第二十二章 二次函数
一、单选题
1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．与x轴有两个交点
C．顶点坐标是 D．它可由向右平移一个单位得到
2．将抛物线绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为( )
A． B．
C． D．
3．若A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）为二次函数 的图象上的三点，则y1， y2，y3的大小关系是（ ）
A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞
4．某人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的路S（米）与时间t（秒）间的关系式为S=10t+t2，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为( )
A．24米 B．12米 C．12米 D．11米
5．根据表格中的信息，估计一元二次方程（a、b、c为常数，）的一个解x的范围为（ ）
x 0 0.5 1 1.5 2
5.25 13
A． B． C． D．
6．某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件．若想获得最大利润，则定价x应为（ ）
A．35元 B．45元 C．55元 D．65元
7．已知二次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图像（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，中，，且，设直线 x＝t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与y轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线解析式 ．
12．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线 ．
13．关于的方程 的解是，（、、为常数，），则方程的解是 ．
14．已知抛物线经过点和点，则的最小值是 ．
15．小颖画了一个边长为5cm的正方形，如果将正方形的边长增加xcm，那么面积的增加值y（cm2）与边长的增加值x（cm）之间的关系式为 ．
16．如图，若抛物线上的，Q两点关于它的对称轴 对称，则Q点的坐标为 .
17．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加 ．
18．如图，将函数的图像沿y轴向上平移得到一条新函数的图像，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式是 ．
三、解答题
19．如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的顶点坐标；
(2)当时，直接写出的取值范围．
20．小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为x m．
(1)设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设菜园的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；
(3)小明计算出菜园的最大面积是600 ，小明计算的对吗？请说明理由．
21．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为x元（）．
(1)请你用x的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为 件（请化简）；
(2)若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价；
(3)问单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多？
23．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数），过点，顶点为A，点P在该抛物线上，横坐标为m．点Q的坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标A；
(2)当时，求m的值；
(3)线段绕点P顺时针旋转，得到线段，以为邻边作正方形．
①当正方形被坐标轴分成两部分的周长相等时，求m的值；
②连结，当和的面积和为正方形面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．
24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．
例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．
（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．
（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．
（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．
（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．B
5．D
6．D
7．D
8．D
9．D
10．D
11．y=x2-2（答案不唯一）
12．x=4
13．，
14．
15．y=x2+10x．
16．（﹣2，0）
17．
18．
19．(1)抛物线的顶点坐标为
(2)或
20．(1)
(2)，21
(3)小明计算的不对
21．（1）；（2）水珠能越过这棵树
22．(1)
(2)玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润
(3)当该玩具销售单价为65元时，商场获得最大利润12250元
23．(1)，
(2)，
(3)①，或 ②或
24．（1）A'的坐标为（2，1）；（2）①当m≥0时，y＝﹣x+3；②m＜0时，y＝x+3；（3）D′的横坐标为；（4）﹣2≤n≤0、1≤n≤3.
