在直角坐标系中作出曲线C 的图象，并判断C
是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
（2）证明：当 时，函数 xx 0 f (x) sin x cos x e 不存在“自公切线”；
1 x
（3）证明：当 *x 0, n N 时， sin x cos x ln( 2 x 1) 2 e . 2 n
( x 3e )
数学试卷 第 6 页（共 6 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}2024届高三第五次模拟考试数学试卷参考答案
及评分标准
1-4.BCCB 5-8.DBDB 9.AC 10.CD 11.BD
4 5
12. 10 13. 14.
5 2
15.（13 分）
【解析】（1）由 a a a a a a a a a a 12 4 5 3 6 ，以及 4 5 3 6 ，可得 2 ，又
S 2S 1 a a
2 1 2 1 ，
a 2 ……2 分
1
a 1
公比 q 2 . ……4 分
a 2
1
n 1 n 2
1 1
a 2 ……6 分 n
2 2
n 2
1
（2） na n ，则n
2
1 0 1 n 3 n 2
1 1 1 1 1
T 2 3 n 1n n ，
2 2 2 2 2
0 1 2 n 2 n 1
1 1 1 1 1 1
T 2 3 n 1 n ， n
2 2 2 2 2 2
两式相减可得
1 0 1 2 n 2 n 1
1 1 1 1 1 1 1
T
n n ，
2 2 2 2 2 2 2
2 1 0 1 n 3 n 2
1 1 1 1 1 1
T nn
2 2 2 2 2 2 ……10 分
五模数学参考答案 第 1 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
2 2 n 2
1 1 1 1
1 n n 2 n 2 2 n 2 n 2
2 2 1 2 2 1
1 1 1
T n n 2
n
1 1
n
1
2 1
2 2
2
2
2 2
n 2
1
T 8 2 nn . ……13 分
2
16.（15 分）
【解析】（1）据题意，则
x 1.7, y 2.3 ， ……2 分
n
x y n xyi i
19.88 5 1.7 2.3 19.88 19.55i 1 b 3.3
n
2 2 14.55 5 1.7 1.7 14.55 14.45
x nxi
i 1 ……5 分
a y b x 2.3 3.3 1.7 3.31 ， ……8 分
∴ y 关于 x 的线性回归方程为
y 3.3x 3.31 . ……9 分
（2）由表可知 2025 年该企业广告费用为 x 2.2 百元， ……12 分
代入 y 3.3x 3.31得： y 3.95 千万元.
∴预测 2025 年该企业可获得的利润为3 .95 千万元. ……15 分
17.（15 分）
【解析】（1）依题意可知点 E 为 PC 的中点，PD CD 2 ，所以DE PC ，
又 DE BC ，BC PC C ，BC ，PC 平面 PCB ，所以DE 平面 PCB ，
又 PB 平面 PCB ，
所以DE PB ． ……2 分
依题意可知C D PD ，CD BD ，BD PD D ，BD ，PD 平面 PDB ，
所以C D 平面 PDB ．又 PB 平面 PDB ，
五模数学参考答案 第 2 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
所以CD PB ． ……4 分
因为CD DE D ，CD ，DE 平面 PC D ，所以 PB 平面 PC D ．
又 PC 平面 PC D ，所以 PB PC ． ……6 分
（2）由题意，得 2 2 2 2PC AC 2 2 2 2 ， BC 2 4 2 5 ，
由（1） PC PB ，
2 2
PB 2 5 2 2 2 3
所以 ． ……8 分
以点D 为坐标原点，DP ，D C 所在直线分别为 x 轴、 z 轴，过点D 且平行
于 PB 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，
如图，则D 0, 0, 0 ， P 2, 0, 0 ，C 0, 0, 2 ， E 1, 0,1 ， B 2, 2 3, 0 ．
所以CP 2, 0, 2 ，DP 2, 0, 0 ，DE 1, 0,1 ．
设 BF tBC 0 t 1 ，即
BF t BC 2t , 2 3t , 2t ，
则 F 2 2t , 2 3 2 3t , 2t ， DF 2 2t , 2 3 2 3t , 2t ．
若存在点 F ，使得C P D F ，则CP DF 4 8t 0 ，
1
解得 t ， ……10 分
2
则 DF 1, 3 ,1 ．设平面 PDF 的法向量为m x , y , z1 1 1 ，
m DF x 3 y z 0,1 1 1
则 令 y 11 ，得 x 01 ， z 3 ， 1
m DP 2 x 0.1
所以平面 PDF 的一个法向量为m 0,1, 3 ． ……11 分
设平面DEF 的法向量为 n x , y , z2 2 2 ，
五模数学参考答案 第 3 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
n DE x z 0,2 2
则 令 x 1 y 0 z 12 ，得 2 ， 2 ，
n DF x 3 y z 0.2 2 2
所以平面DEF 的一个法向量为 n 1, 0, 1 ． ……12 分
m n 3 6
所以 cosm , n ． ……14 分
m n 2 2 4
10
故二面角 P DF E 的正弦值为 ． ……15 分
4
（注：其它做法请酌情给分）
18.（17 分）
p p
【解析】（1）设 P x , y ，易知 F , 00 0 ，准线方程为 x ，
2 2
p
所以 PF x . ……2 分 0
2
p p 3
当 x 0 时， PF0 取得最小值 ，由 ，解得 p 3 .
2 2 2
所以抛物线C 的方程为 21 y 6 x . ……4 分
（2）设直线 l 与 x 轴交于点M t , 0 ，因为直线 l 的斜率显然不为 0，
x my t
所以设直线 l 的方程为 x my t ，联立 x2 ，消去 得
y 6 x
2
y 6my 6t 0 ，所以 y y 6m , y y 6t1 2 1 2 ， ……6 分
1 1 y y m
1 2所以 ， ……8 分
y y y y t
1 2 1 2
1 1 m 1 1 1 1
同理可得 ，所以 . ……9 分
y y t y y y y
3 4 1 2 3 4
（3）因为 AC 3 BD ，所以 y y 3 y y1 3 4 2 ，即 y 3 y y 3 y1 2 3 4 .
因为 y y 6m , y y 2m ，所以6m 2 y 2m 2 y1 2 3 4 2 4 ，
五模数学参考答案 第 4 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
即 y y 2m ，所以 y y 6m4 2 1 3 ， ……11 分
1 1 1 1 y y y y y y
3 1 3 1 y y
由（2）知
2 4 1 3
，所以 ，故 3 ，
y y y y y y y y y y y y
1 3 4 2 1 3 2 4 2 4 2 4
所以 y y 3 y y1 3 2 4 ， ……13 分
即 y y 6m 3 6m y 8m y1 1 1 1 ，
2 2
化简得 y 18my 72m 0 ，解得 y 12m 或 y 6m1 1 ， 1 1 ……15 分
若 y 6m1 ，则 y 0 ，这与 y 02 2 矛盾，
所以 y 12m , y 6m , y 6m , y 4m1 2 3 4 ，
S AB y y 9
1 1 2所以 . ……17 分
S CD y y 5
2 3 4
19.（17 分）
2 2
【解析】（1）C : x y x x 1 0 当 2 2x 0 时， (x 1) y 2 ；
当 2 2x 0 时， x y 1
从而图象如下：
……4分
由图象知，存在“自公切线” ……5 分
五模数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
（2）证明：由题意， xf (x) cos x sin x e ，
下面只需证明 f ( x ) 在[0, ) 上单调即可. ……6 分
令 F ( x) f ( x)
x x
则 F ( x) sin x cos x e 2 sin( x ) e ，
4
3
①当 x [0, ] 时， F ( x ) 0 ，所以 F ( x ) 单调递减，即 f ( x ) 单调递
4
减； ……8 分
3
② x 1当 x [ , ) 时，F ( x) 2 sin( x ) e 2 e 0 ，所以
4 4
F ( x ) 单调递减，即 f ( x ) 单调递减.
综上所述，当 x 0 时， f ( x ) 在[0, ) 上单调递减
所以 f ( x ) 在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在 “自公切
线” ……10 分
（3）证明： n N * ，
1 x x
ln( 2 x 1) 2 e ln( 2 x 1) 2 e
2 n
( x 3e )
故只需证明 xsin x cos x ln( 2x 1) 2 e ，
即只需证明 xsin x cos x e 2 ln( 2 x 1) ……11 分
2 4 x
构造函数G ( x) ln( 2 x 1) 2 x ，G ( x) 2
2 x 1 2 x 1
当 x 0 时 ， G ( x) 0 ， 从 而 G ( x ) 在 [0, ) 单 调 递 减 ， 所 以
G ( x) G (0) 0
五模数学参考答案 第 6 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
即 ln( 2 x 1) 2 x ……13分
故只需证 xe sin x cos x 2 x 2 0 ……14 分
设 xH (x) e sin x cos x 2 x 2 ，注意到 H (0) 0 ，
x 0
H (x) e cos x sin x 2 ，注意到 H (0) e cos 0 sin 0 2 0 ，
令 x (x) H (x) e cos x sin x 2 ，
则由（2）知， x (x) e sin x cos x f (x) ，
且由（2）可知： f ( x ) 在[0, ) 上单调递减，所以 f ( x) f (0) 0 .
从 而 f ( x ) 在 [0, ) 上 单 调 递 减 ， 所 以 f ( x) f (0) 0 ， 所 以
( x) f ( x) 0
所以 x (x) H (x) e cos x sin x 2 在[0, ) 上单调递增.
所以 H ( x) H (0) 0
所以 H ( x ) 在[0, ) 递增，
所以H ( x) H (0) 0 ，
即 xe sin x cos x 2 x 2 0 .
从而，当 *x 0, n N 时，
1 x
sin x cos x ln( 2 x 1) 2 e
2 n ……17 分
( x 3e )
五模数学参考答案 第 7 页（共 7 页）
{#{QQABYYCQggAAAJBAARgCEwGgCgCQkAACCCoOQAAAsAAACQFABAA=}#}
