2022-2023学年上海名校高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 以下命题正确的是( )
A. 终边重合的两个角相等 B. 小于的角都是锐角
C. 第二象限的角是钝角 D. 锐角是第一象限的角
2. 若函数的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下：则方程的一个近似根精确到( )
A. B. C. D.
3. 已知全集及集合，且，，其中，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
4. 函数，因其图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，下列说法中正确的个数为( )
函数的定义域为；；
函数的图像关于直线对称；当时，函数的最大值为；
方程有四个不同的实根．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共60.0分）
5. 把化成有理数指数幂的形式为______．
6. 不等式的解集为______．
7. 已知、是方程的两个根，则______．
8. 已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为______．
9. 已知，则角属于第______象限．
10. 已知函数为上的奇函数，当时，，则______．
11. 已知函数的反函数为，若函数的图象过点，则实数的值为______．
12. 已知，且，则______．
13. 在数学解题中，时常会碰到“”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似，若、是非零实数，且满足，则______．
14. 若函数有个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本大题共4小题，共30.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
已知．
求的值；
求的值．
16. 本小题分
某小微公司每年燃料费约万元．为了“环评”达标，需要安装一面积为单位：平方米可用年的太阳能板，其工本费为单位：万元，并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为为常数万元．记为该公司年的燃料费与安装太阳能板的费用之和．
求的值，并写出函数的表达式：
求的最小值，并指出此时所安装的太阳能板的面积．
17. 本小题分
已知函数的表达式为．
若，，求函数的值域；
当时，求函数的最小值；
对于中的函数，是否存在实数，，同时满足下列两个条件：；当的定义域为，其值域为；若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
18. 本小题分
已知函数的定义域是使得解析式有意义的集合，如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则称此函数为“正函数”．
证明函数是“正函数”；
如果函数不是“正函数”，求正数的取值范围；
如果函数是“正函数”，求正数取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，当，时，与终边重合，但两个角不相等，A错误，
，，但它不是锐角，B错误，
，是第二象限角，但不是钝角，C错误，
，锐角一定是第一象限角，D正确，
故选：．
由锐角、钝角、终边相同的角的概念求解即可．
本题考查了锐角、钝角、终边相同的角的概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，，
由零点存在性定理的函数的一个正数零点在，
则方程的一个近似根为，
故选：．
根据零点存在性定理，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，或，且，
，，
的元素个数为：．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集和补集的运算求出，然后即可得出的元素个数．
本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于：函数的定义域为且，故正确；
对于：，故正确；
对于：因为，所以关于轴对称，故错误；
对于，：，
作出函数与的图像如图所示：
所以当时，，
方程有四个不同的根，故正确，
故选：．
对于：函数的定义域为且，即可判断是否正确；
对于：先计算，再计算，即可判断是否正确；
对于：由函数的奇偶性的定义可得，即可判断是否正确；
对于，：作出函数与的图像，即可判断是否正确．
本题考查函数的图像和性质，解题中注意转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接化根式为分数指数幂得答案．
本题考查有理指数幂与根式，是基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．
由不等式，可得，解得．
【解答】
解：由不等式可得，
，
故不等式的解集为，
故答案为：．
7.【答案】
【解析】解：、是方程的两个根，
，，
所以，
故答案为：．
通过韦达定理，转化求解表达式的值即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，韦达定理的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为扇形的弧所对的圆心角为，半径，
则扇形的弧长，
扇形的面积为．
故答案为：．
由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长的值，利用扇形的面积公式即可求其面积．
本题主要考查角度与弧度的互化，扇形的面积公式的应用，属于基础题．
9.【答案】二，三
【解析】解：，
，
，
是第二，三象限角，
故答案为：二，三．
根据三角函数的符号进行判断即可．
本题主要考查角的象限的确定，根据三角函数的符号关系是解决本题的关键，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为为上的奇函数，当时，，
则．
故答案为：
结合已知函数解析式先求，然后结合奇函数的定义即可求解．
本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数值，属于基础试题．
11.【答案】
【解析】解：的图象过点，
函数的图象过点，
又，
，即．
故答案为：．
由的图象过点得函数的图象过点，把点代入的解析式求得的值．
本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础的计算题．
12.【答案】
【解析】解：，且，
，，
，
故答案为：．
结合题意，利用同角三角函数间的关系可求得与的值，再利用两角差的余弦可求得答案．
本题考查了两角和与差的三角函数，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
分子分母同时除以，得：
，
，
．
故答案为：．
将已知条件左边分式分母同时除以，结合两角和的正切公式，求得的值．
本题考查简单的类比推理、两角和正切公式、化弦为切等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】，
【解析】解：作出，的图象如图所示；
当时，函数只有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，，有个零点，不符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，符合题意，
当时，函数的零点为，，有个零点，不符合题意，
综上所述：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
画出函数的图象，分，，，，讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：，
．
．
【解析】首先令，然后根据两角差的正切函数公式求得即可；
利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简合并得到，再根据两角和与差的正切函数公式求出即可．
考查学生灵活运用两角和与差的正切、正弦及余弦函数公式进行运算，以及灵活运用同角三角函数间的基本关系解决问题．
16.【答案】解：由题意，当时，，解得，
则该公司年的燃料费与安装太阳能板的费用之和为，
所以，函数的表达式为；
由可知，时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，
所以的最小值为万元，此时所安装的太阳能板的面积为平方米．
【解析】根据每年的燃料费计算可得的值，进而得出函数的解析式；利用中函数表达式结合均值不等式计算即可求解．
本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到基本不等式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：当时，，
，，则，
函数的值域为；
令，
，即，则，
当时，则在上单调递增，则；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，则；
当时，则在上单调递减，则，
综上所述，；
假设满足题意的，存在，
由得，
，，
在上是严格减函数，
在上的值域为，
又在上的值域为，则，，
，
又，则，
又，则，与矛盾，
故不存在满足条件的实数，．
【解析】由，利用的范围可得的范围，即可得出答案；
令，函数可转化为，分类讨论、、，即可得出答案；
假设满足题意的，存在，函数在上是减函数，求出的定义域、值域，列出方程组，求解与已知矛盾，即可得出答案．
本题考查函数的最值和二次函数的图象与性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：函数的定义域为，且，函数值恒为正，故为正函数，得证；
从反面入手，即函数是“正函数”，求实数的取值范围；
函数的定义域为，且，则，
故；
依题意，或，解得或，
当的图像与轴相切，可得，解得或，
即有时，恒成立；当时，不恒成立．
故正数的取值范围为．
【解析】由恒成立，结合正函数的定义即得证；
从反面入手，即假设函数是正函数，求出的取值范围，然后在取其补集即可；
易知，正数应满足或，或，解出即可．
本题考查正函数这一新定义，考查对所学知识的综合运用，考查运算能力，属于基础题．
第1页，共1页
