2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版九年级上册21.1-22.1。
6．难度系数：0.8。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知实数 x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则 x2﹣x＝（ ）
A．﹣2 B．6或﹣2 C．6 D．3
2．方程中 x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝1
C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1
3．一次函数 y＝ax+b与二次函数 y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于 x的一元二次方程 kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则 k的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 k≠0 D．
5．若方程 x2﹣4x﹣2＝0的两根为 x1，x2，则 + 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和
技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，
根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据： ）（ ）
A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%
7．下列有关函数 y＝（x﹣1）2+2的说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线 x＝1
C．顶点坐标是（﹣1，2）
D．函数图象中，当 x＜0时，y随 x增大而减小
8．若 x＝2是方程 x2﹣x+c＝0的一个根，则 c的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．二次函数 y＝a（x﹣t）2+3，当 x＞1时，y随 x的增大而减小，则实数 a和 t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
10．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将 x2项的系数与常数项对换了，使得方程也变了．他正确地解
出了这个不同的方程，得到一个根是 2，另一根等于原方程的一个根．则原方程两根的平方和是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．若关于 x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为 0，则方程的另一个根为 ．
12． 用公 式法 解关 于 x 的 一元 二次 方程 ， 得 x＝ ， 则该 一元 二次 方 程
是 ．
13．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线 x＝1，且经过点（﹣2，y1），（﹣3，y2），试比较 y1
和 y2的大小：y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
14．若关于 x的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 的唯一实数根也是关于 x的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0
的根，则关于 x的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0的根为 ．
15．已知关于 x的方程 2x2+5x﹣3＝0的两个根分别为 x1，x2，则 x2+x1 的值为 ．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+5x﹣1＝0；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
17．（8分）已知关于 x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根 x1，x2．
（1）求 k的取值范围；
（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k的值；如果不存在，请说明理
由．
18．（7分）济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售
量，四月份售出 375个，六月份售出 540个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利 10元，月销售量为 500个，若在此基础上每个涨价
1 元，则月销售量将减少 20个，现在既要使月销售利润达到 6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那
么该品牌头盔每个应涨价多少元？
19．（7分）在二次函数 y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中，
（1）若它的图象过点（2，1），则 t的值为多少？
（2）当 0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出 t的值．
20．（10分）阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
∴代数式 x2+4x+2的最小值为﹣2．
∴代数式﹣x2+4x+3的最大值为 7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式 x2﹣4x+1的最小值为 ；
（2）已知 A＝2x2﹣3x+2，B＝x2﹣x﹣1，请比较 A与 B的大小，并说明理由；
（3）已知 x+y＝3，代数式 x2+y+3x﹣2的最小值为 ．
【拓展提高】
（4）苏科版七上数学书第 7 页试一试第 2 题：学校打算把 16m长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲
养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？
请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
21．（9分）某商场以每件 280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为 360元时，每月可售出 60件．为
了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价 1元，那么商场每月
就可以多售出 5件．
（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？
（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到 7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
（3）该商场 1月份销售量为 60件，2月和 3月的月平均增长率为 x，若前三个月的总销量为 285件，求
该季度的总利润．
22．（12分）已知关于 x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中 a，b，c分别为△ABC三边的
长．
（1）如果 x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23．（12分）已知二次函数 y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）用配方法将 y＝2x2﹣4x﹣6化成 y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当 x取何值时，y随 x的增大而减少？
（4）当 x取何值时，y＝0，y＞0，y＜0，
（5）当 0＜x＜4时，求 y的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B A D B C C D B D
二、填空题：本题共 5小题，每小题 3分，共 15分。
11．-0.5 12．3x2+9x﹣1＝0 13．＜ 14．x1＝﹣1，x2＝ 15．
三、解答题：本题共 8小题，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（10分）
【详解】解（1）∵x2+5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， ..............................................................................3分
∴ ， .......................................................................................4分
解得 ； .......................................................................................5分
（2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0， ..................................................................................................6分
∴（7x﹣6）（5x+2）＝0， ........................................................................................................8分
∴7x﹣6＝0或 5x+2＝0， ..............................................................................................................9分
解得 ； ...........................................................................................................10分
17．（8分）
【详解】解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根 x1，x2，
可得 k﹣1≠0， ..............................................................................................................1分
2
且Δ＝ (2k 3) 4(k 1)(k 1)＞0，.......................................................................................3分
解得 且 k≠1； ..................................................................................................4分
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，
∵x1+x2＝0， ...................................................................................................................5分
∴ ， .............................................................................................................6分
∴ ， ....................................................................................................................7分
又∵ 且 k≠1
∴k不存在． .................................................................................................................8分
18．（7分）
【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率 x，
由题意得：375（1+x）2＝540， .........................................................................1分
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， ..........................................2分
答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%； ......................................................3分
（2）设该品牌头盔每个应涨价 m元，
由题意得：（10+m）（500﹣20m）＝6000， ..........................................................5分
整理得：m2﹣15m+50＝0，
解得 m1＝5，m2＝10，
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝5， ...............................................................................................................6分
答：该品牌的头盔每个应涨价 5元． ...................................................................7分
19．（7分）
【详解】解：（1）图象经过点（2，1），
∴4﹣4t+3＝1，解得 ． ................................................................................2分
（2）y＝x2﹣2tx+3＝（x﹣t）2+3﹣t2，
∴x＝t时，
.............................................................................3 分
①t≥3时，对称轴在直线 x＝3右侧或与 x＝3重合，
，解得 （舍去）； ............................5分
②t＜3时，对称轴在直线 x＝3左侧，
，解得 （舍去）或 ；
综上， ． ......................................................................................................7分
20．（10分）
【详解】解：（1）由题意，∵x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
又对于任意的 x都有（x﹣2）2≥0，
∴x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3≥﹣3．
∴代数式 x2﹣4x+1的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3． ..........................................................................................................2分
（2）A＞B，理由如下：
∵A﹣B＝2x2﹣3x+2﹣（x2﹣x﹣1）
＝2x2﹣3x+2﹣x2+x+1
＝x2﹣2x+3
＝（x﹣1）2+2， ....................................................................................................4分
又对于任意的 x都有（x﹣1）2≥0，
∴A﹣B＝（x﹣1）2+2≥2＞0．
∴A＞B． ..................................................................................................................5分
（3）由题意，∵x+y＝3，
∴y＝3﹣x．
∴x2+y+3x﹣2＝x2+3﹣x+3x﹣2
＝x2+2x+1
＝（x+1）2．
∵对于任意的 x都有（x+1）2≥0，
∴x2+y+3x﹣2＝（x+1）2≥0．
∴代数式 x2+y+3x﹣2的最小值为 0．
故答案为：0． .....................................................................................................7分
（4）由题意，设 AB＝x m，长方形 ABCD的面积为 S，
∴S＝x（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+16 16．
∴当 x＝4时，即 AB＝4m时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为 16m2． ........9分
答：长方形生物园的最大面积为 16m2． ..............................................................10分
21．（9分）
【详解】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60
＝80×60
＝4800（元）．
答：降价前商场每月销售该商品的利润是 4800元； .............................................................2分
（2）设每件商品降价 m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，
根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200，
整理得：m2﹣68m+480＝0，
解得：m1＝8，m2＝60，
又∵要有利于减少库存，
∴m＝60．
答：每件商品应降价 60元； ................................................................................................5分
（3）根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285，
整理得：4x2+12x﹣7＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去）， ...................................................7分
∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件），
∴2月份这种商品的售价为 360﹣ ＝354（元），3月份这种商品的售价为 360﹣ ＝345（元），
∴该季度的总利润为（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）．
答：该季度的总利润为 20235元． ...................................................................................9分
22．（12分）
【详解】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把 x＝﹣1代入方程得 a+c﹣2b+a﹣c＝0，则 a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
........................................................................................................................4分
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即 b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
.....................................................................................................................8分
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为 x2+x＝0，解得 x1＝0，x2＝﹣1． .................................................................12分
23．（12分）
【详解】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8； .......................................................................................................................2分
（2）当 y＝0，则 0＝2（x﹣1）2﹣8，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
故图象与 x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
当 x＝0，y＝﹣6，
故图象与 y轴交点坐标为：（0，﹣6），
如图所示：
；
...............................................................................................................................................4 分
（3）当 x＜1时，y随 x的增大而减少； .........................................................................6分
（4）当 x＝﹣1或 3时，y＝0，
当 x＜﹣1或 x＞3时，y＞0，
当﹣1＜x＜3时；y＜0； ....................................................................................................8分
（5）当 0＜x＜4时，
x＝1时，y＝﹣8，x＝4时，y＝10，
故 y的取值范围是：﹣8≤y＜10； ...................................................................................10分
（6）如图所示：
函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为： ×4×6＝12． .......................................12分
