曹县高二下学期3月月考数学试题 2023.3
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）.
1. 曹县一中南门停车场某处并排连续有 6 个停车位，现有三辆汽车需要停放，为了方便司机上下
车，规定：任何两辆汽车都不得相邻停放，则不同的停车方法有（ ）
A．14 B． 20 C． 24 D． 48
2. 用数字 0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有 ( )
A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个
1
3 2．函数 y x ln x的单调递减区间为（ ）
2
A． 1,1 B． 0,1 C． 1, D． 0,
4．已知函数 f x xlnx lnx x 1, f x 是 f x 的导函数，则函数 f x 的零点个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
a ln 5 b 1 ln45．设 ， ， c ，则 a，b， c的大小顺序为（）
5 e 4
A． a c b B． c a b C．a b c D．b a c
6 陈老师和三岁的女儿一起玩“贴数字”游戏，游戏道具是标有数字 1，2，3，4的四张卡片和标
有数字 1，2，3，4的四个格子，游戏规则要求把四张卡片分别贴到四个格子里，且对应的数字
不得相同.女儿年龄太小没有听懂规则，把标号“1”的卡片随意贴到了一个格子里，随后陈老师按
照规则将剩余的三张卡片贴到格子里完成游戏，则这次“贴数字”游戏一共有 种不同的结果？( )
A. 6 B. 9 C. 11 D. 12
7. f x 2e2x 3x函数 e 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
ln x, x 0
8. 已知函数 f (x) x0 R， f ( x0) f (x0 )，则实数 k的取值范围是（ ）
kx, x 0
1
,1 , 1 1, 1A. B. C. D. ,
e e
二、多选题。本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的的 0 分．
9 下列说法正确的是 ( )
A. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 81种报名方法
B. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有 24种报名
方法
C. 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 64种可能的结果
D. 从 0，2中选一个数字，从 1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个
数为 12个
10．如图，y f (x)是可导函数，直线 l：y kx 2是曲线 y f (x)在 x 3
处的切线，令 g(x) xf (x)，其中 g (x)是 g(x)的导函数，则( )
A． f (3) 1 B． f (3) 1
C． g(3) 3 D． g (3) 0
11.下列判断正确的为( )
A. 从 4名男同学和 3名女同学中选出 2人，则至少有 1名女同学的选法有 12种
B. 如果一个三位正整数如“ 1 2 3”满足 1 > 2，且 2 < 3，则称这样的三位数为凹数(如 101，
323)，那么由 0，1，2，3可以组成 14个凹数
C. 某会议厅有 4个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有 12种不同的走法
D. 已知 ， ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}，则log 不同取值的个数为 54
12.．已知函数 f x ln x x 2，则下列说法正确的是（ ）
f x 2 f x 1 , 2
A． 在 x 处取得最大值 B． 在 上单调递增2 2 2
C． f x x 2有两个不同的零点 D． f x e x 2恒成立
2
三、填空题。本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
1
13．若 f x x 3 f 1 x 2 x 5，则 f 1 ________
3
14 如图所示的五个区域中，中心区 域是一幅图画，现要求在其．余．四．个．
区．域．中．涂．色．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区
域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
15.已知定义在R 上的函数 f x 满足 f x f x 0，且有 f 2 2，则
f x 2ex 2 的解集为________-
16.若函数 f x x 1 ex ax有小于 0的极值点，则 a的范围是________．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17（10分）.已知函数 f (x) x2 x ln x
（1）求曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）求函数 y f (x)的极值.
18.（12分）现有大小相同的 8个球，其中 4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球．
(1)将这 8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数;
(2)从这 8个球中取出 4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数;
(3)将这 8个球分成三堆，每堆至少 2个球，求分堆种数．
19.（12分）茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片.武夷山,素有“茶树品种王茶
文化历史久远,茶产业生机勃勃.2021年 3月 22日，123 来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园
考察.123 强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业,今后是乡村振兴的支柱产业。某茶
叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品.十分畅销。据了解,该企业年固定成本为 50万元,
每生产百件产加投入 7万元.在 2021年该企业年内生产的产品为 x百件，并能全部销售完.据统计,
3
每百件产品的销售收入为G(x)万元，且满足G(x) 2 ln x 80
.
2 4x x x
(1)写出该企业 2021年的利润 F(x)关于该产品年销售量 x百件的函数关系式;
(2)当 2021年的年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润为多
少？
1
20 2．（12分）已知函数 f (x) m x 1 ln x(m R) .
2
(1)若m 1，求证： f (x) 0 .
(2)讨论函数 f (x)的极值；
21.（12分）若函数 f (x) axe x (x 1)2（ a R）
(1)当 a 1时，求 f (x)的极值；
(2)若 f (x) 0在 x 1,1 恒成立，求 a的取值范围.
22．（12分）设函数 f (x) ln x
1
ax2，g(x) ex bx，a,b R ，已知曲线 y f (x)在点 (1, f (1))处
2
的切线与直线 x y 1 0垂直．
(1)求 a的值；
(2)求 g(x)的单调区间；
(3)若bf (x) bx xg(x)对 x (0, )成立，求 b的取值范围．
4数学参考答案
一、单选题
C B B B A C A D
二、多选题
ABC ACD BD ABD
三、填空题
2
13. 14. 84 15. ∞,2 116. , 0
3 e
四、解答题
1
17.（1）f 1 2， 切点为 1,2 又 f x 2x 1 ， k f 1 2； 切线方程为：y 2x
x
2
0, 1 2x x 1 2x 1 x 1 （2）定义域为 ，f x 2x 1
x x x
1 1
令 f x 0 1 x ，令 f x 0 0 x 1 ， 即 f x 在 0, 单调递减，在 , 单调递增；2 2 2 2
f x f 1 3 ln2，无极大值；极小 2 4
18.解：(1)先将 4个不同的黑球全排列，有 44种方法； 再将 2个不同的红球全排列，有 22种方法；
接着将 4个黑球看成是 1个元素连同整体红球共 2个元素全排列，有 22种方法；
最后将 2个黄球排在 2个大元素形成的三个空位上，有 23种方法．
所以总的排法数为 44 22 2 22 3 = 576；
(2)从这 8个球中取出 4个球，要求各种点色的球都取到，取球的方式是 1，1，2，
所以取法种数为 1 1 24 2 2 + 14 22 12 + 24 1 12 2 = 40；
(3)将这 8个球分成三堆，每堆至少 2个球，有两类：2，2，4；2，3，3；
2 2+ 2 3
所以分堆种数为 8 6 8 62 = 210 + 280 = 490． 2
19. （1） F(x) xG(x) 50 7x x
2 ln x 80
2 4
50 7 x
2
ln x 3x 30(x 0)
x x x x
1
2
（2）由（1）得，F (x) ln x 3x 30(x 0)，则 F (x)
2 1
2 3(x 0)，x x x
令 F (x) 0
2
，得 x 1或 x （舍去）
3
当 x (0,1)时，F (x) 0，则 F (x)单调递增，
当 x (1, )时， F (x) 0，则 F (x)单调递减，
所以当 x 1时，有 F (x)max F (1) 2 ln1 3 30 25
答：当年产量为 1 百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为 25 万元．
1 2
20. （1）当m 1时， f (x) x2 1 ln x(x 0) f (x) x 1 x 1，则 ，2 x x
则当 x 0,1 时， f x 0，当 x 1, 时， ' > 0，
则 f x 在 0,1 1 2上单调递减，在 1, 上单调递增，则 f x f 1 1 1 ln1 0；2
1 mx2 1
（2）根据题意得： f (x) mx , x 0，
x x
2
当m 0时， f (x) mx 1 0，则 f x 在 0, 上单调递减，没有极值，
x
1 1
当m 0 时，当 x 0, 时， f x 0，当 x , 时， ' > 0，
m m
f x 0, 1 1 则 在 上单调递减，在 , 上单调递增，
m m
则 f x 1在 x 1 1 1 1处取得极小值 f lnm m，无极大值，m m 2 2 2
（3）令 g x ln x x 0 ，
x
g x 1 ln x则 ，当 x 0,e 时， g 2 x 0，即 g x 在 0,e 上单调递增，x
则当0 a b e ln a ln b 时， ，则b lna a lnb，则
a b ln a
b ln ba ，
则根据对数单调性可得： ab ba，
x 2
21. （1）当 a 1时， f x xe (x 1) ， x R，
2
f x ex xex 2 x 1 x 1 ex 2 ，令 f x 0，得 x= 1.
当 x变化时， f x 与 f x 的变化情况如下表：
x , 1 1 1,
f x 0
f x 单调递增 极大值 单调递减
f (x) 1 f 1 极大值 ，无极小值.e
（2） f x a ex xex 2 x 1 x 1 aex 2 ，
1
（i）当 a 0时， f x 在 1,1 上递减，由 f (x) f 1最大值 ae 0，得 a 0；
（ii）当a 0时，由 f x 0，得 x 1, x 2 ln .
a
①若a 2e，当 x 1,1 , f x 0恒成立， f x 在 1,1 上递增， f (x) f 1 ae 4 0最大值 ，
不符合
0 a 2e, ln 2②若 1，由 f x 0，得 x 1，或 x ln 2；由 f x 0 1 2，得 x ln ;
a a a
1, ln
2 ln 2 , ∴ 在 上递减，在 上递增，
a a
1
要对 x 1,1 ， f x f 1 ae 0, 0恒成立，只需 0 4 a
f 1
解得 .
ae 4 0, e
a 4 综上， 的取值范围为 0, .
e
22.（1） f x 的定义域为 0, ， f x ln x 1 ax2 f x 1 ax， f 1 1 a
2 x
由于直线 x y 1 0的斜率为1，∴ 1 × (1 ) = 1, ∴ = 2.
g x ex bx g x ex（2） ， b，
①当b 0时， g x ex b 0， g x 在 R 上单调递增；
3
②当b 0时，令 g x 0有 x lnb，
当 x , lnb 时， g x 0， g x 单调递减，
当 x lnb, 时， g (x) 0， g x 单调递增.
综上所述：b 0时 g x 的单调递增区间为 R，b 0时 g x 的单调减区间为 x , lnb ，g x 的
单调增区间为 lnb, .
（3）由bf (x) bx xg(x)恒成立，等价于 xex b(x ln x) 0，
令 h(x) xex b(x ln x) x
1
（ x 0）， h (x) (x 1)e b(1 ) (x 1)(ex
b
)，
x x
①若b 0时， h (x) (x 1)ex 0，所以 h(x)在 0, 上单调递增，
h(0) 0，即 h(x) 0，满足 xex b(x ln x) 0，
②若b 0时，则 h (x) 0，所以h(x)在 0, 上单调递增，
当 x趋近于 0 时， h x 趋近于 ，不成立，故b 0不满足题意.
③若b 0时，令 h (x) 0， b xex， x0 (0, )，h(x ) 0， b x ex00 0 ，
x (0, x0 ),h (x) 0，h(x)单调递减， x (x0 , ),h (x) 0，h(x)单调递增，
只需 h(x)min h(x0 ) x0e
x0 b(x0 ln x0 ) x e
x0
0 (1 x0 ln x0 ) 0即可，
1 x0 ln x0 0， x0 ln x0 1，
令m(x) x ln x(x 0)，m (x) 1 1 0， m(x)在 0, 上单调递增，
x
m(1) 1， x0 (0,1 时， x0 ln x0 1，
y xex， y (x 1)ex 0，所以 y xex在 0,1 上单调递增，
xex (0,e x，即b x 00e 0,e ，
综上：b 0,e .
4
