2023-2024学年山东省枣庄市台儿庄区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，点是 对角线的交点，过点分别交，于点，，下列结论成立的是( )
A.
B.
C.
D.
5.将方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A. B.
C. D.
6.如图，已知点，，若将线段平移至，在轴正半轴上，在轴上，则的纵坐标、的横坐标分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.关于的分式方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图， 的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
10.照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片像到镜头的距离．已知，，则( )
A. B. C. D.
11.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是( )
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
12.如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.当______时，分式无意义．
14.因式分解： ______．
15.如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则周长为______．
16.关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值______．
17.如图，在中，若，，，，
则 ______．
18.如图，中，，，将绕点逆时针旋转得，若交于点，当______时，为等腰三角形．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
因式分解：
解方程：．
20.本小题分
如图，图中的小方格都是边长为的正方形，的顶点坐标分别为，，．
请在图中画出绕点顺时针旋转后的图形；
请直接写出以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．
21.本小题分
化简求值：，其中．
22.本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，求证：四边形是平行四边形．
23.本小题分
如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
≌；
．
24.本小题分
某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜元，且用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样．
求甲乙两种类型笔记本的单价．
该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共件，且购买的乙的数量不少于甲的倍，则购买的最低费用是多少．
25.本小题分
八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止
【类比】请用分组分解法将因式分解；
【挑战】请用分组分解法将因式分解；
【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形若直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长是，小正方形的面积是．
根据以上信息，先将因式分解，再求值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.或
19.解：
；
，
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，
所以原分式方程的解是．
20.解：如图所示，即为所求作的三角形；
点的坐标为或或．
21. 解：原式
，
把代入，得：原式．
22.证明：四边形为平行四边形，
，且，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
四边形为平行四边形．
23.证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
．
24.解：设甲类型的笔记本电脑单价为元，则乙类型的笔记本电脑单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本电脑单价为元．
答：甲类型的笔记本电脑单价为元，乙类型的笔记本电脑单价为元；
设甲类型笔记本购买了件，则乙类型的笔记本电脑购买了件，
由题意得，，
，
，
设费用为元，
，
，
随的增大而减小，
时，最大值为元，
答：最低费用为元．
25.解：原式
；
原式
；
原式
，
，，
原式．
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