3.2.2 奇偶性——高一数学人教A版（2019）必修第一册课时优化训练
1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在R上的奇函数，，若，，则a的值为( )
A.2 B.-1 C.2或-1 D.2或1
3.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则( )
A. B.
C. D.
4.对于定义在R上的函数，下列说法中正确的有( )
A.若，则是奇函数
B.若，则函数是偶函数
C.若，则函数不是偶函数
D.若，则函数不是奇函数
5.下列函数中，在上单调递增且图象关于原点对称的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列函数为偶函数的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知函数，则( )
A.的定义域为 B.为非奇非偶函数
C.的最大值为8 D.的最小值为2
8.（多选）下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，，且当时，，则( )
A.为偶函数 B.的图象关于点对称
C. D.8是函数的一个周期
10.已知奇函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为__________.
11.已知为奇函数，则________.
12.已知函数，若正数a，b满足，则的最大值是___________.
13.已知函数为R上的偶函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求在的最大值.
14.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
15.已知是定义在上的奇函数，且，求的解析式.
答案以及解析
1.答案：B
解析：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.
2.答案：C
解析：由题意，得.由，，得，解得或-1.故选C.
3.答案：D
解析：方法一：因为是R上的奇函数，所以.又满足，所以.因为且，所以.又在区间上单调递增，所以，即，所以，，所以.
方法二：由题意，得，所以，所以函数的图象关于真线对称.结合函数在区间上单调递增，以及奇函数图象的特征，画出函数在区间上的大致图象，如图所示，得.
4.答案：C
解析：若，不能说明对于定义域内的任意一个x，均成立，A错误；仅不足以确定函数的奇偶性，B错误；显然C正确；函数满足，且该函数既是奇函数，又是偶函数，D错误.
5.答案：A
解析：对于A，函数为奇函数，其图象关于原点对称，且函数在上单调递增，故A正确.对于B，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故B错误.对于C，函数的定义域是，该函数为非奇非偶函数，故C错误.对于D，函数的定义域为R，，所以函数的图象不关于原点对称，故D错误.
6.答案：B
解析：的定义域为且，不关于原点对称，所以不是偶函数，A错误；令，，则的定义域关于原点对称，且，所以是偶函数（[另解]，将的图象向左平移1个单位，得到的图象，其关于y轴对称，所以是偶函数），B正确；令，，，所以不是偶函数，C错误；，，不是偶函数，D错误.
7.答案：ABD
解析：由题设可得函数的定义域为，则选项AB正确；
，而，即，，，的最大值为，最小值为2，则选项C错误，D正确.
故选：ABD.
8.答案：AD
解析：对于A，设，，，，则函数在单调递减，单调递增，所以是偶函数，且在区间上单调递增，故A正确；
对于B，为二次函数，开口向下，对称轴为y轴，所以函数是偶函数，且在，单调递减，故B错误；
对于C，为反比例函数，关于原点对称，是奇函数，在单调递增，故C错误；
对于D，二次函数，开口向上，对称轴为y轴，
所以函数是偶函数，且在，单调递增，故D正确；故选：AD.
9.答案：ABD
解析：依题意，，，即有，两式相加整理得，因此的图象关于点对称，B正确；
由为偶函数，得，于是，有，因此函数的周期为4，8是函数的一个周期，D正确；由，得，而，因此，为偶函数，A正确；
由当时，，得，而，，，
即有，，C错误.故选：ABD.
10.答案：
解析：因为，则，因为是奇函数，所以.
又函数是定义在上的减函数，所以，解得，故所求不等式的解集为.故答案为：.
11.答案：-6
解析：因为为奇函数，所以，即，
所以，，故，即.故答案为：-6
12.答案：
解析：由题意得的定义域为R，且，
所以为奇函数，，且函数单调递增.因为，所以，化简得.所以，当且仅当时取等号，故的最大值为.
13.答案：（1）
（2）
解析：（1）设，则，
所以.
又函数为R上的偶函数，所以，
因此当时，，
所以
（2）分析知函数在上单调递减，在上单调递增.
当，即时，在上单调递减，故.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
若，即，
解得，则；
若，即，则.
当时，在上单调递增，故.
综上，
14.答案：（1）；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）由题意，得，
（经检验符合题意），故.
（2）证明：任取，且，
则.
，，，.
又，.，即，
在上是增函数.
（3）由（2）知在上是增函数，又在上为奇函数，
，，，
解得.不等式的解集为.
15.答案：.
解析：为奇函数，，.由，得，
，检验符合.
