2023-2024学年江苏省镇江市八校高二下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有种
A. B. C. D.
2.已知，如三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为( )
A. B. C. D.
3.某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、连花清瘟胶囊盒、清开灵颗粒盒若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为( )
A. B. C. D.
4.在展开式中，含项的系数是( )
A. B. C. D.
5.一箱凤梨共有个，其中有个是优果，从这箱凤梨中随机抽取个，恰有个优果的概率为某果园刺梨单果的质量单位：服从正态分布，且，，则( )
A. B. C. D.
6.下列命题错误的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，若，，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
7.在二项式的展开式中，二项式系数的和为，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A. B. C. D.
8.在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分．在空间直角坐标系中，确定若干个点，点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，这样的点共有个，从这个点中任选个，则这个点在同一个部分的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 展开式中最大的系数为
10.在张奖券中，一、二、三、四等奖各张，将这张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多张，则下列结论正确的是( )
A. 若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有种不同的获奖情况
B. 若甲获得了一等奖和二等奖，则共有种不同的获奖情况
C. 若仅有两人获奖，则共有种不同的获奖情况
D. 若仅有三人获奖，则共有种不同的获奖情况
11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案如图把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的几何体．若图中每个正方体的棱长为，则( )
A.
B. 异面直线与所成角正弦值为
C. 点到直线的距离是
D. 为线段上的一个动点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量的分布列如下：
若，则_____．
13.已知，则_____．
14.三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法三分损益包含“三分损一”“三分益一”两层含义三分损一是指将原有长度作等分而减去其份，即原有长度生得长度；而三分益一则是指将原有长度作等分而增添其份，即原有长度生得长度两种方法可以交替运用、连续运用，各音律就得以辗转相生假设能发出第一个基准音的乐器的长度为，每次损益的概率为，则经过次三分损益得到的乐器的长度为的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在二项式的展开式中，第项为常数项．
求；
求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
在的展开式中，求含的项．
16.本小题分
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点．
求证平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
学校师生参与创城志愿活动高二班某小组有男生人，女生人，现从中随机选取人作为志愿者参加活动．
求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
若志愿活动共有卫生清洁员交通文明监督员科普宣传员三项可供选择每名女生至多从中选择项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望．
18.本小题分
如图甲所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如图乙．
证明：；
若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得分，选错得分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得分，部分选对得分，有错误选择或不选择得分．
已知某同学对其中道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这道单选题中答对的题数为随机变量．
求；
求使得取最大值时的整数；
若该同学在解答最后一道多选题时，除确定，选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答，已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
由题意得第项为，
则，解得；
由得所有奇数项的二项式系数之和为；
由知，
其中展开式的通项为且，
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为．
16.证明：取中点，连接，，
由是的中点，故，且，
由是的中点，故，且，
则有、，
故四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，
故平面；
解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有 、、、 ，
则有、、，
设平面的法向量分别为 ，
则有 ，
分别取，则有、 ，
即，
则有，
即点到平面的距离为．
17.解：设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动为事件，
则，，
所以；
依题意知服从超几何分布，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动，，
所以，
即两人工时之和的期望为个工时．
18.证明：如图，连接
因为，，为的中点，
所以，
又因为，所以所以
平面
所以平面
而平面所以．
解：取的中点为的中点为连接则
因为所以
又因为为的中点，所以
由知平面，平面
所以
又所以平面
以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示坐标系，
由题意知，
则
设平面的一个法向量为，
则
令，得为平面的一个法向量，
因为点在线段上，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设则
所以
所以
化简得
解得，舍去，
所以点是上靠近的三等分点，所以
设平面的一个法向量为 ， 则 ，令 ，得 ，
，
故平面与平面所成角的余弦值为 ．
19.解：由题意得，服从二项分布，记作，
所以
因为，
依题意
即
解得，
又为整数，所以，即时取最大值
由题知，选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选，
正确答案是两选项的可能情况为，
每种情况出现的概率均为
正确答案是三选项的可能情况为，
每种情况出现的概率为
若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：
分，
分，
若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：
分，
分，
若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：
分，
经比较，该同学选择单选A或单选C的得分期望最大，最大值为分
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