北京市西城区2022-2023学年高三下学期一模考试
数 学 2023.3
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，在区间上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
（3）设，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（4）在的展开式中，的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知为所在平面内一点，，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）函数是
（A）奇函数，且最小值为 （B）奇函数，且最大值为
（C）偶函数，且最小值为 （D）偶函数，且最大值为
（7）已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的 一条渐近线为”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及 火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为 ，则下列各数中与最接近的是 （参考数据：）
（A） （B）
（C） （D）
（9）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数，则____．
（12）已知抛物线的顶点为，且过点．若是边长为的等边
三角形，则____．
（13）已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列
的前项和为，则____；的最小值为____．
（14）设，其中．当时，____；
当时，的一个取值为____．
（15）如图，在棱长为的正方体中，点,分别在线段和上．
给出下列四个结论：
① 的最小值为；
② 四面体的体积为；
③ 有且仅有一条直线与垂直；
④ 存在点,，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在中，，，平分交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的面积．
（17）（本小题13分）
根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好 ~ ~
及格 ~ ~
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到）：
男生：
女生：
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题：
（Ⅰ）求证：为的中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，证明：在上单调递增；
（Ⅲ）判断与的大小关系，并加以证明．
（20）（本小题15分）
已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点．
（Ⅰ）当直线与轴垂直时，求直线的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．
（21）（本小题15分）
给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．
设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
（Ⅰ）判断集合是否具有性质？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
（Ⅲ）若集合具有性质，证明：．
数学答案及评分参考 2023.3
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A
（ 6 ）C （ 7 ）D （ 8 ）B （ 9 ）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） （答案不唯一）
（15）①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在中，由正弦定理得． ………2分
所以． ………4分
因为， ………5分
所以． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………7分
由题设，，即为等腰三角形． ………8分
所以． ………10分
所以的面积为
． ………13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为； ………2分
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为． ………4分
（Ⅱ）由题设，的所有可能取值为．
估计为； ………5分
估计为； ………6分
估计为； ………7分
估计为． ………8分
估计的数学期望． ………10分
（Ⅲ）与相互独立． ………13分
（18）（共14分）
解：选条件①：．
（Ⅰ）因为，平面，
所以平面． ………1分
因为平面平面，
所以． ………2分
又， 所以四边形为平行四边形．
所以且． ………3分
因为且，所以且．
所以为的中位线． ………5分
所以为的中点． ………6分
（Ⅱ）因为平面，所以．
又，所以两两相互垂直．
如图建立空间直角坐标系， ………7分
则，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则 即
令，则，．于是． ………9分
因为平面，且，所以平面．
所以．
又，且为的中点，所以．
所以平面，所以是平面的一个法向量． ………11分
． ………13分
由题设，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为． ………14分
选条件②：．
（Ⅰ）因为平面，所以．
在中，． ………1分
在直角梯形中，
由，，可求得，所以． ………2分
因为，所以为的中点． ………3分
因为，平面， 所以平面．
因为平面平面，所以． ………5分
所以．
所以为的中点． ………6分
（Ⅱ）以下同条件①．
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）． ………1分
所以，． ………3分
所以曲线在点处的切线方程为． ………4分
（Ⅱ）由题设，
．
所以． ………6分
当时，因为，
所以． ………8分
所以在上单调递增． ………9分
（Ⅲ）． ………10分
证明如下：
设． ………11分
则． ………12分
由（Ⅱ）知在上单调递增，
所以． ………13分
所以，即在上单调递增． ………14分
所以，即． ………15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当直线与轴垂直时，设其方程为． ………1分
由点,关于轴对称，且，不妨设． ………2分
将点的坐标代入椭圆的方程，得，解得．………3分
所以直线的方程为． ………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，由（Ⅰ）知． ………5分
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由 得． ………6分
由，得．
设，，则，． ………8分
因为，所以．
所以．
整理得． ………10分
所以．
解得，从而． ………11分
设，其中．
则． ………12分
将代入椭圆的方程，得．
所以，即． ………13分
因为，所以，即． ………14分
综上，的取值范围是． ………15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）因为，同理．
又，同理．
所以集合具有性质． ………4分
（Ⅱ）当时，集合中的元素个数为．由题设． ………5分
假设集合具有性质，则
①当时，，矛盾．
②当时，，不具有性质，矛盾．
③当时，．
因为和至多一个在中；和至多一个在中；
和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾．
④当时，，不具有性质，矛盾．
⑤当时，，矛盾．
综上，不存在具有性质的集合． ………9分
（Ⅲ）记，则．
若，则，矛盾．若，则，矛盾．故．
假设存在使得，不妨设，即．
当时，有或成立．
所以中分量为的个数至多有．…11分
当时，不妨设．
因为，所以的各分量有个，不妨设．
由时，可知，，中至多有个，
即的前个分量中，至多含有个．
又，则的前个分量中，含有
个，矛盾．
所以． ………14分
因为，
所以．
所以． ………15分
2
