2024-2025学年教科版（2019）选择性必修第一册 2.2简谐运动的回复力及能量 课时过关练（含解析）
一、单选题
1．卡车在行驶时，货物随车厢底板上下振动而不脱离底板.设货物做简谐运动，以竖直向上为正方向，货物的振动图像如图所示，则在图像上四点中，货物对车厢底板压力最小的是( )
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
2．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在光滑水平面上的A、B两点之间做简谐运动，A、B为分居O点左右两侧的对称点。取水平向右为正方向，物体的位移x随时间t变化的正弦曲线如图乙所示，下列说法正确的是( )
A.时，物体在O点右侧6cm处
B.物体在和时的速度相同
C.时，物体的加速度方向水平向右
D.到的时间内，物体的加速度和速度都逐渐增大
3．一列质量为m（分布均匀）、长为l的玩具小火车从平面上以速度依靠惯性冲上一个倾角为的固定斜面，假设水平面和斜面连接处不损耗能量，不计一切摩擦。则关于玩具小火车爬坡的过程（以水平面为零势面），下列说法正确的是( )
A.火车头在斜面上一直做匀减速运动
B.若在斜面上的车厢长度为时，则小车的重力势能为
C.若在斜面上的车厢长度为时，则小车的速度为
D.从火车头接触斜面到火车速度为零所经历的时间可能为
4．如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A.时间内，物体A的速度与加速度方向相反
B.物体A在任意一个1.25s内通过的路程均为50cm
C.物体A的振动方程为
D.物体B对水平面的最大压力为6mg
二、多选题
5．如图（a）所示，下端附有重物的粗细均匀木棒浮在水中，将木棒向下按压一段距离后释放，木棒与重物组成的系统所受的浮力F随时间周期性变化，如图（b）所示，忽略空气及水的阻力，下列说法正确的是( )
A.木棒与重物组成的系统做简谐运动，重力提供回复力
B.0~0.25 s内木棒与重物组成的系统的加速度逐渐减小
C.木棒和重物的重力之和等于
D.木棒与重物组成的系统所受合外力与偏离受力平衡位置的距离成正比
6．在水平方向做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，最大速率为v，则下列说法中正确的是( )
A.从某时刻起，在半个周期内，弹力做功一定为零
B.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功可能是0到之间的某一个值
C.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量一定为零
D.从某时刻起，在半个周期内，弹力的冲量大小可能是0到2mv之间的某一个值
7．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的托盘，处于静止状态。现将一质量为m的粘性小球自距盘面高度为h处无初速释放，与盘发生碰撞后未反弹，碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度为g，运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。下列说法中正确的是( )
A.小球与盘运动的最大速度为
B.小球与盘碰后向下运动距离时，盘的速度达到最大
C.小球与盘向上运动过程中，弹簧的弹性势能一直减小
D.当小球与盘的加速度向上且大小为时，其速度大小为
三、计算题
8．简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。
（1）如图1所示，将两个劲度系数分别为和的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动。请你结合回复力的知识证明，小球所做的运动是简谐运动。
（2）做简谐运动的质点，其运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系可以表示为，其中为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，c为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。将图1中质量为m的小球视为质点，两个轻质弹簧的劲度系数分别为和，小球通过平衡位置O时的速度大小为。设小球振动位移为x时的速度为v，请你应用能量的知识证明小球的运动满足的关系，并说明常数c与哪些物理量有关。
（提示：弹簧的弹性势能可以表达为，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量）
（3）如图2所示，一质点以大小为的线速度绕O点做匀速圆周运动，半径为，请根据运动学知识以并结合第（2）问中的信息分析证明：做匀速圆周运动的质点在圆的直径上的分运动是简谐运动。
9．如图所示，光滑水平地面两端有竖直墙壁，左侧墙壁上固定一水平轻质弹簧，弹簧另一侧拴接一可视为质点的物块A，另有一可视为质点的物块B轻靠在A的右边，B的质量为A质量的2.5倍。初始状态下弹簧处于自由伸长的状态，此时A、B所在位置记为O点，O点与右侧墙壁间的距离。现将A、B向左移动一段距离后自由释放，A在经过O点之后恰好完成一次全振动时与B第一次相碰，已知所有碰撞均为弹性碰撞，弹簧振子的周期公式为，弹簧的弹性势能为，m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，求：
（1）A、B向左移动的距离；
（2）从A、B分离到A、B第一次碰撞的过程中，A到两者第一次分离点的最大距离；
（3）从A、B第一次碰撞到A、B第二次碰撞的过程中，A到两者第一次分离点的最大距离；
（4）画出从A、B第一次碰撞到第二次碰撞的过程中两者的位移时间图像，并标出第二次相碰的时刻。
参考答案
1．答案：B
解析：由题图可知，在a点和c点，货物的位移为零，加速度为零，货物对车厢底板的压力大小等于货物的重力；在b点，加速度方向向下，货物处于失重状态，货物对车厢底板的压力大小小于货物的重力；在d点，货物的位移为负向最大，则货物的加速度为正向最大，即加速度向上，处于超重状态，则货物对车厢底板的压力大于重力.故选B.
2．答案：C
解析：A.由图象乙知，振子的振动方程为
时，解得
故A错误；
B.由图象乙知，振子和图象斜率大小相同，但正负不同，所以速度方向相反，故速度不同，故B错误；
C.根据该振子的运动规律可知时振子在A点，则加速度方向水平向右，故C正确；
D.在到的时间内，振子的位移减小，则速度增加，加速度减小，故D错误。
故选C。
3．答案：D
解析：AD.取沿斜面向上为正方向，当列车冲上斜坡的长度为时，列车所受合外力
由此可知，列车做的是简谐振动，其周期为
若列车不能全部冲上斜面，则可知列车速度减为零的时间为
故A错误，D正确；
BC.根据题意可知，火车在斜面上的质量为
斜面上的火车其重心位置为
此刻火车具有的重力势能为
而根据动能定理有
联立解得
故BC错误。
故选D。
4．答案：D
解析：A.的时间内，物体A由负的最大位移向平衡位置运动，回复力指向平衡位置，即物体A的速度与加速度方向均沿y轴正方向，故A错误；
B.物体A由特殊位置（平衡位置或最大位移处）开始计时，在任意一个内，质点通过的路程等于振幅的5倍，除此外在1.25s的时间内通过的路程不等于振幅的5倍，故B错误；
C.由图乙可知振幅为
周期为
圆频率为
规定向上为正方向，时刻位移为0.05m，表示振子由平衡位置上方0.05m处开始运动，所以初相为
则振子的振动方程为
单位错误，故C错误；
D.由物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为
对于物体A有
解得
当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点时加速度向上，且大小等于1.5g，由牛顿第二定律得
解得
由物体B的受力可知，物体B对水平面的最大压力为
故D正确。
故选D。
5．答案：BD
解析：由题图（b）可知，木棒与重物组成的系统始终受浮力作用，说明木棒与重物组成的系统始终未脱离水面，设受力平衡时木棒在水下的长度为L，根据平衡条件有，设木棒释放后某时刻距受力平衡位置x，以向下为正方向，系统所受的力，可知木棒与重物组成的系统所受合外力大小与偏离受力平衡位置的距离成正比，即木棒与重物组成的系统做简谐运动，回复力是水的浮力与系统重力的合力，故A错误，D正确；0~0.25 s内木棒与重物组成的系统所受的浮力减小，则木棒与重物组成的系统从最低点向平衡位置运动，其所受合外力逐渐减小，加速度逐渐减小，故B正确；根据简谐运动的特点可知，木棒和重物在最高点和最低点的加速度大小相等，则在最低点有，在最高点有，联立可得，故C错误.
6．答案：AD
解析：振子在水平方向做简谐运动，系统机械能守恒，从某时刻起经过半个周期，振子的速度大小一定相等，系统动能不变，则弹簧的弹性势能不变，所以弹力做功一定为零，故A正确，B错误；对于简谐运动，从某时刻起，经过半个周期后速度与该时刻速度大小相等、方向相反，若初速度为，则末速度为，故速度变化量为，若开始时振子在最大位移处，初速度为0，末速度也为0，其速度变化量为0，根据动量定理可知，弹力的冲量，又振子的最大速率为v，所以弹力的冲量大小可能是间的某一个值，故C错误，D正确.
7．答案：BD
解析：A.对小球下落h的过程应用动能定理
解得与盘碰撞前小球速度为
小球与盘碰撞过程动量守恒
解得碰后瞬间二者速度为
碰后小球与盘的重力大于弹簧弹力，二者将继续向下做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零，弹力与二者重力相等时，速度达到最大，故最大速度大于，A错误；
B.设初始时刻弹簧形变量为，速度最大时弹簧形变量为，则有
下落距离为
联立可得
B正确；
C.碰后小球与盘做简谐运动，由题中信息无法判断简谐运动最高点时弹簧的形变状态，弹簧可能处于伸长状态，也可能处于压缩状态，故小球与盘向上运动过程中，弹簧的弹性势能不一定一直减小，C错误；
D.碰后瞬间，对小球与盘整体应用牛顿第二定律，有
解得
方向向下。由简谐运动对称性可知，当小球与盘的加速度向上且大小为时，小球速度大小为，D正确。
故选BD。
8．答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
解析：（1）设小球偏离平衡位置的位移为x，则
即回复力的方向与偏离平衡位置的位移方向相反，但回复力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，说明小球做简谐运动；
（2）由弹簧和小球组成的系统机械能守恒，即
化简可得
即c与小球的质量，两个弹簧的劲度系数有关；
（3）当质点水平方向的位移为x时，设质点速度与x轴之间的夹角为θ，将质点的速度沿x轴方向与y轴方向分解如图所示
由图可得
根据合速度与分速度的关系可知
整理可得
说明匀速圆周运动的质点在x方向（即圆的直径方向）上的分运动是简谐运动。
9．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）对A、B整体分析，根据能量守恒有
又
根据题意有
联立解得
（2）对A分析，根据能量守恒有
解得
根据题意有
（3）A、B碰撞过程，取向右为正方向，根据动量守恒有
根据机械能守恒有
联立解得
，
对A分析，根据能量守恒有
解得
根据题意有
（4）取向右为正方向，A的运动方程为
B的运动方程为
当时，B的位移为
故图像为
第一个交点即为第二次相遇的时刻。
