北京市海淀区 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = ( 1,3]， = { 2, 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. ( 1,3] B. { 1,0,1,2} C. {0,1,2,3} D. { 1,0,1,2,3}
2.下列函数中，既是偶函数，又在(0, +∞)上单调递增的是( )
1
A. ( ) = √ B. ( ) = C. ( ) = 2 D. ( ) = ln| |
3.已知函数 ( ) = 3 + ，在下列区间中，一定包含 ( )零点的区间是( )
A. ( 1,0) B. ( 2, 1) C. (0,1) D. (1,2)
4.某校高一年级有240名男生，200名女生.为了解高一学生研学路线的选择意向，采用分层抽样的方法，从
该校高一学生中抽取容量为 的样本进行调查，其中女生50名，则 的值为( )
A. 120 B. 110 C. 80 D. 60
5.已知 = 14， = log 5， = 2 0.52 ，则实数 ， ， 的大小关系是( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
A. < 2
1 1
B. > C. < D. 2 < 2
7.已知函数 ( ) = + ( > 0)，若 ( ) ≥ 4恒成立，则 的取值可以是( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 5
8.点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量 (单位： )与传播距离
(单位： )的关系式为 = 10 lg( 2) + ，其中 为常数.当传播距离为 1时，衰减量为 1；当传播距离
为 2时，衰减量为 2.若 2 = 2 1，则 2 1约为( )(参考数据： 2 ≈ 0.3)
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
9.设函数 = ( )的定义域为 ，开区间 ，则“ 1 ∈ ， 2 ∈ 且 1 < 2，都有 ( 1) < ( 2)”是“ =
( )在 上是增函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 , ≤ 1
10.已知函数 ( ) = { 2 ，若 ( )在区间( , )上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是 4 , > 1
( )
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A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。
1 1
11.计算：(√ 2)0 + ( )2 = ______．
16
12.已知命题 ：若二次函数 ( )满足 (0) (3) > 0，则 ( )在区间(0,3)内无零点.能说明 为假命题的一个函
数是______．
13.已知 ( ) = 2 2 + 的图象经过点(2 , 1)，则 = ______；若方程 ( ) = 0有两个不等实数根 1， 2，
满足 1 + 2 > 1 2，则实数 的取值范围为______．
14.已知 ( )是定义在[ 4,4]上的奇函数，当 ∈ (0,4]时， ( )的图象如图所示，则
不等式 ( ) ≤ 0的解集为______．
15.函数 ( ) = ln[ 2]，其中[ ]表示不超过 的最大整数.给出下列四个结论：
① ( )的定义域为( ∞, 0) ∪ (0, +∞)；
②方程 ( ) = 1没有实数根；
③函数 ( ) = ( ) 2 的值域为( 2,0]；
1
④存在实数 ，使得当 1， 2 ∈ (0, +∞)且 ( 1) = ( 2) = 时，都有| 1 2| < ． 2025
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知关于 不等式| | ≤ 2的解集 = { |0 ≤ ≤ 4}，集合 = { | 3 ≤ ≤ + 3}．
(Ⅰ)求实数 的值；
(Ⅱ)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数 的取值范围．
条件①：[ 2,4] ( ∪ )；
条件②： ∩ = ．
17.(本小题10分)
某市在旅游旺季时，为应对景区可能出现人流量过大的情况，规定：当人流量达到景区最大承载量的80%时，
将对该景区采取局部限流措施；当人流量达到景区最大承载量的100%时，将对该景区采取完全限流措施.小
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明计划假期去该市甲、乙、丙三个旅游景区旅行，他调查了甲、乙、丙三个旅游景区在去年同期30天的限
流措施情况，见表：
景区限流情况
不限流 局部限流 完全限流
景区累计天数
甲景区累计天数 21天 7天 2天
乙景区累计天数 18天 4天 8天
丙景区累计天数 15天 9天 6天
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三个景区限流情况相互独立．
(Ⅰ)小明某天到甲景区旅游，估计小明遇到完全限流的概率；
(Ⅱ)小明任选两天，分别到乙、丙两景区游览，估计小明在两个景区至少遇到一次限流(包括局部限流和完
全限流)的概率；
(Ⅲ)小明计划在一天内从甲、乙、丙三个景区中选择两个景区，并分别在上午和下午游览.若存在以下两种
情况之一，则不能完成游览：
( )在上午的游览中遇到局部限流，且下午的游览中遇到完全限流；
( )在上午的游览中遇到完全限流．
请帮助小明制定游览计划，使他完成游览的概率最大：上午游览_____景区，下午游览_____景区. (从“甲、
乙、丙”中选择两个填写)
18.(本小题10分)
已知函数 ( ) = + ( ≠ 0)．
(Ⅰ)若 (0) = 0，求 的值；
(Ⅱ)当 = 1时，用函数单调性定义证明 ( )在区间[0, +∞)上是增函数；
(Ⅲ)若 ∈ ， ∈ ， ( ) > 0恒成立，且函数 ( ) = ( )在( ∞, 0)上单调递增，求 的最小值．
19.(本小题10分)
已知非空集合 满足如下三个性质，则称集合 满足性质 ：
① ；
② ， ， ∈ ， + ∈ ；
③ ∈ ，4 ∈ ；
(Ⅰ)判断下列集合是否满足性质 ？
= { | = 4 + 2, ∈ }， = { | = 3 + 1, ∈ }. (只需写出结论)
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(Ⅱ)若集合 满足性质 ，且存在 0 ∈ ，使得 0 ∈ ，求证： ∈ ， ∈ ，都有 ∈ ；
(Ⅲ)若集合 满足性质 ，且{ , , , } ， = 10， = 2025，求所有的符合题意的集合 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
5
11.【答案】
4
12.【答案】 ( ) = ( 2)2
13.【答案】1 { | > 1}
14.【答案】[ 1,1]
15.【答案】②③④
16.【答案】解：(1)由| | ≤ 2，得到 2 ≤ ≤ 2，即 2 ≤ ≤ + 2，
又因为关于 不等式| | ≤ 2的解集 = { |0 ≤ ≤ 4}，
2 = 0
所以{ ，解得 = 2，所以实数 的值为2．
+ 2 = 4
(2)选择条件①，因为 = { |0 ≤ ≤ 4}， = { | 3 ≤ ≤ + 3}，
又[ 2,4] ( ∪ )，由图知，
3 ≤ 2
{ ，解得 3 ≤ ≤ 1．
+ 3 ≥ 0
选择条件②，因为 = { |0 ≤ ≤ 4}， = { | 3 ≤ ≤ + 3}，
又 ∩ = ，即 ，由图知，
3 ≤ 0
{ ，解得1 ≤ ≤ 3．
+ 3 ≥ 4
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17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，由数表知，30天中，甲景区完全限流的天数是2，
2 1
所以小明遇到完全限流的概率为 = ．
30 15
(Ⅱ)根据题意，由数表知，
30天中，乙景区不限流的有18天，丙景区不限流的有15天，
18 3
则乙景区不限流的概率为 1 = = ， 30 5
15 1
丙景区不限流的概率为 2 = = ， 30 2
3 1 7
所以小明在两个景区至少遇到一次限流的概率 = 1 1 2 = 1 × = ． 5 2 10
(Ⅲ)根据题意，分6种情况讨论：
7 8 2 196
若小明上午选甲景区，下午选乙景区能完成游览的概率 1 = 1 ( × + ) = ； 30 30 30 225
7 6 2 133
若小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率 2 = 1 ( × + ) = ； 30 30 30 150
4 2 8 163
若小明上午选乙景区，下午选甲景区能完成游览的概率 3 = 1 ( × + ) = ； 30 30 30 225
4 6 8 159
若小明上午选乙景区，下午选丙景区能完成游览的概率 4 = 1 ( × + ) = ； 30 30 30 225
9 2 6 39
若小明上午选丙景区，下午选甲景区能完成游览的概率 5 = 1 ( × + ) = ； 30 30 30 50
9 8 6 18
若小明上午选丙景区，下午选乙景区能完成游览的概率 6 = 1 ( × + ) = ， 30 30 30 25
而 2最大，即小明上午选甲景区，下午选丙景区能完成游览的概率最大．
18.【答案】解：(Ⅰ)函数 ( ) = + ，由 (0) = 0，得 + 1 = 0，所以 = 1．
(Ⅱ)证明：当 = 1时， ( ) = + ，任取 1， 2 ∈ [0, +∞)， 1 < 2，
则 ( ) ( ) = 1 + 1 2 2 = 1 2 1 2 ( 1 2) = ( 11 2
2)(1
1 2)，
由0 ≤ < ，得 1 < 21 2 ,
1 2 < 1，则( 1 2)(1 1 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在区间[0, +∞)上是增函数．
(Ⅲ)不等式 ( ) > 0 + > 0 > 2 ，依题意， ∈ ， > 2 恒成立，
而 ∈ ，恒有 2 < 0，则 ≥ 0，又 ≠ 0， ∈ ，因此 ≥ 1，
任取 1， 2 ∈ ( ∞, 0)， 1 < 2， ( 1) ( ) =
1 + 12
2 2
= 1 2 1 2 ( 1 2) = ( 1 2)(1 1 2)，
由 < 1 2 1 21 2 < 0，得 < , > 1，
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而 ≥ 1，则( 1 2)(1 1 2) > 0，即 ( 1) > ( 2) > 0，
又 1 > 2 > 0，于是 1 ( 1) > 2 ( 2)，
则 1 ( 1) < 2 ( 2)，即 ( 1) < ( 2)，
因此函数 ( ) = ( )在( ∞, 0)上单调递增，
所以 的最小值是1．
19.【答案】解：(Ⅰ)集合 不具有性质 ，集合 具有性质 ，理由如下：
对集合 ，当 = 1， = 6，但4 = 24，
11
令4 + 2 = 24，解得 = ，则集合 不具有性质 ；
2
对于集合 = { | = 3 + 1, ∈ }，显然 ，满足条件①，
对于条件②，不妨设 = 3 1 + 1， 1 ∈ ， = 3 2 + 1， 2 ∈ ， = 3 3 + 1， 3 ∈ ，
则 + = 3( 1 + 2 3) + 3 = 3( 1 + 2 3 + 1) ∈ ，其中 1， 2， 3 ∈ ，满足条件②，
对于条件③，设 = 3 4 + 1， 4 ∈ ，
则4 = 4(3 4 + 1) = 3(4 4 + 1) + 1 ∈ ，其中 4 ∈ ，则集合 具有性质 ，
综上集合 不具有性质 ，集合 具有性质 ；
(Ⅱ)证明：因为 0， 0 ∈ ，
所以4 0 ∈ ， 0 + 0 4 0 = 2 0 ∈ ，( 0) + ( 0) ( 2 0) = 0 ∈ ．
所以对 ， ∈ ，有 + 0 = + ∈ ，0 + 0 = ∈ ．
若 = 0， = 0 ∈ ；
若 > 0， = + + + 个 ∈ ；
若 < 0， = ( )( ) ∈ ．
综上， ∈ ， ∈ ，都有 ∈ ；
(Ⅲ) = 或 = { | = 5 , ∈ }，理由如下：
对 ∈ ，有 + = + 10 ∈ ，
所以 + 202 × 10 = + 2020 ∈ ，
( + 2020) + = + 2020 2025 = 5 ∈ ，
所以( 5) + 10 = + 5 ∈ ．
所以 ∈ ， ∈ {0,1,2,3,4}，
若5 + ∈ ，则 ∈ ；
若 ∈ ，则5 + ∈ ．
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令 = {0,1,2,3,4}，则 ∩ ≠ ．
若1 ∈ ，则4 ∈ ，4 5 = 1 ∈ ，
由(2)中结论知对 ∈ ，都有 ∈ ，所以 = ．
若2 ∈ ，则8 ∈ ，2 + 2 8 = 4 ∈ ， 4 + 5 = 1 ∈ ，所以 = ．
若3 ∈ ，则3 × 4 = 12 ∈ ，12 10 = 2 ∈ ，所以 = ．
若4 ∈ ，4 × 4 = 16 ∈ ，16 5 5 5 = 1 ∈ ， = ．
若1，2，3，4 ，0 ∈ ，
∈ ，5 ∈ ，5 + 1，5 + 2，5 + 3，5 + 4 ，
所以 = { | = 5 , ∈ }．
综上， = 或 = { | = 5 , ∈ }．
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