2023-2024学年度第二学期
八年级数学学科期中考试（人教版第16章—第18章）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 使二次根式有意义的的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
由题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2. 下列计算错误的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可计算，进行判断.
，正确；
，正确；
，正确；
，故错误，
故选D.
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
3. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）
A. 2、3、4 B. 1、1、 C. 5、8、11 D. 5、13、23
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
解：A、，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合要求；
B、∵，
∴能构成直角三角形，故本选项符合要求；
C、∵，
∴不能构成直角三角形，故本选项不符合要求；
D、∵，
∴5、13、23不能构成三角形，更不可能构成直角三角形，故本选项不符合要求．
故选：B．
【点睛】本题注意考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足那么这个三角形就是直角三角形．
4. 在中，的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案．
解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴的值可以是
故选D．
5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；
D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6. 依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理得到四边形为菱形．
解：连接、，
四边形是矩形，
，
、分别是、中点，
，，
同理，，，，，，，
，
四边形为菱形，
故选：B．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
7. 如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）．
A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理进行解答，先求出梯子未下滑时顶端距地面的距离，根据顶端下滑4米，再求出下滑后梯足距离墙角的距离，便可计算梯足滑动的距离．
解：梯子未下滑时顶端距地面的距离：，下滑4m后，梯子顶端距地面24-4=20m，此时梯足距离墙角的距离：，
∴15-7=8m，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
8. 在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH．当＝（）时，四边形BHDG为菱形
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得BG=GD，然后设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x-y，BG=3x-y，再根据勾股定理可得y2+x2=(3x-y)2，再整理得，然后可得y=x，进而可求得的值．
∵四边形BGDH是菱形，
∴BG=GD，
设AB=x，则AD=3x，
设AG=y，则GD=3x-y，BG=3x-y，
∵在Rt△AGB中，AG2+AB2=GB2，
∴y2+x2=(3x-y)2，
整理得：，
y=x，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，利用参数进行求解是关键.
9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，继而利用面积法求出NQ长即可得答案.
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP=NQ最小，NQ为所求，当NQ⊥AB时，NQ最小，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，DB=8，
∴OA=3，OB=4，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB==5，
∵S菱形ABCD=，
∴，
∴NQ=，
∴PM+PN的最小值为，
故选D.
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．
10. 如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是根据，，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
解：∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共7个小题，每空3分，共27分）
11. 计算：______，______，______．
【答案】 ①. 3 ②. 2 ③.
【解析】
【分析】根据二次根式的性质逐一化简即可．
解：3，
；
；
故答案为：3；2；．
【点睛】本题考查了根据二次根式的性质化简求值，熟练掌握二次根式的性质并正确的进行化简是解题的关键．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，则斜边AB上的高为_______cm．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得斜边的长，再根据三角形的面积公式即可求得斜边上的高的长．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，
∴AB==13cm，
∴S△ABC=×5×12=×AB×高，
∴斜边AB上的高h=cm．
故答案为：cm．
【点睛】考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方以及三角形面积公式的综合运用．
13. 计算：＝__________
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用完全平方公式展开，再进行合并即可得．
原式=20+4+2
=22+4，
故答案为22+4．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
14. 如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．
【答案】36°
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝52°，
由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∠AED′＝180°－∠EAD′－∠D′＝108°，
∴∠FED′＝108°－72°＝36°；
故答案为36°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．
15. 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是__________．
【答案】10.5
【解析】
【分析】利用ASA定理证明△EDG≌△FCG，从而求得DE=CF，EG=GF=，根据矩形的性质，设BC=x，则DE=x-6，DG=6，BF=2x-6，根据垂直平分线的性质求得EG=，然后根据勾股定理列方程求解即可．
解：在矩形ABCD中，AD=BC，AB=CD=12，∠D=∠DCF=90°，
∵GCD中点，∴DG=CG，
又∵∠EGD=∠FGC，
∴△EDG≌△FCG，
∴DE=CF，EG=GF=，
设BC=x，则DE=AD-AE=BC-AE=x-6，DG=CG==6，BF=BC+CF=BC+DE=2x-6，
又∵BE垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴EG=GF=，
∴在Rt△EDG中，，
解得：x=10.5
则BC的长是10.5
故答案为：10.5．
，
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质及勾股定理，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确列出方程是解题关键．
16. 已知的三边长分别为、、，且、、满足，则的形状是________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】已知等式前三项利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a，b，c的值，利用勾股定理的逆定理即可确定出三角形ABC为直角三角形．
解：∵,
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形．
故答案为直角.
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17. 已知是整数，则正整数n的最小值为__________
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据是整数，得到是一个完全平方数，进而求出正整数n的最小值即可．
解：∵是整数，
∴是一个完全平方数，
∴正整数n的最小值为；
故答案为：3．
三、解答题（共7题，共63分）
18. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的运算法则即可求解．
【小问1】
．
【小问2】
．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案．
解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质和运算法则，本题属于基础题型．
20. 如图，中，E、F为上的两点，，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，利用平行线的性质可得，然后利用判定，从而可得．
证明：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
在和中
，
∴
∴．
21. 在中，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】过点作，根据，得，根据勾股定理和得出，再根据，得出，从而得出即可．
】解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键．
22. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：
(1) 从A点出发画线段AB、AC并连接BC，使AB＝，AC＝，BC＝，且使B、C两点也在格点上；
(2) 比较两个数和的大小；
(3) 请求出图中△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）三角形ABC的面积为3.
【解析】
【分析】(1)找出满足题意得B与C的位置，连接AB，AC，BC，如图所示；
(2)由，5<8即可得；
(3)三角形ABC的面积=长为2，宽为4长方形的面积-三个三角形的面积，求出即可．
(1)如图所示，AB=，
AC=，
BC=；
(2)∵，5<8，
∴；
(3)S△ABC=2×4-×2×1-×2×2-×4×1=3．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理以及网格的结构特点是解本题的关键．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.
(1) 判断△BEC的形状，并说明理由;
(2) 求证：四边形EFPH是矩形.
【答案】（1）△BEC是直角三角形.证明见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】(1)根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
(2)根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH∥FP，EF∥HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可．
(1)△BEC是直角三角形，理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ADC=∠ABP=90°，
∵AD=BC=5，AB=CD=2，
∴CE==，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形；
(2)∵矩形ABCD，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE∥DP，
∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
【点睛】本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，熟练掌握和灵活运用相关的定理与性质是解题的关键.
24. 在中，的平分线交直线于点、交的延长线于点，连接．
（1）如图，若，是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；(提示：连接)
（2）如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．（直接写出结论）
【答案】（1）①见解析；②等腰直角三角形，理由见解析；
（2）是等边三角形．
【解析】
【分析】（1）①先判断四边形是矩形，再根据矩形的性质可得，，然后根据平行线的性质求出，，再根据是的平分线，利用角平分线的定义得到，从而得到，然后根据等角对等边的性质即可证明；②连接，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质求出，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形性质得，，再求出，然后求出，，根据等腰直角三角形的定义判断即可．
（2）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可．
【小问1】
证明：①∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②是等腰直角三角形．
理由如下：连接，
由①知，，，
∴，
∵G是的中点，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴，
∴是等腰直角三角形；
【小问2】
连接，
∵绕点F顺时针旋转至，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2023-2024学年度第二学期
八年级数学学科期中考试（人教版第16章—第18章）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 使二次根式有意义的的取值范围是（）
A. B. C. D.
2. 下列计算错误的是 ( )
A. B.
C. D.
3. 以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）
A2、3、4 B. 1、1、 C. 5、8、11 D. 5、13、23
4. 在中，的值可以是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 依次连接矩形各边中点所得到的四边形是（）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
7. 如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）．
A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m
8. 在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH．当＝（）时，四边形BHDG为菱形
A. B. C. D.
9. 如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM＋PN的最小值是（）
A B. C. D.
10. 如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7个小题，每空3分，共27分）
11. 计算：______，______，______．
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，则斜边AB上的高为_______cm．
13. 计算：＝__________
14. 如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为________．
15. 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是__________．
16. 已知的三边长分别为、、，且、、满足，则的形状是________三角形．
17. 已知是整数，则正整数n的最小值为__________
三、解答题（共7题，共63分）
18计算：
（1）；
（2）
19先化简，再求值：，其中．
20. 如图，中，E、F为上的两点，，求证：
21. 在中，，，，求的长．
22. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：
(1) 从A点出发画线段AB、AC并连接BC，使AB＝，AC＝，BC＝，且使B、C两点也在格点上；
(2) 比较两个数和的大小；
(3) 请求出图中△ABC的面积．
23. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别AD、BC上，且DE＝BP＝1.
(1) 判断△BEC的形状，并说明理由;
(2) 求证：四边形EFPH是矩形.
24. 在中，的平分线交直线于点、交的延长线于点，连接．
（1）如图，若，是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；(提示：连接)
（2）如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．（直接写出结论）
