2023-2024学年第二学期广东省广州市七年级数学期末自测卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2 .如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查活动中适宜全面调查的是（ ）
A．长江泸州段水质情况 B．神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况
C．某节能灯的使用寿命情况 D．我国中学生的视力情况
4．如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点分别在和上，，则的度数（ ）
A．55° B．95° C．115° D．25°
6．估计在哪两个整数之间（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．0与1之间
我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：
今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．
问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，
若，则是（ ）
A． B． C． D．
9 . 解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到解，
则的值（ ）
A． B． C． D．
如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，
每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上）
11．已知点在y轴上，则点P坐标为 .
12 .计算： ．
13 .如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“将”的位置的坐标为(0，0)，
棋子“象”的位置的坐标为(2，0)，则“炮”的位置的坐标为 ．
14 .如图，将向右平移得到，如果的周长是，
那么四边形的周长是 ．
15．如果是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式2022﹣2a+6b＝ ．
如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，
则图③中的度数是 ．
解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．完成下面的推理，并在括号内标注理由：
如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，
且，．求证：．
18．解下列方程组．
（1）；
（2）．
19．解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得__________；
(2)解不等式②，得__________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为__________．
20．如图，已知，
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，求的度数．
“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．
在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，
设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：
A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．
并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，
请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，
喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．小明想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，
已知购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元，购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元．
求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共个，
要求购买的总费用不超过元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
23．如图，三角形在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为，．
(1)求三角形的面积；
(2)图中三角形内一点P，经平移后对应点为Q，
将三角形作同样的平移得到三角形，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．
画出三角形，并写出该三角形各顶点的坐标；
y轴上是否存在点M，使得三角形的面积与三角形的面积相等，
若存在，直接写出点M的坐标：若不存在．请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为．
点B的坐标为____________；
点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，
设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为．
① 如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：；
② 若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，
当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年第二学期广东省广州市七年级数学期末自测卷解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】4的算术平方根是2．
故选B．
2 .如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
解：由图可知，小手盖住的点在第二象限，
，，，中只有在第二象限．
故选：．
3．下列调查活动中适宜全面调查的是（ ）
A．长江泸州段水质情况 B．神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况
C．某节能灯的使用寿命情况 D．我国中学生的视力情况
【答案】B
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A.长江泸州段水质情况，调查范围广适合抽样调查，故本选项不符合题意；
B.神舟十四号载人飞船设备零件的质量情况，精确度要求高，事关重大，适合全面调查，故本选项符合题意；
C.某节能灯的使用寿命情况，调查具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D.我国中学生的视力情况，调查范围广适合抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．如果，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断．
【详解】解：，
，，，．
故选：．
5．如图，点分别在和上，，则的度数（ ）
A．55° B．95° C．115° D．25°
【答案】C
【分析】由DE∥BC得∠BDE+∠ABC=180°，根据∠ABC=65°，计算得∠BDE的度数为115°．
【详解】如图所示：
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
又∵∠ABC=65°，
∴∠BDE=115°，
故选：C．
6．估计在哪两个整数之间（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．0与1之间
【答案】B
【分析】由于，然后利用算术平方根即可得到．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：
今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．
问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：设人数为人，物价为钱，
今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱，
每人出七钱，又差四钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：A．
8.如图，把长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置，
若，则是（ ）
A． B． C． D．
解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得到：，
，
，
．
故选：．
9 . 解方程组时，本应解出，由于看错了系数，而得到解，
则的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把解为再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值．
【详解】解：把代入，得：，
解得：，
把代入，得：，
∵看错系数，解得错误解为，
把代入，得：，
∴，
解得：，
∴．
故选：A．
如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，
每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得移动次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】解：，
则的坐标是，
即的坐标是．
故选：A．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上）
11．已知点在y轴上，则点P坐标为 .
【答案】
【分析】根据y轴上点的坐标特点解答即可．
【详解】∵点P(a+3,2a+4)在y轴上，
∴a+3=0解得a= 3，
∴2a+4= 2，
∴点p的坐标为(0, 2).
故答案为(0, 2).
12 .计算： ．
【答案】
【分析】根据立方根、平方根，绝对值，乘方运算法则即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
13 .如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“将”的位置的坐标为(0，0)，
棋子“象”的位置的坐标为(2，0)，则“炮”的位置的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题目中所描述的将和象的坐标，在图中确定原点在将的位置，然后确定旗子炮的位置即可；
【详解】∵棋子将所在位置的坐标为(0，0)，棋子“象”的位置的坐标为(2，0)，可以确定坐标系，
∴确定原点在将的位置，且一个棋格为一个单位长度，
∴棋子炮所在的位置的坐标为；
故答案为．
14 .如图，将向右平移得到，如果的周长是，
那么四边形的周长是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果．
【详解】解：向右平移得到，
，，
四边形的周长，
即四边形的周长的周长，
故答案为：20．
15．如果是方程x﹣3y＝﹣3的一组解，那么代数式2022﹣2a+6b＝ ．
【答案】2028
【分析】先将解代入方程，得出a 3b＝ 3，代入代数式即可．
【详解】解：∵是方程x 3y＝ 3的一组解，
∴a 3b＝ 3，
∴2a 6b＝2（a 3b）＝ 6，
∴2022 2a＋6b＝2022 2（a 3b）＝2022 （ 6）＝2028．
故答案为：2028．
如图①是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③，
则图③中的度数是 ．
解：，，
，，
图②中的，，
图③中，．
故答案为：
解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）
17．完成下面的推理，并在括号内标注理由：
如图，已知三角形中，于点，点，，分别在，，上，且，．求证：．
证明：，
．
，
，
等量代换，
，
，
，
垂直定义，
等量代换
．
【答案】；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；；
【分析】根据平行线的判定定理得出．进而证明根据，根据垂直的定义，即可求解．
【详解】证明：，
．
两直线平行，内错角相等，
，
等量代换，
同旁内角互补，两直线平行，
，
，
垂直定义，
等量代换
．
故答案为：；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；；．
18．解下列方程组．
（1）；
（2）．
解：（1），
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
故原方程组的解是；
（2），
①②得：，
解得，
把代入②得：，
解得，
故原方程组的解是．
19．解不等式组
请结合解题过程，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得__________；
(2)解不等式②，得__________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为__________．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（3）根据（1）（2）求得的不等式的解集在数轴上表示出来即可；
（4）根据（1）（2）求得的不等式的解集取公共部分即可求解．
【详解】（1）解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）由以上可得，原不等式组的解集为．
20．如图，已知，
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)．
【分析】（1）根据已知条件，先证明，继而得，根据等量代换得，从而得证；
（2）由（1）的结论，求得，再根据，求得的余角即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务．在本学期开学初，小颖同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥40）．并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）扇形统计图中m的值是 ，类别D所对应的扇形圆心角的度数是 度；
（4）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）32，57.6；（4）该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【分析】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人）；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），根据此信息补全条形统计图即可；
（3）＝32%，即m＝32，类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名）．
【详解】（1）本次共调查了10÷20%＝50（人），
故答案为50；
（2）B类人数：50×24%＝12（人），
D类人数：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8（人），
（3）＝32%，即m＝32，
类别D所对应的扇形圆心角的度数360°×＝57.6°，
故答案为32，57.6；
（4）估计该校寒假在家做家务的总时间不低于20小时的学生数．
800×（1﹣20%﹣24%）＝448（名），
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
22．年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．小明想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元，购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
(2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共个，要求购买的总费用不超过元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
【答案】(1)一个冰墩墩元，一个雪容融元
(2)最多购买个
【分析】（1）设购买个冰墩墩需元，个雪容融需元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买冰墩墩个，则雪容融个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设购买个冰墩墩需元，个雪容融需元．
由题意得，
解得：，
答：一个冰墩墩元，一个雪容融元；
（2）设购买冰墩墩个，则雪容融个，
则，
解得：，
为整数，
最多购买个，
答：最多可以购买个“冰墩墩”．
23．如图，三角形在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为，．
(1)求三角形的面积；
(2)图中三角形内一点P，经平移后对应点为Q，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出三角形，并写出该三角形各顶点的坐标；
(3)y轴上是否存在点M，使得三角形的面积与三角形的面积相等，若存在，直接写出点M的坐标：若不存在．请说明理由．
【答案】(1)
(2)图见解析，，，
(3)存在，或
【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积进行计算即可；
（2）根据点P，经平移后对应点为Q，得到平移规则：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，画出三角形，根据图形，写出各顶点的坐标即可；
（3）根据三角形的面积进行求解即可.
【详解】（1）解：；
（2）∵点P，经平移后对应点为Q，
∴平移规则为：先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
如图，三角形即为所求；
由图可知：点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为；
（3）设，
由（1）知：
则：三角形的面积，
解得：，
∴或.
24．如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内．轴交y轴于点A，轴交x轴于点C，线段和的长分别为m和n，且，点D的坐标为．
(1)点B的坐标为____________；
(2)点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为秒，连接，若记为，为β，为．
①如图2，点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：；
②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当时，求t的值，并直接写出相应的，β，之间的关系．
【答案】(1)
(2)①见解析；②，；，
【分析】（1）利用非负性求出的值，即可得到点B的坐标；
（2）①根据点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动，求出的取值范围，过点M作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；②分点M在点C左侧和点M在点C右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
故答案：．
（2）解：①∵D的坐标为，M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴到达的时间为：，到达的时间为：，
∴当点M在线段 (不包含线段的端点O，C)上运动时：；
证明∶过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
②∵点N从出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴向上运动，
∴
当点M在点C左侧时，，
∵，
∴，
解得．
此时，如图，点M在点O左侧，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点M在点C右侧时，，
∵，
∴，
解得．
此时，如图3，点M在点C右侧，
同法可得：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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