泸县重点中学高2020级高三三诊模拟考试
理科数学
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为实数集，集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则
A． B． C． D．
3．某工厂生产了根钢管，其钢管内径(单位：)服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管内径在到之间的钢管根数约为
A． B． C． D．
4．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为
A． B．5 C． D．
5．已知是抛物线：的焦点，若点在抛物线上，则
A．3 B． C．4 D．
6．已知．，则p是q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．的展开式中的系数为
A．5 B．30 C．1080 D．2160
9．如图所示，四边形是边长为2的菱形，是边上靠近的三等分点，为的中点，则
A．2 B． C． D．
如图所示，在棱长为2的正方体中，点，，，，，分别是棱，，，，，的中点，现在截面内随机取一点，则此点满足的概率为
B．
D．
11．已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为
A． B． C． D．
12．已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；③的最小值为0；④有两个零点．其中真命题的是
A．②④ B．①③ C．①③④ D．①④
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，满足，，，则与的夹角为________．
14．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）
15．已知函数的最大值为-1，则实数的取值范围是__________.
16．在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*.
（1）求λ的值及通项公式an；
（2）求数列的前n项和Sn.
18．（12分）如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19．（12分）某年央视春晚，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.
（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次；对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次.用二列联表判断：是否有的把握认为试验是否成功与材料和材料的选择有关？
材料 材料
成功
不成功
（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：，其中.
20．（12分）如图所示已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于，两点.且.
（1）求抛物线方程；
（2）若点在准线上的投影为，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.
21．（12分）已知,
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求的值．
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知的最小值为．
(1)求的值；
(2)若正实数满足，证明：．
理科数学参考答案：
1．B 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C
13． 14． 15． 16．
17．解（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，由2an+1=λan+4(n∈N*)， ①
得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)， ②
两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2.
将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=4，所以d=2.
又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1；
（2）由（1）可得=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)，
所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]==2n+2-n2-2n-4.
18．（1）证明：为的中点，
又四边形为菱形，为的中点，
可得，，
EMBED Equation.DSMT4 平面，平面，
所以： 平面
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
可知：，，，
，，
设平面的法向量
则，令，则，
设平面的法向量
则，令，则，
又二面角为锐二面角，设二面角为
即二面角的余弦值为：
19．解：（1）列表
材料 材料 合计
成功
不成功
合计
没有把握认为实验是否成功与材料和材料的选择有关．
（2）设为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0，100，200，300，400，500，600，700，计算概率：
20．解：（1）依题意， 即.即
EMBED Equation.DSMT4 .所以抛物线方程.
(2）设，，则，
设，联立，，
所以可得
因为，，所以·故直线.
由，得，所以，.
所以
设点到直线的距离为，则.
所以 .当且仅当.即
时，直线的方程为：. 时，直线的方程为：
21．（1）由得：，由于定义域为，
所以由得：或，所以由得：或，
即得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（2）由不等式恒成立，即恒成立，
设得
，
因为它们的定义域，所以易得：
函数在上单调递减， 上单调递增；
函数在上单调递增， 上单调递减；
这两个函数在处，有最小值，有最大值，
所以要使不等式恒成立，
则只需满足，即.
22．(1)由知：，则，
曲线的直角坐标方程为：（不同时为）；
由得：，
即，曲线的直角坐标方程为：.
(2)当，时，曲线：，即；
结合对称性可得曲线围成的图形如下图所示，
曲线上恰有三个点到曲线的距离为，或，
解得：或.
23．(1)，
当且仅当时等号成立，
(2)由柯西不等式得：
，
，当且仅当时取等号.
