2023-2024学年河南省南阳市桐柏县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列分式与相等的是( )
A. B. C. D.
2.世界最大的单口径球面射电望远镜被誉为“中国天眼”，在其新发现的脉冲星中有一颗毫秒脉冲星的自转周期为秒数据用科学记数法可以表示为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
4.为比较甲、乙两个品种麦苗的长势，现分别从中随机抽取株麦苗测量其高度，发现甲、乙两个品种麦苗高度的平均数相同，且，，则下列说法正确的是( )
A. 甲品种麦苗长得更整齐
B. 乙品种麦苗长得更整齐
C. 甲、乙品种麦苗长得一样整齐
D. 无法确定甲、乙两个品种麦苗谁长得更整齐
5.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定平行四边形为矩形的是( )
A. B.
C. D.
6.某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，，则，，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若，，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示是小明复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图根据图中所提供的信息，请你判断小明在工作分钟时复印资料的情况是( )
A. 来不及印完 B. 刚好印完 C. 提前一分钟印完 D. 提前半分钟印完
9.如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知点，在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，轴，、在轴的两侧，，，与的距离为，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若一组数据，，，，的平均数是，则 ______．
12.已知是反比例函数，则 ______．
13.分式与的最简公分母是______．
14.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集为______．
15.如图所示，有一张长方形纸片，，现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.解方程：
．
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点．
求证：，；
若对角线与的和为，，求的周长．
19.本小题分
为进一步营造良好的通信科技人才成长环境，提升信息科技素养，培养科技创新后备人才，某学校开展了以“青少年通信科技创新大赛”为主题的科技系列活动，初赛采用标准试题线上答题其中该校对七、八年级学生进行了初赛测试，现从七、八年级中各随机抽取名学生的成绩百分制，单位：分进行整理、描述和分析成绩得分用表示，共分成四组：：；：；：；：，下面给出了部分信息：七年级名学生的成绩是：，，，，，，，，，
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，，，．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
请根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______， ______， ______；
根据以上数据，你认为哪个年级学生的初赛成绩更好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七年级有人、八年级有人参加了此次初赛测试，请估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于分的共有多少人．
20.本小题分
请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
填空：
当时， ______；
当时， ______；
当时， ______；
在平面直角坐标系中作出函数的图象；
观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论；
进一步探究函数图象发现：若关于的方程无解，则的取值范围是______．
21.本小题分
月日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求量不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进，两种新书进行销售，已知每本种图书的进价比种图书贵元，用元购进种图书的数量和用元购进种图书的数量相同．
求，两种图书每本的进价．
已知种图书的售价为每本元，种图书的售价为每本元，该书店决定购进这两种图书共本，且用于购买这本图书的资金不超过元，若，两种图书全部卖完，那么该书店如何进货才能获利最大？最大利润是多少元？
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于、两点，已知点与点关于坐标原点成中心对称，且点的坐标为其中．
四边形的是______填写四边形的形状
当点的坐标为时，四边形是矩形，求，的值．
试探究：随着与的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．
23.本小题分
如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．
求证：；
过点作交于点，延长至点，使得，连接、．
依题意补全图形；
求证：；
若，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，
则原方程无解．
17.解：原式
，
当时，原式．
18.证明：四边形是平行四边形，对角线，相交于点，
，；
解：四边形是平行四边形，
，．
对角线与的和为，
．
，
的周长为：．
答：的周长为．
19.，，；
八年级学生的初赛成绩更好，理由如下：
两个年级的平均数都是分，但八年级初赛成绩的中位数分大于七年级初赛成绩的中位数分答案不唯一；
人，
答：估计两个年级参加初赛测试的成绩不低于分的共有人．
20.，，；
函数的图象，如图所示：
由图象可知：
函数图象关于轴对称；
当时，有最小值答案不唯一；
．
21.解：设种图书价格为 元，则种图书价格为 元，
由题意得：，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
，
种图书的价格是 元，种图书的价格是 元；
设购进种图书本，该书店获利元，则购进种图书本，
用于购买这本图书的资金不超过元，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，
此时，
购进种图书本，购进种图书本，才能获利最大，最大利润是元．
22.解：平行四边形；
点在反比例函数的图象上，
，解得：，
点，
．
四边形为矩形，
，，，
，
．
四边形不可能成为菱形，理由如下：
点在第一象限内，点在轴正半轴上，
，
与不可能互相垂直，
四边形不可能成为菱形．
23.证明：在正方形中，，，
在和中，
，
≌，
；
解：补全图形得：
证明：四边形是正方形，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌
；
解：，，
，
，，
又，
≌，
，，
由≌，
，，
，
，
，
，
，
，
．
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