5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
[学习目标] 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)3.掌握两角和、差的正、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点)
导语
同学们,前面我们学习了三角函数中的很多公式,有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,它们都属于三角变换.对于三角变换,我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异,还要考虑三角函数式包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换,在实际操作中,我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等,这就是我们今天要讲的三角恒等变换.
一、半角公式
问题1 余弦的二倍角展开有几种形式 请写出.
提示 三种形式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
问题2 我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”,你会得到什么式子
提示 cos α=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2.
知识梳理
半角公式
sin=±,
cos=±,
tan=±.
注意点:
半角公式中的±号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留±两个符号;若给出α的具体范围时,则先求所在的范围,然后根据所在的范围选用符号.
例1 已知sin α=-,π<α<,求sin ,cos ,tan的值.
解 ∵π<α<,sin α=-,
∴cos α=-,且<<,
∴sin==,
cos =-=-,
tan ==-2.
反思感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
跟踪训练1 已知sin α=-,α∈,则tan= .
答案 -
解析 方法一 因为sin α=-,α∈,
所以cos α=-.
因为α∈,所以,
所以tan<0.
所以tan=-=-.
方法二 因为sin α=-,α∈,
所以cos α=-.
所以tan===-=-.
二、和差化积、积化和差
知识梳理
1.积化和差
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)];
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
2.和差化积
sin θ+sin φ=2sincos;
sin θ-sin φ=2cossin;
cos θ+cos φ=2coscos;
cos θ-cos φ=-2sinsin.
例2 求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
解 方法一 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)]
=+(cos 100°-cos 40°+sin 70°)
=+(-2sin 70°sin 30°+sin 70°)
=+(-sin 70°+sin 70°)
=.
方法二 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10°
=(1-cos 40°)+cos 50°cos 10°
=(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°)
=.
方法三 令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°,
B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°.
则A+B=2+sin 70°,
A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)
=-sin 70°-,
两式相加得2A=,即A=,
故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=.
反思感悟 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
跟踪训练2 求下列各式的值:
(1)cos 29°cos 31°-cos 2°;
(2)cos+cos-2sincos.
解 (1)cos 29°cos 31°-cos 2°
=[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2°
=cos 60°+cos(-2°)-cos 2°
=.
(2)cos+cos-2sincos
=2cos ·cos-cos
=2coscos-cos
=cos-cos
=0.
三、三角函数式的化简、证明
例3 求证:+=.
证明 方法一 左边=+
=+===右边,
所以原等式成立.
方法二 左边=
==
==右边,
所以原等式成立.
反思感悟 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
跟踪训练3 化简:2+.
解 原式
=2+
=2+
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
由于π<4<,
∴sin 4<0,cos 4<0,sin 4+cos 4<0,
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
1.知识清单:
(1)半角公式.
(2)积化和差、和差化积.
(3)三角函数式的化简、证明.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:半角公式符号的判断.
1.已知cos α=-,<α<π,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
答案 D
解析 由<α<π可知<<,故sin===.
2.已知cos θ=-,-180°<θ<-90°,则cos等于 ( )
A.- B.
C.- D.
答案 B
解析 由-180°<θ<-90°可知-90°<<-45°,故cos ==.
3.化简的结果是 ( )
A.-cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.-cos 1
答案 C
解析 原式==,因为0<1<,故原式=cos 1.
4.化简:= .
答案 tan
解析 原式====tan.
课时对点练 [分值:100分]
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.下列各式与tan α相等的是 ( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 ===tan α.
2.已知sin α=,cos α=,则tan等于 ( )
A.2- B.2+
C.-2 D.±(-2)
答案 C
解析 方法一 因为sin α=,cos α=,
所以tan==-2.
方法二 因为sin α=>0,cos α=>0,
所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一或第三象限,
所以tan>0,
故tan===-2.
3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有 ( )
A.c
解析 a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b=2sin 13°·cos 13°=sin 26°,c=sin 25°,∵y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,∴a
A.sin+cos B.-cos-sin
C.cos-sin D.sin-cos
答案 D
解析 ∵-3π<α<-,∴-<<-.
∴sin>0,cos<0,====sin-cos.
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是 ( )
A. B.(0,1)
C. D.
答案 A
解析 直角三角形中两锐角分别为A和B,则A+B=C=,则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈,可得cos(A-B)∈(0,1],
∴cos(A-B)∈.
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan的可能取值为 ( )
A. B.1
C.2 D.不存在
答案 AD
解析 由题意知4sincos=1+2cos2-1,故有2sincos-cos2=0,若2sin-cos=0,则tan=;若cos=0,则tan不存在.
7.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°= .
答案
解析 原式=+4sin 20°
==
=
==.
8.(5分)sincos化为和差的结果是 .
答案 [cos(A+B)+sin(A-B)]
解析 sincos
=
=[cos(A+B)+sin(A-B)].
9.(10分)化简:+
.
解 因为π<α<,所以<<,
所以cos<0,sin>0,
所以原式=+
=+
=-+
=-cos .
10.(12分)求证:=.
证明 左边=
=
===右边,
所以原等式成立.
11.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
答案 B
解析 sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
12.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)等于 ( )
A. B.-
C. D.-
答案 D
解析 ∵cos α+cos β=,
∴2coscos=.
∵α-β=,∴=,
∴cos=.∴cos=,
∴cos(α+β)=2cos2-1=-.
13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于 ( )
A.- B.-
C. D.
答案 D
解析 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sincos=×(-2)sinsin,所以tan=.又α∈(0,π),β∈(0,π),所以0<<,所以=,即α-β=.
14.(5分)化简:··= .
答案 tan
解析 原式=··=·
=·==tan.
15.(5分)化简:-= .
答案 4
解析 原式=
=
===4.
16.(12分)已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
证明 由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
所以2sincos=-sin C, ③
2coscos=-cos C. ④
因为当cos=0时,sin C=cos C=0不成立,
所以cos≠0.
③÷④,得tan=tan C.
所以cos(A+B)===cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-,
所以cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=+[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=+=.(共56张PPT)
第1课时
第五章
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简单的三角恒等变换(一)
1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.
2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)
3.掌握两角和、差的正、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点)
学习目标
同学们,前面我们学习了三角函数中的很多公式,有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式,它们都属于三角变换.对于三角变换,我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异,还要考虑三角函数式包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换,在实际操作中,我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等,这就是我们今天要讲的三角恒等变换.
导 语
一、半角公式
二、和差化积、积化和差
课时对点练
三、三角函数式的化简、证明
随堂演练
内容索引
半角公式
一
提示 三种形式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
余弦的二倍角展开有几种形式 请写出.
问题1
提示 cos α=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2.
我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”,你会得到什么式子
问题2
半角公式
sin= ,
cos= ,
tan= .
±
±
±
半角公式中的±号不能去掉,若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留±两个符号;若给出α的具体范围时,则先求所在的范围,然后根据所在的范围选用符号.
注 意 点
<<<
已知sin α=-,π<α<,求sin ,cos ,tan的值.
例 1
∵π<α<,sin α=-,
∴cos α=-,且<<,
∴sin==,
cos =-=-,
tan ==-2.
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
反
思
感
悟
已知sin α=-,α∈,则tan= .
跟踪训练 1
-
方法一 因为sin α=-,α∈,所以cos α=-.
因为α∈,所以,
所以tan<0.
所以tan=-=-.
方法二 因为sin α=-,α∈,
所以cos α=-.
所以tan===-=-.
二
和差化积、积化和差
1.积化和差
sin αcos β= ;
cos αsin β= ;
cos αcos β= ;
sin αsin β= .
[sin(α+β)+sin(α-β)]
[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.和差化积
sin θ+sin φ= ;
sin θ-sin φ= ;
cos θ+cos φ= ;
cos θ-cos φ= .
2sincos
2cossin
2coscos
-2sinsin
求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
例 2
方法一 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)]
=+(cos 100°-cos 40°+sin 70°)
=+(-2sin 70°sin 30°+sin 70°)
=+(-sin 70°+sin 70°)
=.
方法二 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°cos 10°
=(1-cos 40°)+cos 50°cos 10°
=(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°)
=.
方法三 令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°,
B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°.
则A+B=2+sin 70°,
A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)
=-sin 70°-,
两式相加得2A=,即A=,
故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°=.
反
思
感
悟
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
求下列各式的值:
(1)cos 29°cos 31°-cos 2°;
跟踪训练 2
cos 29°cos 31°-cos 2°
=[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2°
=cos 60°+cos(-2°)-cos 2°
=.
(2)cos+cos-2sincos.
cos+cos-2sincos
=2cos ·cos-cos
=2coscos-cos
=cos-cos
=0.
三角函数式的化简、证明
三
求证:+=.
例 3
方法一 左边=+
=+===右边,
所以原等式成立.
方法二 左边=
==
==右边,
所以原等式成立.
反
思
感
悟
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
化简:2+.
跟踪训练 3
原式
=2+
=2+
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
由于π<4<,
∴sin 4<0,cos 4<0,sin 4+cos 4<0,
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
1.知识清单:
(1)半角公式.
(2)积化和差、和差化积.
(3)三角函数式的化简、证明.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:半角公式符号的判断.
随堂演练
四
1.已知cos α=-,<α<π,则sin等于
A.- B.
C.- D.
由<α<π可知<<,故sin===.
√
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2
3
4
2.已知cos θ=-,-180°<θ<-90°,则cos等于
A.- B. C.- D.
由-180°<θ<-90°可知-90°<<-45°,故cos ==.
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√
3.化简的结果是
A.-cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.-cos 1
原式==,因为0<1<,故原式=cos 1.
√
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4.化简:= .
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tan
原式====tan.
课时对点练
五
1.下列各式与tan α相等的是
A. B.
C. D.
===tan α.
√
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基础巩固
2.已知sin α=,cos α=,则tan等于
A.2- B.2+
C.-2 D.±(-2)
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√
方法一 因为sin α=,cos α=,
所以tan==-2.
方法二 因为sin α=>0,cos α=>0,
所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一或第三象限,
所以tan>0,
故tan===-2.
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3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有
A.c
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4.设-3π<α<-,化简的结果是
A.sin+cos B.-cos-sin
C.cos-sin D.sin-cos
∵-3π<α<-,∴-<<-.
∴sin>0,cos<0,====sin-cos.
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5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是
A. B.(0,1)
C. D.
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直角三角形中两锐角分别为A和B,则A+B=C=,则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈,可得cos(A-B)∈(0,1],
∴cos(A-B)∈.
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6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan的可能取值为
A. B.1
C.2 D.不存在
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由题意知4sincos=1+2cos2-1,故有2sincos-cos2=0,若2sin-cos=0,则tan=;若cos=0,则tan不存在.
7.计算:tan 20°+4sin 20°= .
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原式=+4sin 20°
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==.
8.sincos化为和差的结果是 .
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[cos(A+B)+sin(A-B)]
sincos
=
=[cos(A+B)+sin(A-B)].
9.化简:+.
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因为π<α<,所以<<,
所以cos<0,sin>0,
所以原式=+
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10.求证:=.
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左边=
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===右边,
所以原等式成立.
11.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为
A.- B. C. D.-
sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.
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综合运用
12.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)等于
A. B.- C. D.-
∵cos α+cos β=,
∴2coscos=.
∵α-β=,∴=,
∴cos=.∴cos=,
∴cos(α+β)=2cos2-1=-.
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13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于
A.- B.-
C. D.
√
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因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sincos=×(-2)sinsin,所以tan=.又α∈(0,π),β∈(0,π),所以0<<,所以=,即α-β=.
14.化简:··= .
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tan
原式=··=·
=·==tan.
拓广探究
15.化简:-= .
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原式=
=
===4.
16.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证：cos2A＋cos2B＋cos2C＝.
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由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
所以2sincos=-sin C, ③
2coscos=-cos C. ④
因为当cos=0时,sin C=cos C=0不成立,
所以cos≠0.
③÷④,得tan=tan C.
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所以cos(A+B)===cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-,
所以cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=+[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=+=.5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
[学习目标] 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式.2.了解半角公式的结构形式,并能利用半角公式解决简单的求值问题.(重点)3.掌握两角和、差的正、余弦公式,通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明.(难点)
一、半角公式
问题1 余弦的二倍角展开有几种形式 请写出.
问题2 我们将二倍角的余弦公式中的“2α”换成“α”,你会得到什么式子
知识梳理
半角公式
sin=_______________,
cos=_______________,
tan=_______________.
例1 已知sin α=-,π<α<,求sin ,cos ,tan的值.
反思感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.
(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用tan==,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2=,cos2=计算.
跟踪训练1 已知sin α=-,α∈,则tan= .
二、和差化积、积化和差
知识梳理
1.积化和差
sin αcos β=_______________;
cos αsin β=_______________;
cos αcos β=_______________;
sin αsin β=_______________.
2.和差化积
sin θ+sin φ=_______________;
sin θ-sin φ=_______________;
cos θ+cos φ=_______________;
cos θ-cos φ=_______________.
例2 求sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°的值.
反思感悟 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.
跟踪训练2 求下列各式的值:
(1)cos 29°cos 31°-cos 2°;
(2)cos+cos-2sincos.
三、三角函数式的化简、证明
例3 求证:+=.
反思感悟 三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.
(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
跟踪训练3 化简:2+.
1.知识清单:
(1)半角公式.
(2)积化和差、和差化积.
(3)三角函数式的化简、证明.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:半角公式符号的判断.
1.已知cos α=-,<α<π,则sin等于 ( )
A.- B.
C.- D.
2.已知cos θ=-,-180°<θ<-90°,则cos等于 ( )
A.- B.
C.- D.
3.化简的结果是 ( )
A.-cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.-cos 1
4.化简:= .
答案精析
问题1 三种形式：cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
问题2 cos α=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2.
知识梳理
± ±
±
例1 解 ∵π<α<，sin α=-，
∴cos α=-，且<<，
∴sin==，
cos =-=-，
tan ==-2.
跟踪训练1 -
解析 方法一 因为sin α=-，α∈，
所以cos α=-.
因为α∈，
所以∈，
所以tan<0.
所以tan=-=-.
方法二 因为sin α=-，α∈，
所以cos α=-.
所以tan==
=-=-.
知识梳理
1.[sin(α+β)+sin(α-β)]
[sin(α+β)-sin(α-β)]
[cos(α+β)+cos(α-β)]
-[cos(α+β)-cos(α-β)]
2.2sincos
2cossin
2coscos
-2sinsin
例2 解 方法一 sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=(1-cos 40°)+(1+cos 100°)+[sin 70°+sin(-30°)]
=+(cos 100°-cos 40°+sin 70°)
=+(-2sin 70°sin 30°+sin 70°)
=+(-sin 70°+sin 70°)
=.
方法二 sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°
=(1-cos 40°)+cos 50°(cos 50°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°(sin 40°+sin 20°)
=(1-cos 40°)+cos 50°·2sin 30°·cos 10°
=(1-cos 40°)+cos 50°cos 10°
=(1-cos 40°)+(cos 60°+cos 40°)
=.
方法三 令A=sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°，
B=cos220°+sin250°+cos 20°sin 50°.
则A+B=2+sin 70°，
A-B=-cos 40°+cos 100°+sin(-30°)
=-sin 70°-，
两式相加得2A=，即A=，
故sin220°+cos250°+sin 20°cos 50°
=.
跟踪训练2 解 (1)cos 29°cos 31°-cos 2°
=[cos(29°+31°)+cos(29°-31°)]-cos 2°
=cos 60°+cos(-2°)-cos 2°
=.
(2)cos +cos -2sin cos
=2cos ·cos -cos
=2cos cos -cos
=cos -cos
=0.
例3 证明 方法一 左边=
+
=+=
==右边，
所以原等式成立.
方法二 左边=
=
=
==右边，
所以原等式成立.
跟踪训练3 解 原式
=2+
=2+
=2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
由于π<4<，
∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4+cos 4<0，
∴原式=-2(sin 4+cos 4)-2cos 4
=-2sin 4-4cos 4.
随堂演练
1.D 2.B 3.C 4.tan作业61 简单的三角恒等变换(一)
单选题每小题5分,共40分;多选题每小题6分,共6分
1.下列各式与tan α相等的是 ( )
A. B.
C. D.
2.已知sin α=,cos α=,则tan等于 ( )
A.2- B.2+
C.-2 D.±(-2)
3.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有 ( )
A.c
A.sin+cos B.-cos-sin
C.cos-sin D.sin-cos
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是 ( )
A. B.(0,1)
C. D.
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan的可能取值为 ( )
A. B.1
C.2 D.不存在
7.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°= .
8.(5分)sincos化为和差的结果是 .
9.(10分)化简:+
.
10.(12分)求证:=.
11.sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°的值为 ( )
A.- B.
C. D.-
12.已知α-β=,且cos α+cos β=,则cos(α+β)等于 ( )
A. B.-
C. D.-
13.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于 ( )
A.- B.-
C. D.
14.(5分)化简:··= .
15.(5分)化简:-= .
16.(12分)已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
答案精析
1.D 2.C 3.C 4.D
5.A [直角三角形中两锐角分别为A和B，则A+B=C=，则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B)，再结合A-B∈，可得cos(A-B)∈(0，1]，
∴cos(A-B)∈.]
6.AD [由题意知4sincos=1+2cos2-1，故有2sincos-cos2=0，若2sin-cos=0，
则tan=；若cos=0，
则tan不存在.]
7.
8.[cos(A+B)+sin(A-B)]
解析 sincos
=
=[cos(A+B)+sin(A-B)].
9.解 因为π<α<，
所以<<，
所以cos<0，sin>0，
所以原式=
+
=+
=-+
=-cos .
10.证明 左边=
=
==
=右边，
所以原等式成立.
11.B [sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°
=(sin 90°-sin 50°)-(cos 60°-cos 40°)
=-sin 50°+cos 40°
=-sin 50°+sin 50°=.]
12.D [∵cos α+cos β=，
∴2coscos=.
∵α-β=，∴=，
∴cos=.∴cos=，
∴cos(α+β)=2cos2-1
=-.]
13.D [因为sin α+sin β=(cos β-cos α)，所以2sincos=×(-2)sinsin，
所以tan=.又α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以0<<，所以=，即α-β=.]
14.tan
解析 原式=··
=·
=·
==tan.
15.4
解析 原式=
=
===4.
16.证明 由已知，
得sin A+sin B=-sin C， ①
cos A+cos B=-cos C. ②
所以2sincos=-sin C， ③
2coscos=-cos C. ④
因为当cos=0时，
sin C=cos C=0不成立，
所以cos≠0.
③÷④，得tan=tan C.
所以cos(A+B)===cos 2C.
①2+②2，得2+2cos(A-B)=1，
即cos(A-B)=-，
所以cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=+[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=+
=.
