第 7 讲 分数的初步认识
专题概述
分数：把图形或物体平均分成若干份，取其中的几份就是几分之几。图形的“平均分”主要指的是面积的等分，也就是说，分出的若干份小图形形状可以各不相同，面积相等即可。同时，原始图形可以是一个，也可以是多个。物体的“平均分”多是指质量或数量的等分。
分数的大小比较：(1)当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大；(2)当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小；(3)当两个分数的分子分母皆不相同时，我们可以通过画图进行观察比较。
分数的加减：(1)当两个分数的分母相同时，分母不变，分子相加减；(2)当两个分数的分母不同时，我们可以通过画图，将分母小的分数进行面积的再次分割，使之等于另一个较大的分母，从而进行新的同分母的分数的加减。
典型例题1
先涂色再计算。
分析 (1)在这里“ 指的是将一个圆形平均分成三份，取其中一份，就是 ” 如下右图。为了使1能与 相加，需要将它化为相同的分母，即将一个圆形平均分成三份，取全部三份，如下左图。
最终的结果就是共取其中的4份，为
(2)在这里 指的是将一个圆形平均分成六份，取其中五份，就是 如下右图。 的分割图形如下左图。
为了使 能与 相加，需要将它化为相同的分母，即将原先的“平均分成三份”，化为“平均分成六份”，即将原先的每一份进行再分割，如下左图。
最终的结果就是共取其中的7份，为
(3)为了使1能与 相减，需要将1进行转换，化为 即把圆平均分成七份，取全部七份，如下图。
减去 ，即拿走七份中的三份，如下图。
最终的结果就是共取其中的4份，为
解
思维训练1
1.先涂色再计算。
2.看图比较大小。
典型例题2
有一杯纯果汁，婷婷喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉 ，再加满水。又喝掉 ，又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯果汁多还是水多
分析 这道题我们从整体上去思考，就能很快地求出结果，婷婷喝了三次 杯，加了三次 杯水，因为 所以一共加了 杯水，而纯果汁既没有加也没有减仍然是1杯，即 杯。 因为 即水>果汁，所以婷婷喝的水比纯果汁多。
解 水: 纯果汁： 即水>纯果汁。
答：婷婷喝的水比纯果汁多。
思维训练2
1.有一杯纯牛奶，婷婷喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉- ，再加满水。又喝掉- 又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯牛奶多还是水多
2.有一杯纯西瓜汁，婷婷喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉- ，再加满水。又喝掉 又加满水。最后全部喝完。那么婷婷喝的纯西瓜汁多还是水多
典型例题3
某市计划今年修建一条道路，结果上半年就完成了整条路段的 ，若下半年前两个月又完成了剩下的 问还剩下全路段的几分之几需要完成
分析 本题可以借助图形或线段解决。
(1)图形：将整个路段的修建工程看作是一个圆。上半年完成了整条路段的 即下图中阴影部分。
剩下的 就是白色部分。而“下半年前两个月又完成了剩下的 即将剩下的白色部分平均分成9份。白色部分已被分成3份，也就是说，将每部分再分成三份即可，如下图。
白色部分被细分为9块，整个圆形被分成“7×3=21”’份。再取白色部分中的其中的7份，剩下的路段就是剩下的2份，如下图。
如图可知，经过两次平均分后，图形一共被分成了21份，最后只剩下了2份。
(2)线段：将整个路段的修建工程看作是一个线段。上半年就完成了整条路段的 即将线段平均分成7份，取其中的4份，如下图。
下半年前两个月又完成了剩下的 ，即需要将剩下的部分平均分成9份，取其中的7份。而从图上看来，还剩下3份线段，也就说，每份线段需要再平均分成3份，如下图。
整个线段被分成“7×3=21”份。再取剩余部分中的7份，剩下的路段就是剩下的2份，如下图。
如图可知，经过两次平均分后，线段一共被分成了21份，最后只剩下了2份。
(3)除了图形与线段外，本题还可通过列式计算：
即将整个工程平均分成了7份，上半年已完成其中的4份，下半年需要完成3份。
9÷3=3，即要将剩下的工程分成9份，则需将原先的每一份再平均分成3份。
7×3=21,即一共将工程分成了21份。
4×3+7=19。其中“4×3=12”表示的是上半年完成了12小份，“7”则是下半年前两个月完成的份数，加在一起就是一共完成的份数。
21—19=2，即剩下2份没有完成，所以最后还剩下 没有完成。
这三种方法里，(1)(2)的解法更为直观明了，(3)的解法更为简洁，相对而言也更有难度。
解 解法一：
由上图可知，还剩下全路段的 需要完成。
解法二：
由上图可知，还剩下全路段的 需要完成。
解法三：
工程总量:7×3=21,
已完成:4×3+7=19,
剩余部分:21—19=2。
答：还剩下全路段的 需要完成。
思维训练3
1.婷婷计划这个月看完《小王子》，结果上旬就完成了整本的 ，若下旬的第一周就看完了剩下的 ，问还剩下全书的几分之几需要看
小芳和小贺计划在国庆前的一周，共同完成班级的黑板报。前三天，两人共同完成了整个黑板报的- 。由于小贺去参加数学竞赛，接下来的两天，小芳独自完成了剩下的- 问还剩下几分之几的黑板报需要小贺与小芳完成
典型例题4
比较分数 与 的大小，并说明理由。
分析 解决这种题目的方法有两种。
(1)分数大小比较中，当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大；当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小。虽然两个分数的分子和分母皆不相同，但是就分母而言，“55<66”，粗略可估是 较大；就分子而言，“36>23”，粗略可估是 较大。两者结合可判断，‘
(2)这两个分数的分子和分母皆不相同，我们不妨找一个分子分母分别可与之相同的分数作为“中间数”，如 以 为例：
当两个分数的分母相同时，分子越大，分数越大，所以
当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小，所以
所以
当然，分数的大小也可以通过画图比较。由于本题涉及的分数分母过大，画图不便，故而选用分析法。
解 解法一：因为 所以
解法二：因为 所以
思维训练4
1.比较分数 与 的大小，并说明理由。
比较分数 与 的大小，并说明理由。
竞赛强化
1.一个西瓜被吃掉了 ，这个西瓜还剩下 。
2.写出3个既大于 又小于 的分数: 。
3.妈妈把一个蛋糕平均分成了6块，爸爸吃了2块，爷爷吃了1块，爸爸和爷爷共吃了这个蛋糕的 。
4.三(1)班共有 40 名同学，其中男同学有 21 人，则女同学占总人数的 分之 。
5.奶奶送来了一堆荔枝。爸爸吃了这堆荔枝的五分之一，妈妈吃了剩下的荔枝的五分之一，则 (填“爸爸”或“妈妈”)吃的多。
6.比较分数 与 的大小，并说明理由。
7.通过画图求出3个 与3个 的和。
8.有一杯纯果汁，小祝喝掉 后，将它加满水。然后她又喝掉- ，再加满水。又喝掉 又加满水。最后全部喝完。那么小祝喝的纯果汁多还是水多
9.小贺家阳台有一个小花圃，仅种了多肉和茉莉，已知其中茉莉花占了整块花圃的 其他区域养的都是多肉，问多肉所占地比茉莉所占地多多少
10.小贺计划三个月内绣完一幅十字绣。第一个月，小贺就完成了整幅十字绣的 第二个月又完成了剩下的 问还剩下整幅十字绣的几分之几需要完成
11.为举办元旦晚会，班级买了一堆彩带。婷婷为装饰教室用去了全部的 芳芳为表演节目用去了剩下的 ，问还剩下原来的几分之几
12.常见的表示 的方法有很多，如下图。请你用另外4 种方法表示长方形的-
第 7 讲 分数的初步认识
思维训练1
1. (1) ,图略;(2) ,图略;(3) ,图略。
2.>。提示：虽然图形不一，但是它们皆是分数的一种表示方式。左图为 ，右图为 ，当两个分数的分子相同时，分母越大，分数越小，所以 思维训练2
1. 水: 纯牛奶： ，即水<纯牛奶。答：婷婷喝的纯牛奶多。
2. 水: 西瓜汁： ，即水<西瓜汁。答：婷婷喝的纯西瓜汁多。
思维训练3
全书:5×2=10,已看完:3×2+3=9,剩余部分:10—9=1。答：还剩下全书的 需要看。
2. 1— = ,5÷1=5,3×5=15,2×5+2=12,15—12=3。
答：还剩下 的黑板报需要小贺与小芳完成。
思维训练4
1.解法一：因为 所以
解法二：因为 所以
2. 解法一：因为 所以
解法二：因为 所以
解法三：
由上图可知
竞赛强化
1. 。提示：9份—5份=4份，所以还剩下 。
(答案不唯一)。提示：把 份中的每一份再平均分成两份，总的就变成6×2=12份,取得1份就能变成1×2=2份，即相当于 。求“既大于 又小于 的分数”，就相当于求“既大于 又小于 的分数”。
3. 。提示：蛋糕被平均分为6份，故而分母为6。2+1=3,所以分子为 3。
4. 40,19。提示:人数共有40人,其中女同学有“40—21=19”人,所以女同学占总人数的四十分之十九。
5.爸爸。提示：同样是吃了五分之一，但爸爸所吃的荔枝堆的总数比妈妈的多，所以爸爸比妈妈吃的多。
6. 因为 所以
7. 略。
8. 水: 纯果汁： ，即水>纯果汁。答：小祝喝的水多。
答：多肉所占地比茉莉所占地多 。
2+5=13,22-13=9,还剩下整幅十字绣的 。答：还剩下整幅十字绣的 需要完成。
2+7=19,22-19=3,还剩下原来的 。答：还剩下原来的 。
12.略，过对角线交点作直线即可。
