备战2025年高考数学：数列各地区模拟题训练
一、单选题
1．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
3．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·西藏林芝·模拟预测）等比数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）等比数列中，，，记为的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．0
6．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知A细胞有0.4的概率会变异成细胞，0.6的概率死亡；细胞有0.5的概率变异成A细胞，0.5的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A．一个细胞为A细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.75
B．一个细胞为A细胞，其死亡前是细胞的概率为0.2
C．一个细胞为细胞，其死亡前是A细胞的概率为0.35
D．一个细胞为细胞，其死亡前是细胞的概率为0.7
7．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A．是递增数列 B．是递增数列
C． D．
8．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知，则（ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
二、多选题
9．（2024·吉林·模拟预测）已知在公差不为0的等差数列中，是与的等比中项，数列的前项和为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列是等差比数列
B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列
D．若数列是等比数列，则数列等差比数列
11．（2024·湖南长沙·三模）设无穷数列的前项和为，且，若存在，使成立，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．对任意给定的实数，总存在，当时，
三、填空题
12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知数列的前三项依次为的前项和，则 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）数列满足，，则的整数部分是 ．
14．（2024·山西阳泉·三模）已知数列的前项和为，且，则数列的前100项和 ．
四、解答题
15．（2024·吉林·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求实数的值和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．（2024·四川自贡·三模）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最大值．
17．（2024·新疆喀什·三模）已知数列的首项，且满足（）．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和，并证明．
18．（2024·浙江·三模）已知等比数列和等差数列，满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．
19．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】由，得，从而，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
所以，
所以，即①．
又因为②，
①②两式相乘，得．
故选：A．
2．C
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式得到方程，求出公差，得到答案.
【详解】，解得，
.
故选：C
3．B
【分析】根据给定条件，求出等差数列的首项及公差，再结合前项和及通项公式求解即得.
【详解】由，，得，解得，则等差数列的公差，
于是，由，得，
所以.
故选：B
4．B
【分析】根据等比数列前项和公式特征求解即可.
【详解】若等比数列的公比为，
因为，
则，矛盾，故
设等比数列公比为，则，
即等比数列的前项和要满足，
又因为，所以.
故选：B
5．D
【分析】根据题意，求出首项和公比，即可求．
【详解】设等比数列公比为，
则，
因为，则，
又，
故，，，
则．
故选：D
6．A
【分析】设n次为（A或B）细胞的概率为，可知次为细胞概率，设n次为A细胞的概率为，为B细胞的概率为，则n次细胞死亡的概率，对于AB：可知，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解；对于CD：可知，结合等比数列求相应概率，代入条件概率公式分析求解.
【详解】设n次为（A或B）细胞的概率为，则一次变异不为细胞，两次变异为细胞，
可知次为细胞概率，
设n次为A细胞的概率为，为B细胞的概率为，则n次细胞死亡的概率，
对选项AB：若一个细胞为A细胞，可知奇数次为A细胞，偶数次为B细胞，
则，
可得，，
则A细胞死亡的概率为，B细胞死亡的概率为，
可得细胞死亡的概率为，
所以其死亡前是A细胞的概率为，其死亡前是细胞的概率为，
故A正确，B错误；
对选项CD：若一个细胞为B细胞，可知奇数次为B细胞，偶数次为A细胞，
则，
可得，，
则A细胞死亡的概率为，B细胞死亡的概率为，
可得细胞死亡的概率为，
所以其死亡前是A细胞的概率为，其死亡前是细胞的概率为，
故CD错误；
故选：A.
7．D
【分析】特例法排除A，B，C，对于D，根据题意，可得，，且，故，从而可证.
【详解】设数列和数列均为常数列，所以排除A，B，C，选D，
对于D，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可知，故，
由，可知，又由，，有，故，
且，
故，即，
所以，故，
所以.
故选：D
8．D
【分析】由题意总结规律得，再利用累加法求得的通项公式，然后再进分组求和，建立一个关于的方程，解方程可得.
【详解】在第堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第层的球的个数多n，
记第n层球的个数为，则，
得，
其中也适合上式，则，
在第n堆中，
，
当时，，解得.
故选：D.
9．ABD
【分析】由已知结合等比中项的性质及等差数列的定义求的通项公式，再求出 ，最后用裂项相消法求出数列的前项和为.
【详解】因为是公差不为0的等差数列，，
设的首项为，公差为，
则，，，
因为是与的等比中项，所以，
即 ，化简得，，解得或(舍)，
又因为，即，所以，
所以通项公式，故A正确；
因为，，，
当时，取得最大值为，，故B正确；
数列的前项和为，，
所以，故C错误；
结合项的正负可知，当时，，当时，，故为的最小值，
又因为，故为的最大值，故D正确；
故选：ABD
10．BCD
【分析】考虑常数列可以判定A错误，代入等差比数列公式可判断BCD说法正确
【详解】等差数列若为常数列，则，无意义，
所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误；
若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，，
，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确.
若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确；
若数列是等比数列，公比为，则，
所以数列等差比数列，故D选项正确
故选：BCD.
11．BCD
【分析】根据题意，得到且是递减数列，结合等差数列的性质以及等差数列的求和公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，
且，即
又由，可得数列是等差数列，公差，
所以是递减数列，所以是最大项，且随着的增加，无限减小，即，
所以A错误、D正确；
因为当时，；当时，，
所以的最大值为，所以B正确；
因为，
且，
所以当时，；当时，，所以C正确.
故选：BCD.
12．2024
【分析】根据题意列方程得到，然后根据求即可.
【详解】由题意知，，，
解得，，，
所以，.
故答案为：2024.
13．
【分析】由变形得，进而通过题意累加得，再通过研究值的大小情况即可得解.
【详解】因为，故，
所以，即，
故，
又由得，
即，
又因为，，，
所以，
所以，所以，故的整数部分为1.
故答案为：1.
14．
【分析】由与的关系求得，用裂项求和法求得.
【详解】因为，
所以，
故时，两式相减得，
即，
因为，即，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，
故答案为:.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）利用，和等比数列的定义可得答案；
（2）法一：利用错位相减求和可得答案；法二：设，求出，可得，可得可得答案.
【详解】（1）当时，，
，
，
当时，，
整理得，
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
①②得
；
法二：
，
设，
且，解得，
，
即，其中，
，
.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可；
（2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得.
【详解】（1）数列满足①，
当时，有②，
①②可得：，
即，
变形可得，
故数列是以为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列，
若，，成等比数列，则有，
即，解得，
所以，
所以单调递减，又当时，，当时，，当时，，
故当或时，取得最大值，
且．
17．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由等比数列的定义即可求证，
（2）由裂项相消法求和，即可求解,根据单调性，即可求证.
【详解】（1）由得，
又，所以是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
当时，单调递增，故．
18．(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）设的公比为，等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可得解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求出，即可得到，再由分组求和及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）等比数列满足，，所以单调递增，
设的公比为，等差数列的公差为，依题意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
19．(1)证明见解析，
(2).
【分析】（1）利用等比数列的定义证明，再根据等比数列的通项公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂项相消可知，进而求解二次不等式即可.
【详解】（1）由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
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