北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-
专题七 平行四边形中的各类问题
类型一 平行四边形中的折叠问题
1. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与重合，点落到处，折痕为.求证：.
2. 如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点的落点记为点，折痕为，连接.
（1） 求证：四边形是平行四边形；
（2） 若 ， ，，求线段的长.
类型二 平行四边形中的动点问题
3. 如图，在四边形中，， ，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度向点运动，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为.
（1） 求，的代数表达式；
（2） 当为何值时，四边形是平行四边形.
4. 如图，等边的边长为8，动点从点出发，沿的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动.
（1） 若动点，同时出发，经过几秒第一次相遇？
（2） 若动点，同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动.在的边上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间及点的具体位置；若不存在，请说明理由.
类型三 平行四边形中的最值问题
5. 如图，在中， ，，，点为上一动点（不与点重合），以，为一组邻边作平行四边形，当的值最小时，求平行四边形的周长.
6. 如图所示，在四边形中，， ，为正三角形，点，分别在边，上滑动，且点，不与点，，重合.
（1） 四边形 平行四边形（是或不是）.
（2） 证明不论点，在，上如何滑动，总有.
（3） 当点，在，上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.
类型四 平行四边形中的存在性问题
7. 如图，在平行四边形中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为.
（1） 求的长.
（2） 是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
8. 如图，平行四边形在直角坐标系中，点、点都在轴上，其中，，，点是线段的中点.
（1） 直接写出点，的坐标.
（2） 求直线的解析式.
（3） 平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
专题七 平行四边形中的各类问题
类型一 平行四边形中的折叠问题
1．证明： 将平行四边形纸片 折叠，使点 与 重合，点 落到 处，折痕为，
，，，.
四边形 为平行四边形，
，，，.
，，，
，
，，，
.
在 和 中，
.
2．（1） 证明：如图1， 点 与点 重合，折痕为，
图1
，.
四边形 为平行四边形，
.
.
.
又，
四边形 是平行四边形.
（2） 解：如图2，作 于点，则 .
图2
点 的落点为点，折痕为，
.
四边形 为平行四边形，
.
又，
，即.
在 中， ， ，，
.
四边形 为平行四边形，
.
在 中， ， ，.
..
类型二 平行四边形中的动点问题
3．（1） 解：根据题意，，.
（2） 四边形 是平行四边形，
.
，解得，
当 时，四边形 是平行四边形.
4．（1） 解：第一次相遇的时间为（秒）.
答：若动点，同时出发，经过 秒第一次相遇.
（2） 存在.
如图1，当点 在线段 上，点 在 上时，
图1
四边形 为平行四边形，
，.
为等边三角形，和 是等边三角形，
，，
，此时.
如图2，当点 在线段 上，点 在 上时，
图2
同理 和 是等边三角形，，，
，，，此时.
如图3，当点 在线段 上，点 在 上时，
图3
同理 和 是等边三角形，，，
,，（不合题意，舍去）.
综上所述，运动了 秒或 秒时，，，，四点能够成平行四边形，此时点 在 上，且 或.
类型三 平行四边形中的最值问题
5．解：当 时，取得最小值，设此时.
四边形 是平行四边形，
，，.
，， 四边形 是矩形，
，.
，，.
， ，
，
当 的值最小时，平行四边形 的周长为.
6．（1） 是
（2） 证明：如图，连接.
由（1）知四边形 为平行四边形，则，.
，，，
.
又，
和 为等边三角形，
， ，.
是等边三角形， ，
， ，.
又 ，，
.
（3） 解：四边形 的面积不变，为定值.
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值.
如图，作 于 点.
，，
，则，
.
综上，四边形 的面积不变，为定值.
类型四 平行四边形中的存在性问题
7．（1） 解： 四边形 是平行四边形，，
.
是 的平分线，，
，.
，.
（2） 存在.
由（1）知，，
，.
由运动知，，，
，要使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点 在边 上时，，，.
当点 在边 的延长线上时，，
，.
综上，当 或 时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形.
8．（1） 解： 四边形 是平行四边形，
，.
点，都在 轴上，点 在 轴上，，，
，点 的坐标为，点 的坐标为，
点 的坐标为.
（2） 点 是线段 的中点，.
设直线 的关系式为.
直线 经过点，点，
解得
直线 的表达式为.
（3） 存在，点 的坐标为 或 或.
①如图1所示，当 为平行四边形的边时，
图1
， 点 的坐标为 或.
②如图2所示，当 为平行四边形的对角线时，
图2
则，，即点 的坐标为.
综上，点 的坐标为 或 或.
