第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
[学习目标] 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.(重点)2.能够解决简单的函数性质的综合问题.(难点)
导语
同学们,经过前面几节课的学习,我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识,在探究的过程中,我们发现,“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想,它贯穿于整个高中数学学习中,特别是在解决三角函数问题时,熟练掌握整体代换思想,有利于我们化简、求值、运算等,尤其是在解决单调性、对称性等问题中,整体代换思想发挥着重大作用,今天,我们继续体会整体代换的数学思想.
一、形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
问题1 求二次函数的最值,需要明确哪些方面
提示 开口方向、对称轴、函数的定义域.
问题2 同角三角函数的平方关系是什么
提示 sin2α+cos2α=1.
例1 函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为 .
答案 [-4,0]
解析 因为y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
又-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
延伸探究
1.把本例中“x∈R”变为“x∈”,求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
解 由例题解答可知y=-(sin x-1)2,
因为x∈,所以≤sin x≤1,
所以当sin x=1,即x=时,ymax=0;
当sin x=,即x=时,ymin=-.
2.本例函数变为y=sin2x+2cos x-2,x∈R,求函数的值域.
解 因为y=sin2x+2cos x-2=1-cos2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2,
又-1≤cos x≤1,所以函数的值域为[-4,0].
反思感悟 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
跟踪训练1 函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是 .
答案 1
解析 由题意得f(x)=1-cos2x+cos x-,令cos x=t,则t∈[0,1],则y=-t2+t+=-+1,当t=,即x=时,f(x)取得最大值1.
二、正弦函数、余弦函数的对称性
问题3 正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是多少
提示 有,(kπ,0)(k∈Z).
问题4 正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,其对称轴方程是什么
提示 是轴对称图形,方程为x=+kπ(k∈Z).
问题5 类比正弦函数的对称轴和对称中心,你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗
提示 对称轴方程是x=kπ(k∈Z),对称中心的坐标为(k∈Z).
例2 函数y=sin的图象的对称轴是直线 ,对称中心是 .
答案 x=+(k∈Z) (k∈Z)
解析 要使sin=±1,必有2x+
=kπ+(k∈Z),∴x=+(k∈Z),
故函数y=sin的图象的对称轴是直线
x=+(k∈Z).
∵函数y=sin的图象与x轴的交点为对称中心,令y=0,即sin=0,
∴2x+=kπ(k∈Z),即x=-(k∈Z).
故函数y=sin的图象的对称中心是(k∈Z).
反思感悟 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
跟踪训练2 求函数y=2sin的对称轴、对称中心.
解 y=2sin=-2sin;
令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以函数y=2sin的对称轴为直线
x=+,k∈Z;
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.
所以函数y=2sin的对称中心为,k∈Z.
三、函数性质的综合应用
例3 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
答案 A
解析 对于A选项,最小正周期为π,
sin=sin =1,
所以y=sin的图象关于直线x=对称,
令-≤2x-≤,得-≤x≤,
所以函数y=sin在上单调递增,故A选项符合题意.
反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)=2cos,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间(0,π)上有两个零点
答案 ABD
解析 对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确;
对于B,∵f=2cos=-2,
∴f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;
对于C,∵f=2cos=2cos≠0,
∴f(x)的图象不关于点对称,故C错误;
对于D,令f(x)=0(0
(1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.
(2)正弦函数、余弦函数的对称性.
(3)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:整体代换、换元法.
3.常见误区:二次函数求最值时需考虑自变量本身的范围,数形结合求解.
1.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称,则φ可以是 ( )
A.- B.
C.- D.
答案 C
解析 因为函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称,所以2×+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).结合选项,当k=0时,φ=-.
2.已知函数y=4cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 ( )
A.4 B.4-2
C.6 D.4+2
答案 C
解析 ∵函数y=4cos x的定义域为,且函数在上单调递减.∴当x=时,ymax=4cos =2,即b=2;当x=π时,ymin=4cos π=-4,即a=-4,则b-a=2-(-4)=6.
3.已知直线x=和x=是曲线f(x)=sin(ωx+φ)(-π<φ≤π)的两条对称轴,且函数f(x)在上单调递减,则φ的值是 ( )
A.- B.0
C. D.π
答案 A
解析 因为f(x)在上单调递减,且两条对称轴为直线x=和x=,所以f是最小值,直线x=0也是对称轴,所以f(0)=-1,故sin φ=-1.又-π<φ≤π,解得φ=-.
4.函数y=cos2x+sin x的最大值为 .
答案
解析 因为y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x,
令t=sin x,t∈[-1,1],
则y=-t2+t+1=-+,
所以当t=时,ymax=.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为 ( )
A.π B.2π
C.1 D.2
答案 C
解析 函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为,函数的周期T==2,则==1.
2.下列函数中,最小正周期为4π,且图象关于点对称的函数是 ( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
答案 D
解析 若函数的最小正周期为4π,
则函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)中ω==,
此时y=2sin,
当x=时,y=2sin=0,
此时φ可取-.
3.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 画出y=|sin x|的图象,如图所示.
结合选项可知函数的一个单调递增区间为.
4.设函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为,则它的一条对称轴方程为 ( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
答案 D
解析 因为函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为,所以=,解得ω=10,
所以f(x)=cos,令10x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=-1时,x=-.
5.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时,φ的值为 ( )
A.± B. C.- D.±
答案 D
解析 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,
可得2π+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故|φ|取最小值时,φ的值为±.
6.(多选)已知函数f(x)=sin,下列四个结论中,正确的有 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在上单调递增
答案 AD
解析 对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确;
对于B,当x=时,2x-=0,又x=0不是y=sin x的对称轴,故B错误;
对于C,当x=时,2x-=,又不是y=sin x的对称中心,故C错误;
对于D,当x∈时,2x-,
当x∈时,y=sin x单调递增,故D正确.
7.(5分)当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为 .
答案
解析 因为x∈,所以sin x∈.
又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)
=2+,
所以当sin x=时,ymin=,当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为.
8.(5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则f= ,ω的最小值为 .
答案 1
解析 ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,
∴当x=时,f(x)取得最大值1.
即f=cos=1,
∴ω-=2kπ,k∈Z,
∴ω=8k+,k∈Z.
∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
9.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);(5分)
(2)求f(x)的单调递增区间.(5分)
解 (1)依题意T=π,∴ω=2,
f(x)=sin(2x+φ),
又f(x)的图象关于点对称,
∴2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
又|φ|≤,∴φ=,
∴f(x)=sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.(12分)已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a.当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围.
解 令t=sin x,则-1≤t≤1.
f(x)=0有实数解,即t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解.
则a=t2-t,t∈[-1,1],
设h(t)=t2-t=-,t∈[-1,1],
当t=时,h(t)min=-,
当t=-1时,h(t)max=2,
∴a的取值范围是.
11.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ),若f(x)关于直线x=对称,则f(x)的一个单调递增区间可以是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ∵f(x)关于直线x=对称,
则+φ=+kπ,k∈Z,
∴φ=+kπ,k∈Z,
又∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=-2sin.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
结合选项,当k=0时,≤x≤.
即f(x)的一个单调递增区间可以是.
12.函数y=的最小值是 ( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
答案 B
解析 因为y==2-,
所以当sin x=-1时,y=取得最小值-2.
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且关于点中心对称,则下列结论正确的是 ( )
A.f(1)
解析 ∵f(x)的最小正周期为π,
∴T==π,解得ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
又f(x)关于点中心对称,
∴2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,
又|φ|∈,
∴φ=-,则f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
故f(x)在上单调递增.
又f(2)=f,且-<0<-2<1<,
故可得f(0)
答案 0
解析 ∵函数f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)=3sin(ωx+φ)的图象的对称轴过函数g(x)=3cos(ωx+φ)的图象的对称中心,
∴g=0.
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象离原点最近的对称轴为x=x0,若满足|x0|≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x-φ)是“近轴函数”,则φ的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.
答案 C
解析 y=2sin(2x-φ)靠近原点的对称轴为x=x0,
则2x0-φ=± x0=±,
要为近轴函数,则|x0|≤,∵>,
∴φ>0,x0=-,或φ<0,x0=+,
∴或
解得φ∈∪.
16.(12分)已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;(5分)
(2)当x∈时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围.(7分)
解 (1)由余弦函数的单调性,令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知函数f(x)=2cos的单调递增区间为,k∈Z,
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z,
所以函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减,
且f=0,f=2,f=-,
所以当0≤k<2时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点,
即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
所以实数k的取值范围为[0,2).(共63张PPT)
第3课时
第五章
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正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.(重点)
2.能够解决简单的函数性质的综合问题.(难点)
学习目标
同学们,经过前面几节课的学习,我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识,在探究的过程中,我们发现,“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想,它贯穿于整个高中数学学习中,特别是在解决三角函数问题时,熟练掌握整体代换思想,有利于我们化简、求值、运算等,尤其是在解决单调性、对称性等问题中,整体代换思想发挥着重大作用,今天,我们继续体会整体代换的数学思想.
导 语
一、形如y=asin 2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
二、正弦函数、余弦函数的对称性
课时对点练
三、函数性质的综合应用
随堂演练
内容索引
形如y=asin 2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
一
提示 开口方向、对称轴、函数的定义域.
求二次函数的最值,需要明确哪些方面
问题1
提示 sin2α+cos2α=1.
同角三角函数的平方关系是什么
问题2
函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为 .
例 1
[-4,0]
因为y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
又-1≤sin x≤1,所以-4≤y≤0,
所以函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].
1.把本例中“x∈R”变为“x∈”,求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
延伸探究
由例题解答可知y=-(sin x-1)2,
因为x∈,所以≤sin x≤1,
所以当sin x=1,即x=时,ymax=0;
当sin x=,即x=时,ymin=-.
由例题解答可知y=-(sin x-1)2,
因为x∈,所以≤sin x≤1,
所以当sin x=1,即x=时,ymax=0;
当sin x=,即x=时,ymin=-.
2.本例函数变为y=sin2x+2cos x-2,x∈R,求函数的值域.
因为y=sin2x+2cos x-2=1-cos2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2,
又-1≤cos x≤1,所以函数的值域为[-4,0].
求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
反
思
感
悟
函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是 .
跟踪训练 1
1
由题意得f(x)=1-cos2x+cos x-,令cos x=t,则t∈[0,1],则y=-t2+t+=-+1,当t=,即x=时,f(x)取得最大值1.
二
正弦函数、余弦函数的对称性
提示 有,(kπ,0)(k∈Z).
正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是多少
问题3
正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,其对称轴方程是什么
问题4
提示 是轴对称图形,方程为x=+kπ(k∈Z).
类比正弦函数的对称轴和对称中心,你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗
问题5
提示 对称轴方程是x=kπ(k∈Z),对称中心的坐标为(k∈Z).
函数y=sin的图象的对称轴是直线 ,对称
中心是 .
例 2
x=+(k∈Z)
(k∈Z)
要使sin=±1,必有2x+
=kπ+(k∈Z),∴x=+(k∈Z),
故函数y=sin的图象的对称轴是直线
x=+(k∈Z).
∵函数y=sin的图象与x轴的交点为对称中心,令y=0,即sin=0,
∴2x+=kπ(k∈Z),即x=-(k∈Z).
故函数y=sin(k∈Z).
反
思
感
悟
正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
求函数y=2sin的对称轴、对称中心.
跟踪训练 2
y=2sin=-2sin;
令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以函数y=2sin的对称轴为直线
x=+,k∈Z;
令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.
所以函数y=2sin,k∈Z.
函数性质的综合应用
三
若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
例 3
√
对于A选项,最小正周期为π,
sin=sin =1,
所以y=sin的图象关于直线x=对称,
令-≤2x-≤,得-≤x≤,
所以函数y=sin上单调递增,故A选项符合题意.
反
思
感
悟
研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
(多选)已知函数f(x)=2cos,则
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间(0,π)上有两个零点
跟踪训练 3
√
√
√
对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确;
对于B,∵f=2cos=-2,
∴f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;
对于C,∵f=2cos=2cos≠0,
∴f(x)的图象不关于点对称,故C错误;
对于D,令f(x)=0(0
1.知识清单:
(1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.
(2)正弦函数、余弦函数的对称性.
(3)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:整体代换、换元法.
3.常见误区:二次函数求最值时需考虑自变量本身的范围,数形结合求解.
随堂演练
四
1.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称,则φ可以是
A.- B. C.- D.
因为函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称,所以2×+φ=kπ(k∈Z),解得φ=kπ-(k∈Z).结合选项,当k=0时,φ=-.
1
2
3
4
√
2.已知函数y=4cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是
A.4 B.4-2
C.6 D.4+2
∵函数y=4cos x的定义域为,且函数在上单调递减.
∴当x=时,ymax=4cos =2,即b=2;
当x=π时,ymin=4cos π=-4,即a=-4,则b-a=2-(-4)=6.
√
1
2
3
4
3.已知直线x=和x=是曲线f(x)=sin(ωx+φ)(-π<φ≤π)的两条对称轴,且函数f(x)在上单调递减,则φ的值是
A.- B.0 C. D.π
因为f(x)在上单调递减,且两条对称轴为直线x=和x=,所以f是最小值,直线x=0也是对称轴,所以f(0)=-1,故sin φ=-1.又-π<φ≤π,解得φ=-.
1
2
3
4
√
4.函数y=cos2x+sin x的最大值为 .
1
2
3
4
因为y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x,
令t=sin x,t∈[-1,1],
则y=-t2+t+1=-+,
所以当t=时,ymax=.
课时对点练
五
1.函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为
A.π B.2π C.1 D.2
函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为,函数的周期T==2,则==1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
2.下列函数中,最小正周期为4π,且图象关于点对称的函数是
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若函数的最小正周期为4π,
则函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)中ω==,
此时y=2sin,
当x=时,y=2sin=0,
此时φ可取-.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是
A. B.
C. D.
画出y=|sin x|的图象,如图所示.
结合选项可知函数的一个单调递增区间
为.
√
1
2
3
4
5
6
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16
4.设函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为,则它的一条对称轴方程为
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
因为函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为,所以=,解得ω=10,
所以f(x)=cos,令10x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=-1时,x=-.
√
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5.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时,φ的值为
A.± B. C.- D.±
由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,
可得2π+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故|φ|取最小值时,φ的值为±.
√
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6.(多选)已知函数f(x)=sin,下列四个结论中,正确的有
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在上单调递增
√
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√
对于A,函数f(x)的最小正周期T==π,故A正确;
对于B,当x=时,2x-=0,又x=0不是y=sin x的对称轴,故B错误;
对于C,当x=时,2x-=,又不是y=sin x的对称中心,故C错误;
对于D,当x∈时,2x-,
当x∈时,y=sin x单调递增,故D正确.
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7.当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为 .
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因为x∈,所以sin x∈.
又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)
=2+,
所以当sin x=时,ymin=,当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为.
8.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立,则f
= ,ω的最小值为 .
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1
∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,
∴当x=时,f(x)取得最大值1.
即f=cos=1,
∴ω-=2kπ,k∈Z,
∴ω=8k+,k∈Z.
∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
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9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
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依题意T=π,∴ω=2,
f(x)=sin(2x+φ),
又f(x)的图象关于点对称,
∴2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
又|φ|≤,∴φ=,
∴f(x)=sin.
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(2)求f(x)的单调递增区间.
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令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
10.已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a.当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围.
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令t=sin x,则-1≤t≤1.
f(x)=0有实数解,即t2-t-a=0在[-1,1]内有实数解.
则a=t2-t,t∈[-1,1],
设h(t)=t2-t=-,t∈[-1,1],
当t=时,h(t)min=-,
当t=-1时,h(t)max=2,
∴a的取值范围是.
11.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ),若f(x)关于直线x=对称,则f(x)的一个单调递增区间可以是
A. B.
C. D.
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综合运用
∵f(x)关于直线x=对称,
则+φ=+kπ,k∈Z,
∴φ=+kπ,k∈Z,
又∵|φ|<,∴φ=,
∴f(x)=-2sin.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
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结合选项,当k=0时,≤x≤.
即f(x)的一个单调递增区间可以是.
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12.函数y=的最小值是
A.2 B.-2 C.1 D.-1
因为y==2-,
所以当sin x=-1时,y=取得最小值-2.
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13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且关于点中心对称,则下列结论正确的是
A.f(1)
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∵f(x)的最小正周期为π,
∴T==π,解得ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
又f(x)关于点中心对称,
∴2×+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,
又|φ|∈,
∴φ=-,则f(x)=sin.
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令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
故f(x)在上单调递增.
又f(2)=f,且-<0<-2<1<,
故可得f(0)
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14.函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,设g(x)=3cos(ωx+φ),则g= .
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0
∵函数f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)=3sin(ωx+φ)的图象的对称轴过函数g(x)=3cos(ωx+φ)的图象的对称中心,
∴g=0.
拓广探究
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象离原点最近的对称轴为x=x0,若满足|x0|≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x-φ)是“近轴函数”,则φ的取值范围是
A. B.
C. D.
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y=2sin(2x-φ)靠近原点的对称轴为x=x0,
则2x0-φ=± x0=±,
要为近轴函数,则|x0|≤,∵>,
∴φ>0,x0=-,或φ<0,x0=+,
∴
解得φ∈.
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16.已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
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由余弦函数的单调性,令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-＋kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)当x∈时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围.
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由(1)知函数f(x)=2cos，k∈Z,
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z,
所以函数f(x)在,上单调递增,在上单调递减,
且f =0,f =2,f =-,
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所以当0≤k<2时,直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点,
即当0≤k<2时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
所以实数k的取值范围为[0,2).
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16第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
[学习目标] 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质,能够了解函数的整体性质.(重点)2.能够解决简单的函数性质的综合问题.(难点)
一、形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
问题1 求二次函数的最值,需要明确哪些方面
问题2 同角三角函数的平方关系是什么
例1 函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为 .
延伸探究
1.把本例中“x∈R”变为“x∈”,求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
2.本例函数变为y=sin2x+2cos x-2,x∈R,求函数的值域.
反思感悟 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c,还需利用同角三角函数的基本关系,转化成同名三角函数求值.
跟踪训练1 函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是 .
二、正弦函数、余弦函数的对称性
问题3 正弦函数y=sin x是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗 如果有,那么对称中心的坐标是多少
问题4 正弦曲线是轴对称图形吗 如果是,其对称轴方程是什么
问题5 类比正弦函数的对称轴和对称中心,你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗
例2 函数y=sin的图象的对称轴是直线 ,对称中心是 .
反思感悟 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
跟踪训练2 求函数y=2sin的对称轴、对称中心.
三、函数性质的综合应用
例3 若函数y=f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增,则y=f(x)的解析式可以是 ( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=cos D.y=cos
反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)=2cos,则 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间(0,π)上有两个零点
1.知识清单:
(1)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.
(2)正弦函数、余弦函数的对称性.
(3)函数性质的综合应用.
2.方法归纳:整体代换、换元法.
3.常见误区:二次函数求最值时需考虑自变量本身的范围,数形结合求解.
1.已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于点对称,则φ可以是 ( )
A.- B.
C.- D.
2.已知函数y=4cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是 ( )
A.4 B.4-2
C.6 D.4+2
3.已知直线x=和x=是曲线f(x)=sin(ωx+φ)(-π<φ≤π)的两条对称轴,且函数f(x)在上单调递减,则φ的值是 ( )
A.- B.0
C. D.π
4.函数y=cos2x+sin x的最大值为 .
答案精析
问题1 开口方向、对称轴、函数的定义域.
问题2 sin2α+cos2α=1.
例1 [-4，0]
解析 因为y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
又-1≤sin x≤1，所以-4≤y≤0，
所以函数y=cos2x+2sin x-2，x∈R的值域为[-4，0].
延伸探究
1.解 由例题解答可知
y=-(sin x-1)2，
因为x∈，
所以≤sin x≤1，
所以当sin x=1，即x=时，
ymax=0；
当sin x=，即x=时，
ymin=-.
2.解 因为y=sin2x+2cos x-2=1-cos2x+2cos x-2=-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2，
又-1≤cos x≤1，所以函数的值域为[-4，0].
跟踪训练1 1
问题3 有，(kπ，0)(k∈Z).
问题4 是轴对称图形，方程为x=+kπ(k∈Z).
问题5 对称轴方程是x=kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为(k∈Z).
例2 x=+(k∈Z) (k∈Z)
解析 要使sin=±1，
必有2x+=kπ+(k∈Z)，
∴x=+(k∈Z)，
故函数y=sin的图象的对称轴是直线
x=+(k∈Z).
∵函数y=sin的图象与x轴的交点为对称中心，令y=0，
即sin=0，
∴2x+=kπ(k∈Z)，
即x=-(k∈Z).
故函数y=sin的图象的对称中心是(k∈Z).
跟踪训练2 解 y=2sin=-2sin；
令2x-=+kπ，k∈Z，
得x=+，k∈Z，
所以函数y=2sin的对称轴为直线
x=+，k∈Z；
令2x-=kπ，k∈Z，
得x=+，k∈Z.
所以函数y=2sin的对称中心为，k∈Z.
例3 A [对于A选项，最小正周期为π，
sin=sin =1，
所以y=sin的图象关于直线x=对称，
令-≤2x-≤，
得-≤x≤，
所以函数y=sin在上单调递增，故A选项符合题意.]
跟踪训练3 ABD
随堂演练
1.C 2.C 3.A 4.作业55 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
单选题每小题5分,共45分;多选题每小题6分,共6分
1.函数y=sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为 ( )
A.π B.2π
C.1 D.2
2.下列函数中,最小正周期为4π,且图象关于点对称的函数是 ( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
3.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是 ( )
A. B.
C. D.
4.设函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为,则它的一条对称轴方程为 ( )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
5.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时,φ的值为 ( )
A.± B. C.- D.±
6.(多选)已知函数f(x)=sin,下列四个结论中,正确的有 ( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=对称
C.函数f(x)的图象关于点对称
D.函数f(x)在上单调递增
7.(5分)当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为 .
8.(5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则f= ,ω的最小值为 .
9.(10分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),若f(x)的图象关于点对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);(5分)
(2)求f(x)的单调递增区间.(5分)
10.(12分)已知函数f(x)=-sin2x+sin x+a.当f(x)=0有实数解时,求a的取值范围.
11.已知函数f(x)=-2sin(2x+φ),若f(x)关于直线x=对称,则f(x)的一个单调递增区间可以是 ( )
A. B.
C. D.
12.函数y=的最小值是 ( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且关于点中心对称,则下列结论正确的是 ( )
A.f(1)
15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象离原点最近的对称轴为x=x0,若满足|x0|≤,则称f(x)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x-φ)是“近轴函数”,则φ的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.
16.(12分)已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;(5分)
(2)当x∈时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,求实数k的取值范围.(7分)
答案精析
1.C 2.D 3.C
4.D [因为函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为，所以=，解得ω=10，
所以f(x)=cos，令10x-=kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，当k=-1时，x=-.]
5.D [由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称，
可得2π+φ=+kπ，k∈Z，即φ=-+kπ，k∈Z，当|φ|取最小值时，k=1，即φ=-或k=2，即φ=，故|φ|取最小值时，φ的值为±.]
6.AD [对于A，函数f(x)的最小正周期T==π，故A正确；
对于B，当x=时，2x-=0，
又x=0不是y=sin x的对称轴，故B错误；
对于C，当x=时，2x-=，又不是y=sin x的对称中心，故C错误；
对于D，当x∈时，2x-∈，
当x∈时，y=sin x单调递增，故D正确.]
7.
解析 因为x∈，
所以sin x∈.
又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)
=2+，
所以当sin x=时，ymin=，
当sin x=-或sin x=1时，
ymax=2，即函数的值域为.
8.1
解析 ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，
∴当x=时，f(x)取得最大值1.
即f=cos=1，
∴ω-=2kπ，k∈Z，
∴ω=8k+，k∈Z.
∵ω>0，
∴当k=0时，ω取得最小值.
9.解 (1)依题意T=π，∴ω=2，
f(x)=sin(2x+φ)，
又f(x)的图象关于点对称，
∴2×+φ=kπ，k∈Z，
得φ=+kπ，k∈Z，
又|φ|≤，∴φ=，
∴f(x)=sin.
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10.解 令t=sin x，则-1≤t≤1.
f(x)=0有实数解，即t2-t-a=0在[-1，1]内有实数解.
则a=t2-t，t∈[-1，1]，
设h(t)=t2-t=-，t∈[-1，1]，
当t=时，h(t)min=-，
当t=-1时，h(t)max=2，
∴a的取值范围是.
11.D [∵f(x)关于直线x=对称，
则+φ=+kπ，k∈Z，
∴φ=+kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴φ=，
∴f(x)=-2sin.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.
结合选项，当k=0时，≤x≤.
即f(x)的一个单调递增区间可以是.]
12.B [因为y=
=2-，
所以当sin x=-1时，y=取得最小值-2.]
13.B [∵f(x)的最小正周期为π，
∴T==π，解得ω=2，
则f(x)=sin(2x+φ)，
又f(x)关于点中心对称，
∴2×+φ=kπ，k∈Z，
即φ=-+kπ，k∈Z，
又|φ|∈，
∴φ=-，则f(x)=sin.
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，
解得x∈，k∈Z.
故f(x)在上单调递增.
又f(2)=f，且-<0<-2<1<，
故可得f(0)
解析 ∵函数f(x)的图象关于直线x=对称，且f(x)=3sin(ωx+φ)的图象的对称轴过函数g(x)=3cos(ωx+φ)的图象的对称中心，
∴g=0.
15.C [y=2sin(2x-φ)靠近原点的对称轴为x=x0，
则2x0-φ=± x0=±，
要为近轴函数，则|x0|≤，
∵>，
∴φ>0，x0=-，或φ<0，x0=+，
∴或
解得
φ∈∪.]
16.解 (1)由余弦函数的单调性，
令2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤-+kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由(1)知函数f(x)=2cos的单调递增区间为，k∈Z，
令2kπ≤2x+≤π+2kπ，k∈Z，
得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，
所以函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减，
且f=0，f=2，
f=-，
所以当0≤k<2时，直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个公共点，
即当0≤k<2时，方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
所以实数k的取值范围为[0，2).
