永春市重点中学2022-2023学年高一下学期3月月考检测
数学科试卷（2023.3）
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A. B. C. D.
2. 已知角的终边过点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知,为不共线向量，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
4. 若复数(a∈R)的共轭复数的实部和虚部相等，则实数a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．
5. 已知的点满足,点为边上离最近的一个四等分点,若存在一个实数,使得成立,则等于( )
A. B. C. D.
6. 在三角形ABC中，已知AB＝2，AC＝1，，，，若CD与BE交于O点，则AO的长为（ ）
A． B． C． D．
7. 在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8. 已知，，，，满足，，，有以下个结论：
存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；
存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数．
下列说法正确的是( )
A. 结论不成立、成立 B. 结论成立、不成立
C. 结论、都成立 D. 结论、都不成立
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到如图所示的函数的部分图象，则关于函数的说法，正确的是（ ）
A. 最小正周期为 B. 图象关于点对称
C. 图象关于直线对称 D. 在区间上的值域为
10. 下列说法正确的是( )
A. 已知平面上的任意两个向量，，不等式成立
B. 若同一平面上的三点,,不共线,且，则与的夹角为钝角
C. 已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为
D. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为
11. 下列说法正确的是（ ）
A．向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件
B．若，则存在唯一实数使得
C．已知，则与的夹角为锐角的充要条件是
D．在△ABC中，D为BC的中点，若，则是在上的投影向量
12. 已知函数，下列说法正确的有( )
A. 的一个周期是
B. 的对称中心是，
C. 在上的最大值是
D. 在内的所有零点之和为
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数在单调递增，在单调递减，则的值为____ ．
14. 某游轮在处看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，游轮由向正北方向航行到处时再看灯塔在南偏东，则与的距离为_________海里 ．
15. 用表示不超过实数的最大整数，譬如：，则方程的解为___________________．
16. 已知的面积为3，，为所在平面内异于点的两个不同的点，若且，其中，则的面积为______ ．
四、解答题（第17题10分，第18—22题每题12分，共6小题70分）
17. 本小题分)已知为虚数单位,复数满足,
(1)求.
(2)在复平面内,为坐标原点,向量,对应的复数分别是,,若是直角,求实数的值.
18. 本小题分已知向量，，其中，且．
求和的值；
若，且，求角．
19. 本小题分已知函数，角的终边经过点若是的图象上任意两点，且当时，的最小值为．
求的值；
求函数在上的单调递减区间；
当时，不等式恒成立，求的最大值。
20. 本小题分已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且
求的大小；
求的取值范围．
21. 本小题分 如图,在矩形中,点在边上,且是线段上一动点.
(1)若是线段的中点,,求的值;
(2)若,,求的最小值.
22. 本小题分为提升城市旅游景观面貌，城建部门拟对一公园进行改造，已知原公园是直径为百米的半圆，出入口在圆心处，点为一居民小区，距离为百米，按照设计要求，取圆弧上一点，并以线段为一边向圆外作等边三角形，使改造之后的公园成四边形，并将区域建成免费开放的植物园，如图所示．设．
当，求四边形的面积；
当为何值时，线段最长并求最长值．
数学科试卷（2023.3）
参考答案
单选题： BCAD BBBA
8．解：，即，，的取值相互影响，
不存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数，不成立；
，
则有，，
当时，为常数，则为常数，
即存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数，成立．故选：
二、多选题：9. CD 10. BCD 11. ACD 12. BD
12.意，下面对各选项进行分析：
对，，
所以的周期不是，故A错误；
对，计算得到
，所以关于点对称，故B正确；
对，故C错误；
对，得或，结合图象知零点之和为．
三、填空题：13. 14. 15.， 16.3
15. 解：，，
，
当时，，即，此时无意义；
当时， ，可得；
当时，，此时，与假设矛盾，
则所求方程的解为，．
故答案为，
16. 解：因为，所以，即
因为，所以
所以，所以，
因为，所以，所以，
，
因为的面积为3，所以，
，
所以的面积是3
17.解：(1)设,
由, 得,
∴,解得.
∴.
(2)由题意,的坐标分别为,
∴,,
∵是直角,∴,即.
18. 解：，，，
，，
，；
，，
，，
，
，．
19. 解：由，得，
由且的最大值最小值分别为，，
可知，分别是函数的最大值和最小值，
又因的最小值为，
得的最小正周期的一半，，可得，
所以；
由，得，
又，所以函数的单调递减区间为和
由，则，
又由不等式得到，
得，解得，
所以的最大值为．
20. 解：因为，
由正弦定理有，即有分
由余弦定理得，又为锐角，分
由题，
分
又在锐角中，有，分
所以，
所以，
的取值范围是．分
21. 解:(1)因为是线段的中点,,
所以
,
因为与不共线,所以,, 则.
(2)在矩形中,,,
所以
.
因为,,
所以, 解得,即.
在中,,,则.
因为,所以
.
设,.
所以
,.
因此当且仅当时,有最小值,
从而的最小值为.
22. 解：在中，由余弦定理可得
，
于是四边形的面积为
平方百米．
在中，由余弦定理可得
，
，
在中，由正弦定理得：，即，
又，所以为锐角，，
，
在中，由余弦定理可得
，
，当时，的最大值为百米．
