2022-2023学年鲁教五四新版八年级下册数学期中练习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．已知一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，若一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0有两个相等的实数根，则（ ）
A．a（x1﹣x2）＝d B．a（x2﹣x1）＝d
C．a（x1﹣x2）2＝d D．a（x2﹣x1）2＝d
2．实数m、n在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ）
A．﹣m B．m C．2n﹣m D．m﹣2n
3．化简的结果是（ ）
A．﹣9 B．9 C．3 D．
4．若ab≠0，则＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
5．若＝0，则（a+b）2011的值是（ ）
A．﹣2011 B．2011 C．﹣1 D．1
6．用配方法解方程x2﹣2x﹣7＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝8
7．当a＜0时，化简a 的结果是（ ）
A．﹣4a B．4a C．﹣4a2 D．4a2
8．将一副三角板按如图叠放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一个角为30°的直角三角形，则△AOB与△DCO的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法：①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC和BD交于点O，记S△AOD为S1，S△AOB为S2，S△BOC为S3，则下列关于比例中项的描述正确的是（ ）
A．S2是S1和S3的比例中项 B．S1是S2和S3的比例中项
C．S3是S1和S2的比例中项 D．不存在比例中项
11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF＝2：3，则下列结论不正确的是（ ）
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2：3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9
12．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．若，则＝ ．
14．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝ ．
15．将四个数a、b、c、d排列成二行二列，两边各加一条竖直线，记成，定义＝ab﹣cd，若＝6，则x＝ ．
16．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m2，则该市两年内住房平均增长率必须达到 %．（＝3.162，＝3.317，精确到1%）
17．如图，在 ABCD中，E是AD的中点，BE交AC于点F，若△AEF的面积为3，则四边形EFCD的面积是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，定义：直线y＝kx+b的伴随点为（k，b）．例如直线y＝3x的伴随点为（3，0）．特别的，直线y＝b的伴随点为（0，b）．如图，平面上的三条直线l1：y＝2x，l2：y＝4，l3：y＝kx（k＜﹣1）两两相交且不交于同一点．三个交点分别为A，B，C，且l1，l2，l3各自的伴随点分别为A'，B'，C'，若△ABC与△A'B'C'相似，则k的值为 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）计算：
（1）.；
；
；
．
20．（8分）按要求解下列方程．
（1）x2﹣6x﹣18＝0（配方法）；
（2）x2+2x﹣5＝0（公式法）．
21．（8分）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5，把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的积是736，求原来的两位数．
22．（10分）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F在AB上，∠ECF＝45°．
（1）求证：△ACF∽△BEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF BE＝2S．
23．（10分）如图，DEFG为△ABC的内接矩形，∠A＝90°，D在AB上，G在AC上，EF在斜边BC上，AB＝3，AC＝4．
（1）当矩形DEFG周长为时，求BE，FC的长．
（2）当S△DEB+S△GFC＝时，求矩形DEFG的周长．
24．（10分）如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F．求证：
（1）△ABD≌△BCE；
（2）△AEF∽△BEA．
25．（12分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．
（1）当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图1，＝ ．
（2）①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图2位置时，＝ ．
②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图3的情形写出解答过程．
（3）如图3连结EF，当BD＝ 时，△DEF与△ABC相似．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：∵关于x的一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0与关于x的一元一次方程dx+e＝0有一个公共解x＝x1，
∴x＝x1是方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0的一个解．
∵一元二次方程a（x﹣x1）（x﹣x2）+（dx+e）＝0，
∴ax2﹣（ax1+ax2﹣d）x+ax1x2+e＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴x1+x1＝﹣，
整理得：d＝a（x2﹣x1）．
故选：B．
2．解：根据数轴可知，
m＜0，n＞0，
∴原式＝﹣（m﹣n）﹣n＝﹣m+n﹣n＝﹣m．
故选：A．
3．解：原式＝＝9，
故选：B．
4．解：∵ab≠0，
∴＝＝±1．
故选：D．
5．解：∵＝0，
∴，
解得．
∴（a+b）2011＝（2﹣3）2011＝﹣1．
故选：C．
6．解：方程变形得：x2﹣2x＝7，
配方得：x2﹣2x+1＝8，即（x﹣1）2＝8，
故选：C．
7．解：∵当a＜0时，
∴a
＝a
＝a （﹣4a）
＝﹣4a2．
故选：C．
8．解：设BC＝a，则AB＝BC＝a，CD＝a
∴AB：CD＝1：
∵AB∥CD
∴△AOB∽△COD
∴AB：CD＝1：
∴△AOB与△DCO的面积之比为1：3
故选：C．
9．解：①中等腰三角形角不确定，所以①错；
②中有一个底角相等即所有角都对应相等，②对；
③中可能是以底角和一顶角相等，所以③错；
④中两个角对应相等，所以相似，④对
故选：A．
10．解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝（）2，
∵＝，
∴＝（）2，
∴S22＝S1 S3，
即S2是S1和S3的比例中项．
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形；
A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确；
B、AD与AG是对应边，故AD：AE＝2：3；故错误；
C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确；
D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确．
故选：B．
12．解：∵AD∥BC
∴
∵CD∥BE
∴△CDF∽△EBC
∴，
∴
∵AD∥BC
∴△AEF∽△EBC
∴
∴D错误．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：根据题意，设x＝3k，y＝4k，
∴原式＝＝．
14．解：根据题意可得，
解得：a＝5、b＝，
则a+b＝，
故答案为：．
15．解：根据题意，得
（x+1）（x﹣1）﹣（1﹣x）（x+1）＝6，即x2＝4，
直接开平方，得
x＝±2，
故答案是：±2．
16．解：设该市两年内住房平均增长率必须达到x，由题意得200000×9×（1+x）2＝220000×10
解方程得x1≈0.11，x2＝﹣1﹣（舍去）
所以该市两年内住房平均增长率必须达到11%．
17．解：连接EC，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝＝，
∵△AEF的面积为3，
∴S△EFC＝2S△AEF＝6，
∴S△AEC＝9，
∵AE＝ED，
∴S△AEC＝S△EDC＝9，
∴四边形EFCD的面积＝S△ACD﹣S△AEF＝18﹣3＝15，
故答案为：15．
18．解：直线y＝2x的伴随点为（2，0），直线y＝4的伴随点为（0，4），直线y＝kx的伴随点为（k，0），
∴A′（2，0），B′（0，4），C′（k，0），
∴tan∠CAO＝2，A′B′＝2，A′C′＝2﹣k，
∵由三条直线l1：y＝2x，l2：y＝4，l3：y＝kx（k＜﹣1）两两相交，交点分别为A，B，C，
∴A（2，4），B（0，0），C（，4），
∴tan∠B′A′O＝2，AB＝2，AC＝2﹣，
∴∠CAO＝∠B′A′O，
若△ABC与△A'B'C'相似，则有以下两种情况：
①∠ACB＝∠A′C′B′，则△ACB∽△A′C′B′，
∴AC：A′C′＝AB：A′B′，即（2﹣）：（2﹣k）＝2：2，
k＝2（舍去）或k＝﹣2；
②∠ACB＝∠A′B′C′，则△ACB∽△A′B′C′，
∴AC：A′B′＝AB：A′C′，即（2﹣）：2＝2：（2﹣k），
解得，k＝﹣3﹣或k＝﹣3+（舍），
故答案为：﹣3﹣或﹣2．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）原式＝3﹣2+
＝2；
（2）原式＝2a﹣a+2a
＝3a；
（3）原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+；
（4）原式＝12﹣1﹣（1﹣4+12）
＝12﹣1﹣1+4﹣12
＝﹣2+4．
20．解：（1）x2﹣6x＝18，
x2﹣6x+32＝32+18，
∴（x﹣3）2＝27，
∴x﹣3＝±3，
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；
（2）∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣5）＝24，
∴x＝＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
21．解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（5﹣x），
根据题意得：（10x+5﹣x）[10（5﹣x）+x]＝736，
整理，得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
∴5﹣x＝3或2．
答：原来的两位数为23或32．
22．证明：（1）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠ECF＝45°，∴∠ECF＝∠B＝45°，
∴∠ECF+∠1＝∠B+∠1
∵∠BCE＝∠ECF+∠1，∠2＝∠B+∠1；
∴∠BCE＝∠2
∵∠A＝∠B，∠BCE＝∠2，
∴△ACF∽△BEC．
（2）∵△ACF∽△BEC
∴＝，即AC BC＝BE AF，
∴△ABC的面积：S＝AC BC＝BE AF
∴AF BE＝2S．
23．解：∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∴△ABC三边的比是：AB：AC：BC＝3：4：5，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DE＝GF，DG∥BC，∠DEF＝∠GFC＝∠BED＝∠GFE＝90°，
∴∠AGD＝∠C，∠ADG＝∠B，
∴△ADG∽△BDE∽△CGF∽△ABC，
∴△BDE与△CGF与△ADG的相似比都等于3：4：5，
（1）设AD＝3x，BD＝5y，则DG＝5x，DE＝4y，BE＝3y，GF＝DE＝4y，CF＝y，
∴，解得：x＝y＝，
∴BE＝3y＝，CF＝y＝2；
（2）∵AB＝3，
设AD＝3x，BD＝5y，则DG＝5x，DE＝4y，BE＝3y，
∴，
解得：，
∴矩形DEFG的周长＝2（5x+4y）＝2×（5×+4×）＝．
24．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠EAF＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA．
25．解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∵点D是BC的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝3，DF＝AB＝1，
∴＝3，
故答案为：3；
（2）①过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，如图2所示：
则∠DME＝∠DNF＝∠A＝90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴∠MDN＝90°，
即∠MDE+∠EDN＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
即∠EDN+∠NDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∴△DME∽△DNF，
∴＝，
同（1）得：＝3，
∴＝3，
故答案为：3；
②过点P作DP⊥AB于点P，DQ⊥AC于点Q，如图3所示：
∴∠DPA＝∠DQA＝∠A＝90°，
∴四边形APDQ是矩形，
∴DP＝AQ，DQ＝AP，DP∥AC，DQ∥AB，
∵＝，
∴＝，＝，
∵DQ∥AB，DP∥AC，
∴△DQC∽△BAC，△DPB∽△CAB，
∴＝，＝，
∴DQ＝ AB＝，DP＝ AC＝，
与①同理得：△DPE∽△DQF，
∴＝＝＝；
（3）如图3﹣1，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵∠EDF＝∠A＝90°，
∴△DEF与△ABC相似分两种情况：
①△DEF∽△ACB，则＝，
即＝，
整理得：m＝n，
∴CD＝BD，
∴BD＝BC＝×2＝；
②△DEF∽△ABC，则＝，
即＝，
整理得：m＝9n，
∴CD＝9BD，
∴BD＝BC＝；
综上所述，当BD＝或时，△DEF与△ABC相似；
故答案为：或．
