(共54张PPT)
第九章 统计与成对数据的统计分析
第三节 变量的相关关系与一元线性回归模型
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
课堂考点突破
——精析考题 提升能力2025高考数学一轮复习-9.3-变量的相关关系与一元线性回归模型-专项训练
基 础 巩固练
1.下面属于相关关系的是( )
A.圆的周长和它的半径之间的关系
B.价格不变的条件下,商品销售额与销售量之间的关系
C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势
D.正方形的面积和它的边长之间的关系
2.下面的散点图与相关系数r一定符合的是( )
A B
C D
3.(2023盐城质检)如图,这是相关变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析.方案一:根据图中所有数据,得到经验回归方程x+,相关系数为r1;方案二:剔除点(10,21),根据剩下数据得到经验回归方程x+,相关系数为r2.那么( )
A.0
A.50 B.250 C.490 D.500
5.(多选题)对相关系数r来说,下列说法错误的是 ( )
A.|r|≤1,|r|越接近0,相关程度越大;|r|越接近1,相关程度越小
B.|r|≥1,|r|越接近1,相关程度越大;|r|越大,相关程度越小
C.|r|≤1,|r|越接近1,相关程度越大;|r|越接近0,相关程度越小
D.|r|≥1,|r|越接近1,相关程度越小;|r|越大,相关程度越大
6.(多选题)5G技术在我国已经进入高速发展的阶段,5G手机的销量也逐渐上升,某手机商城统计了2023年5个月5G手机的实际销量,如下表所示:
月份 1月 2月 3月 4月 5月
月份 编号x 1 2 3 4 5
销量 y/部 50 96 a 185 227
若y与x线性相关,且求得经验回归方程为=45x+5,则下列结论正确的是( )
A.a=142
B.y与x正相关
C.y与x的相关系数为负数
D.预计2023年7月份该手机商城的5G手机销量为320部
7.某部门所属的10个工业企业的固定资产价值x与工业增加值y的资料如下表(单位:百万元):
固定资 产价值x 3 3 5 6 6 7 8 9 9 10
工业增 加值y 15 17 25 28 30 36 37 42 40 45
根据上表资料计算的相关系数约为 .
8.给出下列说法:①回归直线x+恒过样本点的中心(),且至少过一个样本点;②两个变量相关性越强,则相关系数|r|就越接近1;③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;④在回归直线方程=2-0.5x中,当解释变量x增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位.其中所有说法正确的序号是 .
9.随着人民生活水平的日益提高,汽车普遍进入千家万户,尤其在近几年,新能源汽车涌入市场,越来越受到人们喜欢.某新能源汽车销售企业在2019年至2023年间的销售量y(单位:万辆)的数据如下表:
年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
年份 代号x 1 2 3 4 5
销售量 y/万辆 17 18 20 22 23
(1)根据数据资料,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)求出y关于x的经验回归方程,并预估2024年该新能源汽车企业的销售量为多少万辆.
参考数据:(xi-)(yi-)=16,(xi-)2=10,(yi-)2=26,≈8.06.
参考公式:相关系数r=,
经验回归方程x+中,-b,其中为样本平均值.
综 合 提升练
10.(2023南京质检)为考察两个变量x,y的相关性,把搜集到的数据整理如下表,则这两个变量的线性相关程度( )
x 5 10 15 20 25
y 103 105 110 111 114
A.很强 B.很弱 C.无相关 D.不确定
11.已知(yi-)2是(xi-)2的4倍,(xi-)(yi-)是(xi-)2的1.5倍,则相关系数r的值为( )
A. B. C. D.
12.(多选题)(2023徐州月考)如图,这是某市2021年4月至2022年3月每月最低气温与最高气温的折线统计图,已知每月最低气温与最高气温的相关系数r=0.83,则下列结论正确的是(若|r|>0.75,则线性相关程度较强)( )
A.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为正相关
B.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月
C.9~12月的月温差相对于5~8月,波动性更大
D.每月最高气温与最低气温的平均值在所统计的前6个月里逐月增加
13.(2023南通质检)近五年来某草场羊只数量与草地植被指数的数据如下表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
年份 1 2 3 4 5
羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据图表得到以下判断:①羊只数量与草地植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r1,去掉第一年数据后得到的相关系数为r2,则|r1|<|r2|;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草地植被指数.以上判断中正确的个数是 .
14.为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+.已知xi=225,yi=1 600,=4,该班某学生的脚长为24厘米,据此估计其身高为 厘米.
15.根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)的对应数据的散点图如图所示.
依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数r并加以说明(若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求y关于x的经验回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量y.
附:相关系数公式r=.
参考数据:(xi-)(yi-)=6,(xi-)2=20,(yi-)2=2,≈0.95.
创 新 应用练
16.某同学使用某品牌暖水瓶,其内胆规格如图所示.水瓶内胆壁厚不计,且内胆分为①②③④四个部分(如图),它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体.若圆台部分的体积为52π cm3,且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出 cm3.盖上瓶塞后,暖水瓶的最大盛水量为V.
(1)求V.
(2)该同学发现:该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时,保温效果不同.为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积,做以下实验:从盛有最大盛水量V的水的暖水瓶中倒出不同体积的水,并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温,发现水温y(单位:℃)与时刻t满足经验回归方程y=ct+d,通过计算得到下表:
倒出体 积x/cm3 0 30 60 90 120
拟合 结果 y= c1t+d y= c2t+d y= c3t+d y= c4t+d y= c5t+d
倒出体 积x/cm3 150 180 210 … 450
拟合 结果 y= c6t+d y= c7t+d y= c8t+d … y= c16t+d
注:表中倒出体积x(单位:cm3)是指从盛有最大盛水量的水的暖水瓶中倒出的那部分水的体积.其中:
c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7
-1.4 -1.3 -1.2 -1 -1.1 -0.9 -0.8
令w=|c|,wi=|ci|,xi=30(i-1),i=1,2,…,16.对于数据(xi,wi)(i=1,2,…,7),可求得回归直线方程为L1:w=βx+α,对于数据(xi,wi)(i=8,9,…,16),可求得回归直线方程为L2:w=0.000 9x+0.7.
(ⅰ)指出|c|的实际意义,并求出回归直线L1的方程.
(ⅱ)若直线L1与直线L2的交点横坐标为最佳倒出体积,请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体积保留整数,且π取3.14),保温效果最佳？
附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线v=u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
参考答案
1.C 2.C 3.D 4.D 5.ABD 6.ABD
7.0.991 8 8.②③④
9.解 (1)由参考公式和参考数据可得r=0.993,
显然|r|接近1,故y与x有很强的线性相关关系.
(2)由参考公式得=1.6,由表中数据可得(1+2+3+4+5)=3,(17+18+20+22+23)=20,
故=20-1.6×3=15.2,∴回归直线方程为=1.6x+15.2,又2024年对应的代号为6,所以=1.6×6+15.2=24.8,
由此预估2024年该新能源汽车企业的销售量为24.8万辆.
10.A 11.A 12.ABC 13.1 14.166
15.解 (1)相关系数r=
=0.95.
因为|r|>0.75,所以y与x有较强的相关关系.
(2)由已知数据可得=5,
=4,
所以=0.3.
那么=4-5×0.3=2.5,
所以经验回归方程为=0.3x+2.5.当x=12时,=0.3×12+2.5=6.1,即当液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克.
16.解 (1)依题意得,半球的半径为r=5 cm,体积为V1=125π=(cm3),
大圆柱体积V2=25π×20=500π(cm3),小圆柱体积V3=4π×2=8π(cm3),
∴盖上瓶塞后,暖水瓶的最大盛水量为+500π+8π+52π-=640π(cm3).
(2)(ⅰ)|c|的实际意义为倒出x cm3体积水时,暖水瓶内水的降温速率.
|c|越小,降温速率越小,保温效果越好;|c|越大,降温速率越大,保温效果越差.
∵xi=30(i-1),i=1,2,…,7,对于回归直线L1:ω=βx+α,
=90,
=1.1,
(xi-)(ωi-)=-81,
(xi-)2=25 200,
=-=--0.003 2,
=1.1+0.003 2×90=1.388.
∴回归直线L1的方程为ω=-0.003 2x+1.388.
(ⅱ)联立得x≈167.8,
∴保温瓶最佳倒出体积约为167.8 cm3.
保温瓶盛水体积约为640π-167.8≈640×3.14-167.8=1 841.8(cm3),
∴当保温瓶盛水体积约为1 841.8 cm3时,保温效果最佳.
