2024年北京市石景山区九年级中考二模数学试卷一、选择题
1．《2021年通信业统计公报》中显示：截至2021年底，我国累计建成并开通5G基站约1425000个，建成全球最大5G网．将1425000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．右图所示正三棱柱的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）
A．都增加 B．都不变
C．内角和增加，外角和不变 D．内角和增加，外角和减少
4．如图，，点E在直线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（ ）
A．（1，3） B．（7，7） C．（1，7） D．（7，3）
8．从1980年初次征战冬奥会，到1992年取得首枚冬奥会奖牌，再到2022年北京冬奥会金牌榜前三，中国的冰雪体育事业不断取得突破性成绩．历届冬奥会的比赛项目常被分成两大类：冰项目和雪项目．根据统计图提供的信息，有如下四个结论：
①中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次；
②中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次；
③中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数逐年提高；
④中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数．
上述结论中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
11．方程组的解是
12．如图，用直尺、三角尺按“边—直角、边—直角、边—直角、边”这样四步画出一个四边形，这个四边形是 形，依据是 ．
13．如图，，分别切于点，，是劣弧上一点，若，则 ．
14．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，则k的值为 ．
16．某游泳馆为吸引顾客，推出了不同的购买游泳票的方式．游泳票在使用有效期限内，支持一个人在一天内不限次数的进入到游泳馆进行游泳．游泳票包括一日票、三日票、五日票及七日票共四种类型，价格如下表：
类型 一日票 三日票 五日票 七日票
单价（元/张） 50 130 200 270
某人想连续6天不限次数的进入到游泳馆游泳，若决定从以上四种类型中购买游泳票，则总费用最低为 元．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．如图，在中，相交于点O．
(1)求的长；
(2)求面积．
20．一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出）
(1)当时， ；当时， ；
(2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？
21．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．
（1）求证：AF＝CE；
（2）连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．
22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k(x 1)+4(k>0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象的一个交点的横坐标为1．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
23．已知函数的图象与x轴交于B、C两点，与y轴交于，函数的图象与函数的图象交于D、E两点，将函数的图象向下平移一个单位后经过点B．
(1)求函数和函数的表达式；
(2)当时，求，的取值范围．
24．请完成下面题目的证明．
如图，点是角平分线，的交点，的延长线和的外接圆相交于点．
求证：．
证明，点是角平分线，的交点．
，．
．（填推理的依据）
．
． （填推理的依据）
25．某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图，（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题：
(1)此次抽样调查的样本容量是_____；
(2)补全频数分布直方图；
(3)求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；
(4)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？
26．已知抛物线的对称轴为直线．
(1) ；
(2)若抛物线的顶点为P，直线与抛物线交于两点G、H，求的面积；
(3)设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，则线段与线段的长度之比为 ．
27．已知四边形是的角平分线，交射线于E，线段的延长线上取一点F使，直线交于点G．
(1)补全图形；
(2)猜想的形状，并证明你的猜想；
(3)求与的数量关系．
28．在平面上任取一个，则可以定义面积坐标：对平面内任一点，记，，若点恰好在的某条边所在的直线上，则记相应三角形的面积为，则点的面积坐标记为已知：在中，，．
(1)如图，若点的坐标为．
①写出点的面积坐标______；
已知几个点的面积坐标分别为：，，，，则其中不在内部的点是______；
(2)把平面内一点的面积坐标记为
①如图，当点的坐标为时，若，试探究与之间的关系；
②当点的坐标为时，点在以点为圆心，半径为的圆上运动，若点的面积坐标始终满足，直接写出的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：1425000＝1.425×106．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
2．A
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】解：从正三棱柱的上面看：可以得到一个正三角形，
故选：A．
【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
3．C
【分析】本题考查多边形内角和、外角和定理，利用内角和定理可知，边数增加1，内角和增加，外角和都是，推理即可．
【详解】解：当多边形边数增加1时，内角和增加，外角和是个固定值为，
故选：C．
4．C
【分析】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质得到，再利用平角定义求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况，
分别是3，4，5三种情况.
所以和为偶数的概率为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的的概率公式.
6．C
【分析】由于平行线的投影是平行或重合，根据这一特征即可作出判断．
【详解】由于矩形的两组对边分别平行，且平行线在太阳光下的投影是平行或重合，则A、B、D三个选项中的图形可能是矩形在地面上的投影，而C选项中的梯形有一组对边不平行，所以它不可能是矩形在地面上的投影．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行投影，太阳光下的投影是平行投影，关键是掌握平行投影特点：平行物体的影子仍旧平行或重合．
7．C
【分析】根据点的坐标平移规律：上加下减，左减右加进行求解即可．
【详解】解：将M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到的点的坐标为（4-3，5+2）即（1，7），
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟知点的坐标平移规律是解题的关键．
8．C
【分析】根据统计图逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知，中国队在2022年北京冬奥会上获得的金牌数是参加冬奥会以来最多的一次，
故①说法正确；
中国队在2022年北京冬奥会上获得的奖牌数是参加冬奥会以来最多的一次，故②说法正确；
中国队在冬奥会上的冰上项目奖牌数在1992年和1994年持平，2018年奖牌数为5枚，比1998年的7枚少，故③说法错误；
中国队在冬奥会上的雪上项目奖牌数在2022年首次超越冰上项目奖牌数，故④说法正确；
所以正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查折线统计图和条形统计图，利用数形结合的方法是解决问题的关键．
9．##
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
10．1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
11．
【详解】试题考查知识点：二元一次方程组的解法
思路分析：此题用加减法更好
具体解答过程：
对于，
两个方程相加，得：
3x=6即x=2
把x=2代入到2x-y=5中，得：
y=-1
∴原方程组的解是：
试题点评：
12． 矩 有三个角是直角的四边形是矩形
【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形进行解答即可．
【详解】解：根据题意，这个四边形中有三个直角，则这个四边形是矩形，
故答案为：矩，有三个角是直角的四边形是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定，熟知矩形的判定方法是解答的关键．
13．##度
【分析】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．在优弧上任取点，连接、、、．由圆内接四边形的性质可求得，由圆周角定理可求得，由切线的性质可知、，从而得到，于是可求得．
【详解】解：在优弧上任取点，连接、、、．
四边形是圆内接四边形，
．
．
，
．
，切于点，，
、．
．
．
故答案为：．
14．AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．
【分析】由ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边AD与BC平行，然后利用两直线平行得到两对内错角相等，再根据O为AC的中点及AAS可得三角形AOF与三角形COE全等，从而可得OF=OE，并得到AFCE为平行四边形，若再添加AC=FE，根据对角线相等的平行四边形为矩形可得AFCE为矩形；若添加AE垂直于BC，由垂直定义可得∠AEC=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形可得AFCE为矩形，所添的条件不唯一，只要满足题意即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AD//BC（平行四边形的对边平行），
∴∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
由已知可得OA=OC，
∴在△AOF和△COE中，
∠CAF=∠ACE，∠EFA=∠CEF ，OA=OC，
∴△AOF≌△COE(AAS)；
∴OF=OE（全等三角形的对应边相等），又OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）；
（1）若添加AC=FE，由对角线相等的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形；
（2）若添加AE⊥BC，可得∠AEC=90°，由有一个角为直角的平行四边形为矩形可得四边形AFCE为矩形，
故答案为：AC=FE或AE⊥BC等（答案不唯一，只要满足题意即可）．
【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定是解题关键．
15．1
【分析】把代入函数解析式，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入函数解析式，
可得，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点都会满足其解析式．
16．250
【分析】分5种方案计算费用比较即可．
【详解】解：连续6天不限次数的进入到游泳馆游泳
方案一：买一日票6张，费用（元
方案二：买一日票1张，五日票1张，费用（元
方案三：买一日票3张，三日票1张，费用（元
方案四：买三日票2张，费用（元
方案五：买七日票1张，费用（元
故方案二费用最低：（元
故答案为：250．
【点睛】本题考查了根据实际问题求最小值，解题的关键是需要分情况列出可能性．
17．
【分析】根据负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可直接进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值是解题的关键．
18．．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】原不等式组为
解不等式①得
解不等式②得
故原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握不等式组的解法是解题关键．
19．(1)
(2)48
【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识：
（1）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理求出的长，即可求出的长；
（2）根据平行四边形的面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，由勾股定理得：，
∴；
（2）解：的面积是．
20．(1)
(2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系．
（1）当时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可；
当时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列关系式即可；
（2）把代入（1）中的函数关系式．
【详解】（1）解：由题意得：当时，；
当时，．
即．
故答案为：；
（2）当时，，
当时，，解得：（舍去），
由（1）知，，
当时，，
解得：，
答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元．
21．（1）详情见解析；（2）6
【分析】（1）首先根据矩形性质得出∠D=∠B及AD=BC，然后进一步证明，由此即可证明结论；
（2）首先连接AC，然后由（1）可知AF=CE=4，然后根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得出DF=2，最后再通过平行线性质得出∠FCA=∠EAC，再结合角平分线性质得出∠FAC=∠EAC，从而得出∠FCA=∠FAC，即AF=FC，最后通过CD=FC+DF进一步计算即可.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B及AD=BC，
在与中，
∵，
∴，
∴AF=CE；
（2）如图，连接AC，
由（1）可知：AF=CE，
∴AF=4，
在中，
∵∠DAF=30°，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠FCA=∠EAC，
∵AC平分∠FAE，
∴∠FAC=∠EAC，
∴∠FCA=∠FAC，
∴AF=CF=4，
∴CD=FC+DF=6.
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
22．(1)反比例函数的解析式为y=；
(2)k的取值范围是k≥1．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式；
（2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】（1）解：对于y=k（x-1）+4，当x=1时，y=4，
则一次函数y=k（x-1）+4的图象与反比例函数y=的图象的一个交点坐标为（1，4），
∴m=1×4=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）解：解方程组，得或，
由题意得：-≥-4，
解得：k≥1，
则k的取值范围是k≥1．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键．
23．(1)y1＝﹣2|x﹣1|+4，
(2)﹣2< y1≤4，< y2< ．
【分析】（1）利用待定系数法求得y1的解析式，令y＝0，解方程求得B（﹣1，0），C（3，0），将函数y2＝kx+3k的图象向下平移一个单位后得到y2＝kx+3k﹣1，代入B的坐标，即可求得k的值，从而求得y2的解析式；
（2）把x＝﹣2、x＝1以及x＝2分别代入y1＝﹣2|x﹣1|+4，结合图象即可求得y1的取值范围，把x＝﹣2、x＝2分别代入，结合图象即可求得y2的取值范围．
【详解】（1）∵函数y1＝﹣2|x﹣1|+a的图象与y轴交于A（0，2），
∴2＝﹣2|0﹣1|+a，解得a＝4，
∴y1＝﹣2|x﹣1|+4，
令y＝0，则﹣2|x﹣1|+4＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），C（3，0），
将函数y2＝kx+3k的图象向下平移一个单位后得到y2＝kx+3k﹣1，
把B（﹣1，0）代入得，﹣k+3k﹣1＝0，解得k＝，
∴；
（2）当x＝﹣2时，y1＝-2|-2﹣1|+4=-6+4=﹣2，y2＝，
当x＝1时，y1＝-2|1﹣1|+4=4，
当x＝2时，y1＝-2|2﹣1|+4=-2+4=2，y2＝，
∴当﹣2< x< 2时，﹣2< y1≤4，< y2< ．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
24．同弧所对的圆周角相等；；等角对等边
【分析】正确理解题意，读懂每一步推理并弄清楚每一步的推理依据，即可完成．
【详解】点是角平分线，的交点．
∴，．
∵，
∴（同弧所对的圆周角相等）．
∴．
∴．（等角对等边），
故答案为：同弧所对的圆周角相等；；等角对等边．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定、同弧所对的圆周角相等、三角形外角的性质等知识，掌握这些知识并灵活运用是关键．
25．(1)100；
(2)见解析；
(3)；
(4)万户．
【分析】本题考查的是频数分布直方图与扇形图，利用样本估计总体，样本的含义，掌握基础的统计知识是解本题的关键．
（1）由10到15吨这部分的数量除以其百分比即可；
（2）先求解15到20吨这部分的数量，再补充统计图即可；
（3）由乘以15吨～20吨这部分的百分比即可；
（4）由总人数乘以25吨（含）以下这部分的百分比即可．
【详解】（1）解：，
∴此次抽样调查的样本容量是；
（2）（户），
补全图形如图所示
．
（3），
答：“15吨-20吨”部分的圆心角度数为；
（4）（万户）
答：该地7万用户中约有万户居民的用水全部享受基本价格．
26．(1)1
(2)27
(3)2
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）由抛物线对称轴直线方程求解．
（2）求出点G，H坐标然后根据三角形面积公式求解．
（3）分别将代入两抛物线解析式，求出长度作商求解．
【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线，
∴．
故答案为：1．
（2）解：由（1）得，
∴点P坐标为，
把代入得，
解得或，
∴G，H坐标为，，
∴．
（3）解：∵，
把代入 得，
解得或，
∴．
把代入得，
解得或．
∴，
∴．
故答案为：2．
27．(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识．
（1）根据要求画出图形即可；
（2）结论：是等边三角形．想办法证明，推出，可得结论；
（3）结论：．过点A作交于点T．证明四边形是平行四边形，推出，再利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：
（2）结论：是等边三角形．
理由：∵平分，
∴垂直平分线段，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形；
（3）解：结论：．
理由：过点A作交于点T．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
28．(1)①；②、
(2)①或；②或
【分析】（1）分别计算出，和的面积，进而得出结果；只需验证三个面积之和是否等于的面积且没有一个为即可；
（2）根据三角形面积公式表示和，列出方程，从而得出结果；发现当在的外部时，满足条件，进一步求得结果．
【详解】（1）解：，，，，
，，，
点的面积坐标为，
故答案为：；
，
，
点是的重心，即，
点在内部；
，
，
点在边所在直线上；
，
，，，
不在内部；
，
，，，
在内部；
故答案为：、；
（2）解：，，，，
，，
，，
，
，
，
或；
如图，
当在内部时，
，
即，
当不在的内部时，满足条件，如图，
在中，，，
，
同理可得：，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
或．
【点睛】本题是阅读型题，考查了理解能力，等边三角形的性质，三角形面积公式，圆的切线性质等知识，解决问题的关键紧扣定义，数形结合，尝试验证．
