第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.(重点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(难点)
导语
同学们,大家知道川剧中的“变脸”表演吗 相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽,为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态,人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术,神奇的表演让观众叹为观止,在三角函数中也有这样的“表演者”,上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一,利用它的变换可以解决许多三角变换问题,但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要,比如遇到两角差的正弦、正切,两角和的正弦、余弦、正切的时候,该公式无法直接运用,今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”,对公式进一步拓展.
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题1 请同学们写出两角差的余弦公式.
提示 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
问题2 试比较cos(α-β)和cos(α+β),观察两者之间的联系,你能发现什么
提示 我们注意到α-β与α+β有联系,α+β=α-(-β),于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β,于是我们得到了两角和的余弦公式.
知识梳理
1.两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
2.两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
注意点:
(1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正,符号相同”.
(2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序.
例1 (1)cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
答案 B
解析 方法一 原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°
=-.
方法二 原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°
=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°
=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.
(2)的值是 ( )
A. B.
C.1 D.
答案 A
解析 原式=
=
=
==.
反思感悟 探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
跟踪训练1 下列各式化简错误的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α+sin α
答案 D
解析 根据两角和、差的正余弦公式知A,B,C选项均正确,D选项错误.
二、给值求值
例2 已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
解 因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,所以cos α=,sin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
延伸探究
1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.
解 因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,所以cos α=,sin β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
2.若本例条件不变,求cos(α+β)的值.
解 由以上可知cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
①当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差;
②当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
跟踪训练2 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α与cos 2β的值.
解 因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<.
又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)=
==,
cos(α+β)=-
=-=-.
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=×-×=-,
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-.
三、给值求角
例3 已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β= .
答案
解析 ∵α,β为锐角,sin α=,cos β=,
∴cos α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
又∵0<α+β<π,∴α+β=.
延伸探究 若本例中sin α=,其余条件不变,求α-β的值.
解 因为α,β均为锐角,
且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<,故α-β=-.
反思感悟 解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.
跟踪训练3 已知sin(α-β)=,sin β=,且α-β和β均为钝角,求α的值.
解 因为α-β和β均为钝角,
所以cos(α-β)=-=-,
cos β=-=-,π<(α-β)+β=α<2π,
所以cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=-×-×=,
所以α=.
1.知识清单:
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:构造法.
3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围.
1.sin 105°的值为 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 ( )
A.- B.-
C. D.
答案 A
3.若cos α=-,α是第三象限角,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
答案 A
4.= .
答案
解析
=
=
==sin 30°=.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于 ( )
A.- B.
C.- D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.
2.化简sin+sin等于 ( )
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
答案 B
解析 sin+sin
=sin x+cos x+sin x-cos x
=sin x.
3.已知cos=-(α为锐角),则sin α等于 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵cos=-(α为锐角),
∴sin=.
∴sin α=sin
=sin-cos
=×-×=.
4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于 ( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 sin αcos -cos αsin =sin=,又α∈[0,2π),
所以α=或.
5.在△ABC中,sin Asin B
C.直角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 ∵在△ABC中,sin Asin B
则C为钝角,故△ABC是钝角三角形.
6.(多选)cos α-sin α的化简结果可以是 ( )
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
答案 BD
解析 cos α-sin α=2
=2
=2cos=2sin.
7.(5分)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .
答案 -
解析 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,
两式相加可得2cos αcos β=-,
即cos αcos β=-.
8.(5分)形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式 的值是 .
答案 -1
解析 =sin 15°-cos 15°
=2
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
9.(10分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
解 ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-,又β是第三象限角,
∴cos β=-=-,
∴sin=sin βcos+cos βsin
=×+×=-.
10.(11分)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.求:
(1)cos(2α-β)的值;(6分)
(2)β的值.(5分)
解 (1)因为α,β∈,
所以α-β∈.
又因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<.
所以cos(α-β)==.
sin α==,
所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)
=×-×=.
(2)cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin α·sin(α-β)=×+×=,
因为β∈,所以β=.
11.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
答案 A
解析 因为cos B=,且0
所以sin C=sin(A+B)=sincos B+cos sin B
=×+×=.
12.已知α为钝角,且sin=,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
答案 C
解析 ∵α为钝角,且sin=,
∴cos=-,
∴cos=cos
=coscos-sinsin
=-×-×=-.
13.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为 ( )
A. B.
C. D.
答案 AD
解析 f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x
=2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x
若f(x)为奇函数,
则2sin φ-1=0,即sin φ=时,满足题意,
结合选项,φ可取,.
14.(5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
答案 -
解析 ∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
∴sin(α+β)=-.
15.(5分)“在△ABC中,cos Acos B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角,则实数a,b,c的大小关系是 .
答案 b
(1)若A(-1,2),B,求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;(3分)
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值;(4分)
(3)已知0<α<β<,E(5cos α,5sin α),F(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(E,P)=,cos(E,F)=,求E,P之间的曼哈顿距离.(5分)
解 (1)d(A,B)=+=,
cos(A,B)=×+×=,
故余弦距离为1-cos(A,B)=.
(2)cos(M,N)=·+·
=sin αsin β+cos αcos β=;
cos(M,Q)=·+·
=sin αsin β-cos αcos β=,
故sin αsin β=,cos αcos β=-,
则tan αtan β==-3.
(3)因为=5,=5,
所以cos(E,P)=·+·=cos β=.
因为0<β<,
所以sin β==.
因为=13,
所以cos(E,F)=·+·=cos(α-β)=.
因为0<α<β<,则-<α-β<0,
所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=,
所以sin α==,
所以E(3,4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以P.
因为+=+=,
所以E,P之间的曼哈顿距离是.(共63张PPT)
第2课时
第五章
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两角和与差的正弦、余弦公式
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.
2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.(重点)
3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(难点)
学习目标
同学们,大家知道川剧中的“变脸”表演吗 相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽,为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态,人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术,神奇的表演让观众叹为观止,在三角函数中也有这样的“表演者”,上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一,利用它的变换可以解决许多三角变换问题,但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要,比如遇到两角差的正弦、正切,两角和的正弦、余弦、正切的时候,该公式无法直接运用,今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”,对公式进一步拓展.
导 语
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
二、给值求值
课时对点练
三、给值求角
随堂演练
内容索引
两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
一
提示 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
请同学们写出两角差的余弦公式.
问题1
提示 我们注意到α-β与α+β有联系,α+β=α-(-β),于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+sin α
sin(-β)=cos αcos β-sin αsin β,于是我们得到了两角和的余弦公式.
试比较cos(α-β)和cos(α+β),观察两者之间的联系,你能发现什么
问题2
1.两角和的余弦公式
cos(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
2.两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
cos αcos β-sin αsin β
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
(1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正,符号相同”.
(2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序.
注 意 点
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(1)cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为
A.- B.- C. D.
例 1
√
方法一 原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°=-.
方法二 原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°
=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°
=sin(40°-70°)=sin(-30°)=-sin 30°=-.
(2)的值是
A. B. C.1 D.
√
原式=
=
=
==.
探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
反
思
感
悟
下列各式化简错误的是
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α+sin α
跟踪训练 1
√
根据两角和、差的正余弦公式知A,B,C选项均正确,D选项错误.
二
给值求值
已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
例 2
因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α=
,sin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.
延伸探究
因为α为第一象限角,β为第二象限角,sin α=,cos β=-,所以cos α=，sin β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
2.若本例条件不变,求cos(α+β)的值.
由以上可知cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
反
思
感
悟
给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
①当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差;
②当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α与cos 2β的值.
跟踪训练 2
因为<β<α<,
所以0<α-β<,π<α+β<.
又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,
所以sin(α-β)=
==,
cos(α+β)=-
=-=-.
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)
=×-×=-,
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=×+×=-.
给值求角
三
已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β= .
例 3
∵α,β为锐角,sin α=,cos β=,
∴cos α=,sin β=,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
又∵0<α+β<π,∴α+β=.
若本例中sin α=,其余条件不变,求α-β的值.
延伸探究
因为α,β均为锐角,
且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=,
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-.
又因为α,β均为锐角,
所以-<α-β<,故α-β=-.
反
思
感
悟
解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.
已知sin(α-β)=,sin β=,且α-β和β均为钝角,求α的值.
跟踪训练 3
因为α-β和β均为钝角,
所以cos(α-β)=-=-,
cos β=-=-,π<(α-β)+β=α<2π,
所以cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=-×-×=,
所以α=.
1.知识清单:
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:构造法.
3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围.
随堂演练
四
1.sin 105°的值为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于
A.- B.-
C. D.
1
2
3
4
√
3.若cos α=-,α是第三象限角,则sin等于
A.- B.
C.- D.
1
2
3
4
√
4.= .
1
2
3
4
=
=
==sin 30°=.
课时对点练
五
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于
A.- B. C.- D.
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°
=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=.
√
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
2.化简sin+sin等于
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
sin+sin
=sin x+cos x+sin x-cos x
=sin x.
1
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√
3.已知cos=-(α为锐角),则sin α等于
A. B.
C. D.
√
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∵cos=-(α为锐角),
∴sin=.
∴sin α=sin
=sin-cos
=×-×=.
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4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于
A. B.
C.或 D.或
sin αcos -cos αsin =sin=,又α∈[0,2π),
所以α=.
√
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5.在△ABC中,sin Asin B
C.直角三角形 D.等腰三角形
∵在△ABC中,sin Asin B
则C为钝角,故△ABC是钝角三角形.
1
2
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6.(多选)cos α-sin α的化简结果可以是
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
√
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11
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13
14
15
16
√
cos α-sin α=2
=2
=2cos=2sin.
7.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .
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cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,
两式相加可得2cos αcos β=-,
即cos αcos β=-.
8.形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式 的值是 .
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-1
=sin 15°-cos 15°
=2
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
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9.已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
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∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)=-sin β=,
∴sin β=-,又β是第三象限角,
∴cos β=-=-,
∴sin=sin βcos+cos βsin
=×+×=-.
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10.已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.求:
(1)cos(2α-β)的值;
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因为α,β∈,所以α-β∈.
又因为sin(α-β)=>0,所以0<α-β<.
所以cos(α-β)==.
sin α==,
所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)
=×-×=.
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(2)β的值.
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cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin α·sin(α-β)=×+×=,
因为β∈,所以β=.
11.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于
A. B.- C. D.-
√
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综合运用
因为cos B=,且0
所以sin C=sin(A+B)=sincos B+cos sin B
=×+×=.
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12.已知α为钝角,且sin=,则cos等于
A. B.
C.- D.
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∵α为钝角,且sin=,
∴cos=-,
∴cos=cos
=coscos-sinsin
=-×-×=-.
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13.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为
A. B. C. D.
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√
f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x
=2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x
若f(x)为奇函数,
则2sin φ-1=0,即sin φ=时,满足题意,
结合选项,φ可取,.
14.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
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∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1, ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0, ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,
∴sin(α+β)=-.
拓广探究
15.“在△ABC中,cos Acos B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角,则实数a,b,c的大小关系是 .
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b
(1)若A(-1,2),B,求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;
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d(A,B)=+=,
cos(A,B)=×+×=,
故余弦距离为1-cos(A,B)=.
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(2)已知M(sin α，cos α)，N(sin β，cos β)，Q(sin β，-cos β)，若cos(M，N)
=，cos(M，Q)=，求tan αtan β的值;
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cos(M,N)=·+·
=sin αsin β+cos αcos β=;
cos(M,Q)=·+·
=sin αsin β-cos αcos β=,
故sin αsin β=,cos αcos β=-,
则tan αtan β==-3.
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(3)已知0<α<β<,E(5cos α,5sin α),F(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(E,P)=,cos(E,F)=,求E,P之间的曼哈顿距离.
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因为=5,=5,
所以cos(E,P)=·+·=cos β=.
因为0<β<,
所以sin β==.
因为=13,
所以cos(E,F)=·+·=cos(α-β)=.
因为0<α<β<,则-<α-β<0,
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所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=,
所以sin α==,
所以E(3,4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
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所以P.
因为+=+=,
所以E,P之间的曼哈顿距离是.
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16第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.(重点)3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.(难点)
一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
问题1 请同学们写出两角差的余弦公式.
问题2 试比较cos(α-β)和cos(α+β),观察两者之间的联系,你能发现什么
知识梳理
1.两角和的余弦公式
cos(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α+β).
2.两角和与差的正弦公式
sin(α+β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α+β);
sin(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作S(α-β).
例1 (1)cos 70°cos 50°+cos 200°cos 40°的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
(2)的值是 ( )
A. B.
C.1 D.
反思感悟 探究解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变形使用公式.
跟踪训练1 下列各式化简错误的是 ( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 15°=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°
C.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°
D.cos=cos α+sin α
二、给值求值
例2 已知sin α=,cos β=-,且α为第一象限角,β为第二象限角,求sin(α+β)的值.
延伸探究
1.若本例条件不变,求sin(α-β)的值.
2.若本例条件不变,求cos(α+β)的值.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
①当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差;
②当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
(2)此类问题中,角的范围不容忽视,解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
跟踪训练2 已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求cos 2α与cos 2β的值.
三、给值求角
例3 已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β= .
延伸探究 若本例中sin α=,其余条件不变,求α-β的值.
反思感悟 解决给值求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定,当所求角范围是(0,π)或(π,2π)时,选取求余弦值,当所求角范围是或时,选取求正弦值.
跟踪训练3 已知sin(α-β)=,sin β=,且α-β和β均为钝角,求α的值.
1.知识清单:
(1)公式的推导.
(2)给角求值、给值求值、给值求角.
(3)公式的正用、逆用、变形用.
2.方法归纳:构造法.
3.常见误区:求值或求角时忽视角的范围.
1.sin 105°的值为 ( )
A. B.
C. D.
2.化简sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于 ( )
A.- B.-
C. D.
3.若cos α=-,α是第三象限角,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
4.= .
答案精析
问题1 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
问题2 我们注意到α-β与α+β有联系，α+β=α-(-β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cos α·cos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β，于是我们得到了两角和的余弦公式.
知识梳理
1.cos αcos β-sin αsin β
2.sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
例1 (1)B [方法一 原式=sin 20°sin 40°-cos 20°cos 40°=-(cos 20°cos 40°-sin 20°sin 40°)=-cos 60°
=-.
方法二 原式=cos 70°sin 40°-cos 20°cos 40°
=sin 40°cos 70°-sin 70°cos 40°
=sin(40°-70°)=sin(-30°)
=-sin 30°=-.]
(2)A [原式=
=
=
==.]
跟踪训练1 D
例2 解 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α=，sin β=，
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=×+×=.
延伸探究
1.解 因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α=，cos β=-，所以cos α=，sin β=，
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×=-.
2.解 由以上可知cos(α+β)
=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
跟踪训练2 解 因为<β<α<，
所以0<α-β<，π<α+β<.
又因为cos(α-β)=，
sin(α+β)=-，
所以sin(α-β)=
==，
cos(α+β)=-
=-=-.
所以cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)·sin(α-β)
=×-×
=-，
cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)·sin(α-β)
=×+×
=-.
例3
解析 ∵α，β为锐角，sin α=，
cos β=，
∴cos α=，sin β=，
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=×-×=-.
又∵0<α+β<π，∴α+β=.
延伸探究 解 因为α，β均为锐角，
且sin α=，cos β=，
所以cos α=，sin β=，
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-.
又因为α，β均为锐角，
所以-<α-β<，
故α-β=-.
跟踪训练3 解 因为α-β和β均为钝角，
所以cos(α-β)=-=-，
cos β=-=-，π<(α-β)+β=α<2π，
所以cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=-×-×=，所以α=.
随堂演练
1.D 2.A 3.A 4.作业58 两角和与差的正弦、余弦公式
单选题每小题5分,共35分;多选题每小题6分,共12分
1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于 ( )
A.- B.
C.- D.
2.化简sin+sin等于 ( )
A.-sin x B.sin x
C.-cos x D.cos x
3.已知cos=-(α为锐角),则sin α等于 ( )
A. B.
C. D.
4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于 ( )
A. B.
C.或 D.或
5.在△ABC中,sin Asin B
C.直角三角形 D.等腰三角形
6.(多选)cos α-sin α的化简结果可以是 ( )
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
7.(5分)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .
8.(5分)形如的式子叫做行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式 的值是 .
9.(10分)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=,β是第三象限角,求sin的值.
10.(11分)已知cos α=,sin(α-β)=,且α,β∈.求:
(1)cos(2α-β)的值;(6分)
(2)β的值.(5分)
11.在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于 ( )
A. B.- C. D.-
12.已知α为钝角,且sin=,则cos等于 ( )
A. B.
C.- D.
13.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为 ( )
A. B.
C. D.
14.(5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
15.(5分)“在△ABC中,cos Acos B= +sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角,则实数a,b,c的大小关系是 .
16.(12分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为cos(A,B)=·+·,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B,求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;(3分)
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β的值;(4分)
(3)已知0<α<β<,E(5cos α,5sin α),F(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(E,P)=,cos(E,F)=,求E,P之间的曼哈顿距离.(5分)
答案精析
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B
6.BD [cos α-sin α
=2
=2
=2cos=2sin.]
7.-
8.-1
解析 =sin 15°-cos 15°
=2
=2sin(15°-45°)
=2sin(-30°)
=-1.
9.解 ∵sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α
=sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α
=sin(α-β-α)=sin(-β)
=-sin β=，
∴sin β=-，又β是第三象限角，
∴cos β=-=-，
∴sin=sin βcos+
cos βsin
=×+×
=-.
10.解 (1)因为α，β∈，
所以α-β∈.
又因为sin(α-β)=>0，
所以0<α-β<.
所以cos(α-β)=
=.
sin α==，
所以cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]
=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)
=×-×=.
(2)cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos(α-β)+sin α·sin(α-β)=×+×=，
因为β∈，所以β=.
11.A [因为cos B=，且0
C=π-(A+B)，
所以sin C=sin(A+B)=sincos B+cos sin B
=×+×=.]
12.C [∵α为钝角，且sin=，
∴cos=-，
∴cos=cos
=coscos-
sinsin
=-×-×
=-.]
13.AD [f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x
=2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x
若f(x)为奇函数，
则2sin φ-1=0，即sin φ=时，满足题意，
结合选项，φ可取，.]
14.-
解析 ∵sin α+cos β=1，
cos α+sin β=0，
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1， ①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0， ②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos α·sin β)=1，
∴sin(α+β)=-.
15.b
cos(A，B)=×+×
=，
故余弦距离为
1-cos(A，B)=.
(2)cos(M，N)=·+·
=sin αsin β+cos αcos β=；
cos(M，Q)=·+·
=sin αsin β-cos αcos β=，
故sin αsin β=，cos αcos β=-，
则tan αtan β==-3.
(3)因为=5，
=5，
所以cos(E，P)=·+·
=cos β=.
因为0<β<，
所以sin β==.
因为=13，
所以cos(E，F)=·+·=cos(α-β)=.
因为0<α<β<，
则-<α-β<0，
所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)
=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β
=，
所以sin α==，
所以E(3，4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=，
所以P.
因为+
=+=，
所以E，P之间的曼哈顿距离是.
