北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-
专题二 线段的垂直平分线及角平分线的应用
类型一 垂直平分线的性质
1. 如图，在中，已知点在上，且，则点在（ ）
第1题图
A. 的垂直平分线上 B. 的平分线上
C. 的中点 D. 的垂直平分线上
2. 到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
3. 如图，在中，，，的周长为5，则的周长是 .
第3题图
4. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，直线与相交于点，连接，若，，则的周长为 .
第4题图
5. 如图，在中， ，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若，，，求线段的长.
类型二 垂直平分线的逆定理
6. 如图，点是的平分线上的一点，，，垂足分别是点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. 是等边三角形 D. 是线段的垂直平分线
7. 如图，已知点是的平分线上的一点，，，点，是垂足，连接，交于点.
（1） 请回答：是的垂直平分线吗？说明理由.
（2） 若 ，猜想，之间有什么数量关系？说明理由.
类型三 角平分线的性质
8. 已知，如图， ， ，是的角平分线.
（1） 求证：；
（2） 若，求的面积.
9. 证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知、求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证.
（1） 已知：如图，是的角平分线，点在上， ， ，求证： .（请你补全已知和求证）
（2） 写出证明过程.
类型四 角平分线的判定
10. 如图，点是平分线上的一点，若 ，请说明的理由.
11. （1）【感知】如图1，点是的平分线上一点，过点作于点，于点，证明（不需要证明）.
图1
（2） 【探究】如图2，在中， ，是的平分线，点在边上， .
图2
① 求证：；
② 请判断，，三条线段之间的数量关系，并说明理由.
（3） 【拓展】如图3，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若 ，请直接写出的度数.
图3
类型五 尺规作图
12. 如图，是等腰直角三角形， .
（1） 尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2） 在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接.求证：，且.
13. 作图题：
（1） 为进一步打造“宜居北京”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图1所示.请利用尺规作图作出音乐喷泉的位置；（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
图1
（2） 如图2，两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要在的内部修建一个货站，使货站到两条公路，的距离相等，且到两工厂，的距离相等，用尺规作出货站的位置.（要求：不写作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
图2
答案
专题二 线段的垂直平分线及角平分线的应用
类型一 垂直平分线的性质
1．A
2．D
3．7
4．4
5．（1） 解：.理由如下：，.
是 的垂直平分线，，.
， ， ，
，.
（2） 如图，连接，设，则，.
，
，
即，解得，
即.
类型二 垂直平分线的逆定理
6．C
7．（1） 解：是 的垂直平分线.理由如下：
点 是 的平分线上的一点，，，
.
在 和 中，
.
，是等腰三角形.
是 的平分线，
是 的垂直平分线（等腰三角形三线合一）.
（2） ，理由如下：
是 的平分线， ，
.
，，， ，
，，.
类型三 角平分线的性质
8．（1） 证明：如图，过点 作 于点，
，是 的角平分线，
.
又 ，
在 中，，
.
（2） 解： ， ，是 的角平分线，
，，
在 中，，
的面积为.
9．（1） 于点； 于点；
（2） 证明：在 和 中，
，
.
类型四 角平分线的判定
10．解：如图，过点 分别作，的垂线，交 于点，交 于点，
则 .
是 的平分线，
.
，
，
.
在 和 中， ，，，
，.
11．（2） ① 证明：过点 作 于点，如图.
是 的平分线， ，，
， .
，且 ，
.
在 和 中，
，
.
② 解：，，之间的数量关系为.理由如下：
由①知，.
，， .
平分，.
，.
，.
，.
（3） 解：过点 作 交 延长线于点，于点，于点，如图.
平分，，，.
平分，，，，
，
平分，
.
， ，
.
类型五 尺规作图
12．（1） 解：如图1，即为所作.
图1
（2） 证明：如图2，延长，交 于点.
图2
是等腰直角三角形，
， .
又，，
，.
，
，
，即.
13．（1） 解：如图1，连接，作出线段 的垂直平分线，在矩形中标出点 的位置.
图1
（2） 如图2，点即为所求.
图2
