南昌十九中2023-2024学年下学期高三第四次模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 34 D. 74
4. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，则（ ）
A B. 0 C. D. 1
6. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A. B. 1 C. D.
7. 加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，下列判断正确的是（ ）
A 若，且，则
B. 时，直线为图象的一条对称轴
C. 时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为
10. 如图，已知正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为．若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则下列说法中正确的是（ ）
A. 多面体存在外接球 B.
C. 平面 D. 点运动所形成的最短轨迹长大于
11. 已知，，则（ ）
A. 函数在上的最大值为3 B. ，
C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______．
13. 某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为______.
14. 已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 如图，在四棱台中，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
18. 已知椭圆，右顶点为，上 下顶点分别为是中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.
19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题：
（1）请直接写出与的数值．
（2）证明是一个等差数列，并写出公差d．
（3）当时，分别计算时，的数值，论述当B持续增大时，的统计含义．南昌十九中2023-2024学年下学期高三第四次模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式再利用补集运算即可求解.
【详解】由得，即，所以，
于是.
故选：D.
2. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充要条件的概念即可求解.
【详解】当时，或，则，即充分性成立；
当时，，则，即必要性成立；
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 34 D. 74
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【详解】的展开式为，1，2，3，4，，
的展开式，1，2，3，，
当，时，的系数为；
当，时，的系数为；
当，时，的系数为，
故的系数为．
故选：．
4. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.
【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
故选：C．
5. 若，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.
【详解】因为，所以，
即，则
所以
则，即.
故选：B.
6. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正八边形结构特征，结合数量积的定义计算即得.
【详解】在正八边形中，连接，则，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故选：D
7. 加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为、，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，进而可求得直线：为圆的切线，由，即可得出结果.
【详解】由椭圆：可知：，
当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，
其对角线长为，因此蒙日圆半径为4，圆方程为，
当为直角时，可知点当在圆，
因为到直线的距离为，
所以直线：为圆的切线，
因为直线，，所以.
故选：D.
8. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得出，构造函数，利用函数的单调性，即可判断出，从而得出结果.
【详解】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，得到，
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，当时，，
得到在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，得到，
故选：A.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于判断的大小，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得函数的单调性，即可求出结果.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，下列判断正确的是（ ）
A. 若，且，则
B. 时，直线为图象的一条对称轴
C. 时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D. 若在上恰有9个零点，则的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.
【详解】，
对于，根据条件，可得，故A错误；
对于，当时，，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，
为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，已知正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为．若将正三棱锥绕旋转，使得点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧，则下列说法中正确的是（ ）
A. 多面体存在外接球 B.
C. 平面 D. 点运动所形成的最短轨迹长大于
【答案】BCD
【解析】
【分析】若多面体存在外接球，则球心必为的外心，由即可判断A；正三棱锥中侧棱互相垂直且相等，正三棱锥中侧棱互相垂直且相等，将正三棱锥放到正方体中，即可判断BCD．
【详解】若多面体存在外接球，则球心必为的外心，连接，，
则，平面，又平面，所以，
所以，
因为，所以多面体不存在外接球，故选项A错误；
因为正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，
则正三棱锥中侧棱两两互相垂直且相等，正三棱锥中侧棱两两互相垂直且相等，
所以正三棱锥可以放到正方体中，当点分别旋转至点处，且四点共面，点分别位于两侧时，如图所示，
易知四边形为平行四边形，则，
又平面，且平面，所以平面，故C正确；
因为四边形为正方形，所以，所以，故B正确；
设交于点，则互相平分，，，
在中，，同理可得，
在中，，所以，
又因为点运动的最短轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆弧，
所以点运动所形成的最短轨迹长大于．故选项D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是利用线面平行的判定得到平面，D选项的关键是得到点运动的最短轨迹是以的中点为圆心，半径为的圆弧.
11. 已知，，则（ ）
A. 函数在上的最大值为3 B. ，
C. 函数在上没有零点 D. 函数的极值点有2个
【答案】AC
【解析】
【分析】求函数的导数，得，.因为在上递增，根据函数零点的存在性判断零点在之间，设为，再代入计算可以求出函数在上的最值，判断AB的真假；求的导数，得，，利用其单调性得至多一解，可判断D；再根据函数零点的存在性，可判断C的真假.
【详解】对A,B，因为，.
所以，.
设，，则，因为，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，
且，，
所以，使得.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又，，
，因为，
所以，
因，所以.故A正确，B错误；
对D，又，.
所以，.
设，则，，所以在恒成立.
所以在上单调递增，
所以至多一个解，故D错误；
对C，又因为，，
所以只有一解，在区间内.
所以在上单调递增，且，
所以在上无零点.故C正确.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量在向量上的投影向量为，则等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的公式运算即可得答案.
【详解】向量在向量上的投影向量为，
所以.
故答案为：.
13. 某单位有男职工30人，女职工70人，其中男职工平均年龄为40岁，方差为4，女职工平均年龄为35岁，方差是6，则该单位全体职工的方差为______.
【答案】10.65
【解析】
【分析】利用由部分方差求总体方差的公式求解.
【详解】由题意得，该单位全体职工的平均年龄为岁，
则该单位全体职工的方差
.
故答案为：10.65
14. 已知首项为的正项数列满足满足，若存在，使得不等式成立，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】先将已知等式两边取对数后由累乘法得到通项，再分为奇数和偶数时化简不等式后结合数列单调性解一元二次不等式即可求出.
【详解】因为，
所以，
当时，，
所以，又，所以时也成立，
所以，
因为，
当为奇数时，上式变为，
所以，因为为递减数列，所以解得；
当为偶数时，上式变为，
所以，解得；
综上，的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对已知不等式的变形，通过观察分析取对数化简后再累乘是关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别是，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将条件式边化角，化简求出；
（2）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解出的值，从而求出周长.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）易知，因为.所以，
由余弦定理，得.
又因为，所以代入得，
所以，
所以.
又因为，所以，
所以的周长为.
16. 如图，在四棱台中，为的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若平面平面，，当四棱锥的体积最大时，求与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据由棱台定义和几何结构特征，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）根据题意，证得平面，得到为四棱锥的高，此时点与重合，四棱锥取最大值，建立空间直角坐标系，求得，以及平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
由棱台定义，可得的延长线必定交于一点，
在中，因为，所以为的中位线，所以.
又因为，则，且，
所以四边形为平行四边形，可得，
因为平面，且平面，所以平面.
【小问2详解】
解：由平面平面，过点作，
因为平面平面，平面，
所以平面，即为四棱锥的高，
由，则在直角中，，
当且仅当时成立，
此时点与重合，此时，四棱锥取最大值.
如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以与平面夹角的正弦值为.
.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；
（2）把原函数有两个零点转化为在上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.
【小问1详解】
当时，R），所以，
令，则，
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
所以，
所以的极小值为，无极大值.
【小问2详解】
函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，
令，则，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：
（1）确定的定义域.
（2）计算导数.
（3）求出的根.
（4）用的根将的定义域分成若干个区间，判断这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.，则在对应区间上单调递增，对应区间为增区间；，则在对应区间上单调递减，对应区间为减区间.
如果导函数含有参数，那么需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
18. 已知椭圆，右顶点为，上 下顶点分别为是的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点的坐标，进而证得线段的中点为定点.
【小问1详解】
由题可得，，
的中点为，
故椭圆的方程为；
【小问2详解】
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
由，得.
设，则，
依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，
令，得
，
同理可求得，
，
线段的中点为定点.
【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.
19. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是……，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：记赌徒的本金为一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博；另一种是赌徒输光本金后，赌徒可以向赌场借钱，最多借A元，再次输光后赌场不再借钱给赌徒．赌博过程如图的数轴所示．
当赌徒手中有n元时，最终欠债A元（可以记为该赌徒手中有元）概率为，请回答下列问题：
（1）请直接写出与的数值．
（2）证明是一个等差数列，并写出公差d．
（3）当时，分别计算时，数值，论述当B持续增大时，的统计含义．
【答案】（1），；
（2）证明见解析，；
（3）当时，，当时，；论述见解析．
【解析】
【分析】（1）按照游戏约定，易得，；
（2）由全概率公式得出数列的递推公式，根据等差数列的定义易得为等差数列，运用累加法和，的值即可求得公差；
（3）根据（2）求得的概率通项式，代入和，整理即得，逐一代入值，即可求出的值，分析即得结论.
【小问1详解】
当时，赌徒已经欠债元，因此．
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率；
【小问2详解】
记赌徒有n元最后输光的事件，赌徒有n元上一场赢的事件，
，即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得；
【小问3详解】
，由（2），
代入可得，即，
当时，，当时，，
当B增大时，也会增大，即输光欠债的可能性越大，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光并负债．
【点睛】关键点点睛：关键在于对的理解，掌握运用全概率公式正确表达，然后利用数列递推公式的处理方法证明等差和求出通项，即可解决实际问题.
