淮滨县多校联考2023-2024学年下期期末考试
高一数学试卷
注意事项:
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若样本数据的方差为，则的方差为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是的中线，，以为基底表示，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于
7．如图，已知边长为4的正方形ABCD的中心与半径为的圆O的圆心重合，点P是圆O上的一点，则的值为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知平面向量，，则（ ）
A．当时， B．若，则
C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则
10．在直三棱柱中，，且，为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的取值范围为
C．的最小值为
D．当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
11．设为随机事件，且，下列说法正确的是（ ）
A．事件相互独立与互斥不可能同时成立
B．若三个事件两两独立，则
C．若事件独立，则
D．若，则
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 .
13．如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为 .
14．某市半程马拉松比赛需要学生志愿者若干名，其中某路段从某校高一年级1000人中按男、女采用比例分配的分层随机抽样抽取一个容量为50的样本，且样本中男生人数比女生人数多20人，则这1000人中女生有 人.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．(13分)设复数（其中），.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求.
16．(15分)某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三 四 五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）；
(3)在第四 五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
17．(15分)已知向量，函数．
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)若，且，求的值；
(3)将图象上所有的点向左平移个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，当时，方程有一解，求实数的取值范围．
18．(17分)如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形，记，.
(1)若，求的面积；
(2)证明：；
(3)若，求的面积的取值范围.
19．(17分)如图1，在矩形 中，是线段上（包括端点）的一动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点 平面 .
(1)如图2，当时，点是线段上点的，平面 ，求 的值；
(2)如图2，若点 在平面 内的射影落在线段上.
①是否存在点，使得 平面 ，若存在，求的长；若不存在，请说明理由；
②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离
淮滨县多校联考2023-2024学年下期期末考试
高一数学参考答案
第I卷(选择题，共58分)
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
1 2 3 4 5 6 7 8
D A B C B D C C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9 10 11
ACD ABD ACD
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12． 10
13．
14．300
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（1）由已知，
是实数，
，即，
.（6分）
（2），
由于是纯虚数，，解得，
则.
.（7分）
16．（1）因为第三 四 五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，解得；（3分）
（2）由（1）知，
平均数为；
前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内，
且，即分位数为69.4；（5分）
（3）第四 五两组志愿者分别有20人，人，
故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人选出2人，所有情况有，共10种，
其中选出的2人来自同一组的有，共6种，
所以选出的2人来自同一组的概率为.（7分）
17．（1）因为，
所以即
又因为，所以函数在上的单调递减区间为（3分）
（2）若则，所以.
因为，所以，
所以，
所以
故.（6分）
（3）将图象上所有的点的纵坐标变为原来的，再向下平移1个单位，最后再向右平移个单位得到函数的图象，
即：
则，
当时，
由方程有一解，可得的取值范围为．（7分）
18．（1）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，记，
在中，由余弦定理，，
所以，则，所以，
又因为为等边三角形，
所以，且，
所以，
则的面积为；（4分）
（2）在中，由正弦定理可得，
即且，
由于，
故，
由于三角形中，，因此，得证，（6分）
（3）在平面四边形中，已知，，为等边三角形，，设，
在中，由余弦定理，，
，
在中，由正弦定理，，即，所以，
结合
，
又因为，所以，
所以，
即的面积的取值范围为．（7分）
19．（1）取的中点，连接，
因为，所以，
因为∥，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为∥平面，，平面，
所以平面∥平面，
因为平面平面，平面平面，
所以∥，
因为是的中点，所以；（6分）
（2）①存在点，当点与点重合，即时，平面，
理由如下：当点与点重合时，则，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
即当点与点重合，时，平面；（4分）
②在矩形中作于，延长交于点，折起后得，
设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，
所以∽，得，即，得，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
所以点与点重合，
因为要使得点的射影落在线段上，所以，
则，解得，
在中，，
所以
，
当且仅当，即时，，
当时，，，则是的中点，
所以点到平面的距离为.（7分）
