2024年中考仿真模拟试题（云南卷）（二）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·云南昆明·一模）如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，即可得出结果．
【详解】解：如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作，故选：D．
2．（2024·黑龙江大庆·一模）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：尔滨，你让我感到陌生！因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】∵，故选D．
3．（2024·山东青岛·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．故选：D．
4．（2023·辽宁·一模）《海底两万里》是法国著名作家儒勒·凡尔纳的一部著名作品，他在小说中塑造了尼摩船长这个反对沙皇专制统治的高大形象，赋予其强烈的社会责任感和人道主义精神，以此来表达对现实的批判．如图所示是《海底两万里》中尼摩船长所发明的潜水头盔的示意图．这种头盔具有良好的抗水压性能，能使潜水工作者在水下数百米深处作业而行动自如．现将其抽象为图示的立体图形，则该头盔的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，根据俯视图是由从上往下看得到的图形即可得出答案，考查了空间想象能力．
【详解】解：根据俯视图是由从上往下看得到的图形可得，该头盔的俯视图为故选：D．
5．（2024·河南周口·一模）下图是关于某市某天7时~时这个整点时刻的气温折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．7时~时气温的极差是 B．7时~时气温的众数是
C．7时~时气温的中位数是 D．7时~时气温的平均数是
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【详解】解：A.极差是，故此选项正确，不符合题意；
B.，众数是，故此选项不正确，符合题意；
C.气温按从低到高顺序排列为，故中位数是，故此选项正确，不符合题意；D.平均数为，故此选项正确，不符合题意；故选：B．
6．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，
∴．故选：C．
7．（2024·安徽芜湖·一模）如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点，当时，，
∴，解得，故选：B．
8．（2023·广西玉林·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，，．那么的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了实数的运算．根据，，，，，进而得出，进而求出即可．
【详解】解：．故选：C．
9．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在边上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质，得到是的中位线，进而得出，即可求出的长．
【详解】解：在中，，是边上的高，为中点，
E为的中点，是的中位线，
，，故选：D．
10.（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，∴．∴．∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
11．（2024·四川达州·二模）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则自驾车平均每小时行驶千米，
由题意得，，故选：B．
12．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，直径弦于点M，点E是半径上一点，连结并延长交于点F，连结交于点G．若，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理．连接，根据垂径定理结合勾股定理求出，和的长，再求得，从而得出，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接，如下图，
直径弦，是的垂直平分线，，，
，，，，
，，，
是的垂直平分线，是的角平分线，，
，，即，
，，，
，即，．故选：B．
第Ⅱ卷（共64分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，满分8分，将答案填在答题纸上）
13．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出，即可求解．
【详解】解：依题意，∴且，故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．
14．（2023·浙江金华·三模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】解：，故答案为：．
15.（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为 。
【答案】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点关于原点的对称点为，
∵在第二象限，∴，解得．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
16．（2024·陕西咸阳·一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：设通道的宽为米，根据题意得：，
解得：（不合题意舍去）或，通道的宽为1米，故答案为：1．
17.（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
【答案】18
【分析】连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角∠ABC为n．利用弧长公式可求出n的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性质，利用∠CBD的正弦值求出AC的长即可得答案．
【详解】如图，连接AC，过B作BD⊥AC于D，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
∵两点间线段最短，∴AC为这根绳子的最短长度，
∵圆锥的底面半径是，∴，∴=，解得：，
∵BD⊥AC，BC=AB，∴∠CBD=∠ABC=60°，CD=AC，
∴CD=BC·sin60°=×=9，∴AC=2CD=18，故答案为：18
【点睛】此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
18．（2024·河南·一模）如图，菱形的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】连接，交于点H，设与的交点为，四边形是菱形，求出，，分和及三种情况讨论．
【详解】解：连接，交于点H，设与的交点为，
点落在对角线上，，即，
是边长为2的菱形，，，
，，，，
由折叠的性质得：，，四边形是菱形，
，，，
当时，此时点重合，，不符合题意；
当时，如图1，则，，
，；
当时，如图2，则，
，，
，，
，；
综上，的长为或，故答案为：或．
【点睛】此题主要考查菱形的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点．
三、解答题 （本大题共6小题，其中17-18题每题6分，19-22题每题7分，23-24题每题8分，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024·山西朔州·一模）（1）计算：．
（2）解不等式组并在数轴上表示其解集．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
【分析】本题考查了实数的混合运算，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先化简零次幂，算术平方根，负整数指数幂，绝对值，再运算加减法，即可作答．
（2）分别算出每个不等式，再得出不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集，即可作答．
【详解】解：（1）原式；
（2）解不等式①得，
解不等式②得
所以，不等式组的解集为
不等式组的解集在数轴上表示如下：
18．（2023·云南昭通·二模）北京时间年4月日9时分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将风云三号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．某学校为激发学生对航天知识的学习兴趣，增强学生对我国航天事业的了解，举办了“航天知识知多少”的知识竞赛（满分分），并随机抽取了该校部分学生的竞赛成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图、表：
分数层次 频数 频率
(1)求出a、b的值．(2)在图中补全频数分布直方图．(3)已知该校有名学生参加这次知识竞赛，若将成绩在分以上（含分）定为优秀，请估计本次竞赛成绩为优秀的学生人数．
【答案】(1)，；(2)频数分布直方图见解析；(3)人．
【分析】本题考查了考查了频数分布直方图、频数分布表和利用统计图获取信息的能力．
（1）先根据组的频率之和为1，可求出，进而求出样本数，然后根据、的频率，求出对应的频数值；
（2）根据（1）中计算结果补全统计图即可；
（3）用乘以样本中超过80分所占的百分比即可求解．
【详解】（1）解：（1）；（人），．
（2）解：；频数分布直方图如图所示．
（3）（人）．答：本次竞赛成绩为优秀的学生约有人．
19．（2024·陕西·一模）如图是一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，每个扇形上分别标有相应的数字1，2，3，4．甲和乙做游戏：甲转动转盘，当转盘停止转动后记下指扇形区域内的数字，再由乙转动转盘，当转盘停止转运后记下指针所指扇形区域内的数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重新转一次，直到指针指向一个数字为止），若两人转出的数字之和小于5，则甲获胜；若两次转出的数字之和大于等于5，则乙获胜．
(1)甲随机转运转盘，当转盘停止转运后，指针指向扇形区域内的数字小于4是________．（填“必然”“随机”或“不可能”）；(2)你认为该游戏规则是否公平 请利用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】(1)随机(2)该游戏规则不公平，见解析
【分析】本题考查了游戏公平性以及树状图法求概率：（1）由随机事件的定义即可得出结论；
（2）用列表法或画树状图列出所有可能结果，找出其中和大于5和小于5的结果数，再利用概率公式求出它们的概率即可．
【详解】（1）解：甲随机转运转盘，当转盘停止转运后，指针指向扇形区域内的数字小于4是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：该游戏规则不公平．
画树状图如下：
由图知，共16种等可能的情况，甲、乙两人转出的数字之和小于5的有6种结果，大于等于5的有10种结果．∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∴该游戏规则不公平．
20．（2023·山东泰安·三模）如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
(1)求证：；(2)写出与之间的数量关系，再说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（）先证出，得，由于，得；（）由，得，由（）得，从而得，，进而即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，，
在和中，，∴（），∴，
∵，∴；
（2）解：，理由：
∵，∴，由（）得（），
∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，等边对等角，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（2023·云南玉溪·模拟预测）云南玉溪米线文化节是玉溪各族人民的传统节日，自每年正月初一起，至三月二十二日止，历时天，创世界纪录协会世界上历时最长的节日世界纪录．“小锅米线凉米线，各具风味有特色鳞鱼米线辣味汤，五味齐全又一色．过桥米线斗大碗，油汤飘香藏典故．土鸡米线大小碗，碗中包含玉溪情．玉溪米线吃齐全，不枉登陆玉溪城”米线节期间，某店铺购进，两种米线进行销售．若购进斤种米线和斤种米线共需花费元，购进斤种米线和斤种米线共需花费元．已知该店，两种米线的售价如下表：
种类 售价（单位：元斤）
种米线
种米线
经过市场调查，该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线的数量不少于种米线的倍，设该店在米线节期间每天售出种米线斤，米线节期间共计天的总利润为元．
(1)求购进每斤种米线、种米线的价格分别是多少元？
(2)取何值时，总利润最大？并求出最大总利润．
【答案】(1)购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元
(2)为时，总利润最大，最大总利润为元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元，根据购进斤种米线和斤种米线共需花费元，购进斤种米线和斤种米线共需花费元列出方程组求解即可；
（2）先求出每天售出种米线斤，再由每天售出种米线的数量不少于种米线的倍求出，再根据利润每一斤的利润重量列出y关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元，
根据题意得：，解得：．
答：购进每斤种米线的价格是元，每斤种米线的价格是元；
（2）解：该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线斤，
每天售出种米线斤．根据题意得：，解得：，
米线节期间共计天的总利润为元，
，即，
，随的增大而减小，
又，当时，取得最大值，最大值为．
答：为时，总利润最大，最大总利润为元．
22．（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且．(1)求证：．(2)求的值．(3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长．
【答案】(1)答案见解析(2)(3)
【分析】（1）先求出，再根据，得，由又是直径，得，即可得答案；（2）作交的延长线与点G，设，求出，又因为，根据代入计算即可；（3）连结，先证，得，再根据（2）结论得，代入，求出，由，求出x，即可得解．
【详解】（1）解：如下图，连结，
，平分，
，，
，，
又是直径，，；
（2）如（1）图，作交的延长线与点G，设，
，，，
，，，
，，，；
（3）如（1）图，连结，由题意可知：，由，
，，由（2）可知：，
，，
，，，，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是，勾股定理，正切，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握相关定理．
23．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题背最 如图（1），与为等边三角形，连接交于点，请直接写出线段与的数量关系为______，______；
尝试应用 如图（2），与为等腰直角三角形，，为中点，连接，取的中点，连接，判断的关系，并证明；
拓展创新 如图（3），在矩形中，点为上一点，点为上一点，，连接，取的中点，连接，请直接写出的值是______．
【答案】（1），（2），理由见详解（3）
【分析】（1）先证明，得到，再证明即可；（2），理由如下：如图，延长至，使，连接与交于点，先证明，得到，再根据三角形的中位线定理即可；
（3）延长至，使，连接，设，则，根据勾股定理和三角形的中位线定理，得到，即可．
【详解】解：（1）与为等边三角形，
，，，
，，，
故答案为：，；
（2），理由如下：
如图，延长至，使，连接与交于点，
与为等腰直角三角形，，
，垂直平分，，
，，
，，
，，
为中点，取的中点，，，
同理可证：故；
（3）延长至，使，连接，
在矩形中， ，，垂直平分，，
，，是等边三角形，
，，设，则，
在和中，，，
在中，，
在中，
点是的中点，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，添加合适的辅助线，构造全等三角形是本题的关键．
24．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点．(1)直接写出、、三点的坐标；(2)如图(1)，是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；(3)如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线 交于点，若直线 经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线．
【答案】(1)，(2)或(3)见解析
【分析】（1）分别令，即可求解；（2）以为斜边向上作等腰直角三角形，得出，依题意，，是半径为的与抛物线的交点，设，其中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）设，分别表示出直线的解析式，进而联立抛物线解析式，得出，，依题意，直线的解析式为，即，联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，进而得出关于的恒等式，即可求解．
【详解】（1）解：对于抛物线，当时，，则，
当，即解得：，∴
（2）解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形，
∵，则，∴
∴依题意，，∴是半径为的与抛物线的交点，
设，其中∴，
整理得解得：
∵∴或则或；
（3）解：设，∵，，设直线的解析式分别为
∴，解得：，∴
联立，消去得：，
∴，即 由可得
依题意，直线的解析式为即
联立则∴，，
∴消去得：
解得：（与直线重合，故舍去）或 即点的运动轨迹是一条定直线．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考仿真模拟试题（云南卷）（二）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·云南昆明·一模）如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江大庆·一模）今冬，哈尔滨旅游火了！冻梨精致摆盘、把交响乐演出搬进火车站、鄂伦春族同胞被请出来表演驯鹿，哈尔滨的各种花式“宠粉”操作，使众多当地网友直呼：尔滨，你让我感到陌生！因为“尔滨”的真情实意款待，在2024年元旦小长假，哈尔滨3天总游客量达到304.79万人，旅游收入59.14亿元，创历史新高！那么，将数据“59.14亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东青岛·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·辽宁·一模）《海底两万里》是法国著名作家儒勒·凡尔纳的一部著名作品，他在小说中塑造了尼摩船长这个反对沙皇专制统治的高大形象，赋予其强烈的社会责任感和人道主义精神，以此来表达对现实的批判．如图所示是《海底两万里》中尼摩船长所发明的潜水头盔的示意图．这种头盔具有良好的抗水压性能，能使潜水工作者在水下数百米深处作业而行动自如．现将其抽象为图示的立体图形，则该头盔的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河南周口·一模）下图是关于某市某天7时~时这个整点时刻的气温折线统计图，则下列说法错误的是（ ）
A．7时~时气温的极差是 B．7时~时气温的众数是
C．7时~时气温的中位数是 D．7时~时气温的平均数是
6．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽芜湖·一模）如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·广西玉林·一模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们规定一个新“”，使其满足（即方程有一个根为）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，从而对任意正整数，我们可以得到，，，，．那么的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
9．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，，是边上的高，垂足为D，点F在边上，连接，E为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
10.（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
11．（2024·四川达州·二模）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，直径弦于点M，点E是半径上一点，连结并延长交于点F，连结交于点G．若，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共64分）
二、填空题（本大题共4个小题，每题2分，满分8分，将答案填在答题纸上）
13．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2023·浙江金华·三模）因式分解： ．
15.（2023·江苏盐城·校考模拟预测）若点关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为 。
16．（2024·陕西咸阳·一模）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
17.（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知圆锥的底面半径是，母线长是．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是 ．
18．（2024·河南·一模）如图，菱形的边长为2，，将菱形纸片翻折，使点B落在对角线上的点处，折痕为，连接，当为等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，其中17-18题每题6分，19-22题每题7分，23-24题每题8分，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（2024·山西朔州·一模）（1）计算：．
（2）解不等式组并在数轴上表示其解集．
18．（2023·云南昭通·二模）北京时间年4月日9时分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将风云三号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．某学校为激发学生对航天知识的学习兴趣，增强学生对我国航天事业的了解，举办了“航天知识知多少”的知识竞赛（满分分），并随机抽取了该校部分学生的竞赛成绩进行调查，并将调查结果绘制成如下图、表：
分数层次 频数 频率
(1)求出a、b的值．(2)在图中补全频数分布直方图．(3)已知该校有名学生参加这次知识竞赛，若将成绩在分以上（含分）定为优秀，请估计本次竞赛成绩为优秀的学生人数．
19．（2024·陕西·一模）如图是一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，每个扇形上分别标有相应的数字1，2，3，4．甲和乙做游戏：甲转动转盘，当转盘停止转动后记下指扇形区域内的数字，再由乙转动转盘，当转盘停止转运后记下指针所指扇形区域内的数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重新转一次，直到指针指向一个数字为止），若两人转出的数字之和小于5，则甲获胜；若两次转出的数字之和大于等于5，则乙获胜．(1)甲随机转运转盘，当转盘停止转运后，指针指向扇形区域内的数字小于4是________．（填“必然”“随机”或“不可能”）；(2)你认为该游戏规则是否公平 请利用画树状图或列表的方法进行说明．
20．（2023·山东泰安·三模）如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
(1)求证：；(2)写出与之间的数量关系，再说明理由．
21．（2023·云南玉溪·模拟预测）云南玉溪米线文化节是玉溪各族人民的传统节日，自每年正月初一起，至三月二十二日止，历时天，创世界纪录协会世界上历时最长的节日世界纪录．“小锅米线凉米线，各具风味有特色鳞鱼米线辣味汤，五味齐全又一色．过桥米线斗大碗，油汤飘香藏典故．土鸡米线大小碗，碗中包含玉溪情．玉溪米线吃齐全，不枉登陆玉溪城”米线节期间，某店铺购进，两种米线进行销售．若购进斤种米线和斤种米线共需花费元，购进斤种米线和斤种米线共需花费元．已知该店，两种米线的售价如下表：
种类 售价（单位：元斤）
种米线
种米线
经过市场调查，该店计划在米线节期间每天售出米线共斤，且每天售出种米线的数量不少于种米线的倍，设该店在米线节期间每天售出种米线斤，米线节期间共计天的总利润为元．
(1)求购进每斤种米线、种米线的价格分别是多少元？
(2)取何值时，总利润最大？并求出最大总利润．
22．（2024·浙江宁波·模拟预测）在Rt△ABC中，已知，，过A、D，B三点画圆O，是直径，的平分线恰好过圆心O，交于点E，且．(1)求证：．(2)求的值．(3)若的延长线与的延长线交于点H，直接写出的长．
23．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题背最 如图（1），与为等边三角形，连接交于点，请直接写出线段与的数量关系为______，______；
尝试应用 如图（2），与为等腰直角三角形，，为中点，连接，取的中点，连接，判断的关系，并证明；
拓展创新 如图（3），在矩形中，点为上一点，点为上一点，，连接，取的中点，连接，请直接写出的值是______．
24．（23-24九年级下·湖北·期末）如图，抛物线与轴分别交于、两点点在点的左侧与轴交于点．(1)直接写出、、三点的坐标；(2)如图(1)，是抛物线上异于，的一点，将点绕点顺时针旋转得到点，若点恰好在直线上，求点的坐标；(3)如图(2)，是抛物线上异于，的两个动点，直线与直线 交于点，若直线 经过定点，求证：点的运动轨迹是一条定直线．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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