专题9 条件概率
1．（2023·江苏·统考二模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，,
所以.故选D.
2．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
【答案】D
【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，
记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，
所以，
又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件为“选到绑带式口罩”，则
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.
故选：D.
3．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
【答案】A
【解析】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则 .
故选：A.
4．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有种结果，
其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为，5位男生都抽到这两项概率为，
同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”
这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是，
所以5位男生测试项目恰好相同的概率为.
故选：B.
5．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
【答案】C
【解析】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生， ，正确；
对于B，根据独立事件的性质知 ，正确；
对于C，由 ，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，
选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则 ，事件B表示选中b，c两球，则 ，
，但A，B不是对立事件，错误；、
对于D，由独立事件的性质知：正确；
故选：C.
6．（2023·安徽淮南·统考二模）近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上密森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择共中一个景点游玩，记事件M：甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件N：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得，甲乙两人随机选择景点，所有的情况为种，甲乙两人都不选择八公山森林公园的情况为种，所有甲乙两人都不选择八公山森林公园的概率为，所以.
事件：甲选择八公山森林公园，乙选择其他，有3种可能；或乙选择八公山森林公园，甲选择其他，有3种可能.甲乙两人随机选择有所以事件发生的概率为，
根据条件概率公式可得，.
故选：D.
7．（2023·浙江温州·统考二模）一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将此骰子任意抛掷2次，则基本事件的方法总数为种，
显然是取大函数，所以“”，
则中有一个数字是5，另一个数字小于等于5，有种；
显然是取小函数，所以“”，“”同时发生，则有和；
所以，，
所以.
故选：B．
8．（2023·河南南阳·统考二模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲 乙两家影院，小明第一天去甲 乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（ ）
A．第二天去甲影院的概率为0.44
B．第二天去乙影院的概率为0.44
C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为
【答案】D
【解析】设:第一天去甲影院，:第二天去甲影院，
:第一天去乙影院，:第二天去乙影院，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A不正确；
，因此选项B不正确；
，所以选项C不正确；
，
所以选项D正确，
故选：D
9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】由题意知：事件“三个点数都不同且至少出现一个点”，
，，，
，.
故选：B.
10．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第k位发言的是学生”，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以A错误．
因为，所以B错误．
因为，所以C正确．
因为，所以D错误．
故选：C
11．（多选题）（2023·江苏泰州·统考二模）一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【答案】AC
【解析】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
12．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，，
先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，
先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，
先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，．
，B对．
，C错．
，A错．
，D对．
故选:BD.
13．（多选题）（2023·湖南岳阳·统考二模）2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的
B．估计100名学生成绩的中位数是85
C．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是
【答案】AC
【解析】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得，解得，故A正确；
对于B：全校学生成绩的中位数为，
故中位数位于之间，故中位数为，故B错误，
对于C：全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故C正确．
对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间，和的学生人数之比为，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在的个数有4个，故概率为，故D不正确，
故选：AC
14．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
【答案】ABC
【解析】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
15．（多选题）（2022·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【解析】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
16．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知，，，那么____________．
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
17．（2023·安徽合肥·校考二模）接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________
【答案】
【解析】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，
则，，
故.
18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.
【答案】0.86
【解析】由题意可得，小李骑电动车准时到单位的概率为；
骑自行车准时到单位的概率为；
则小李准时到单位的概率是.
19．（2023·辽宁鞍山·统考二模）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.
【答案】
【解析】由题意得，
.
20．（2023·安徽安庆·统考二模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
【答案】5%
【解析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：
，
而，故.
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专题9 条件概率
1．（2023·江苏·统考二模）“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ）
A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77
3．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）
A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007
4．（2023·安徽蚌埠·统考二模）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（ ）
A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1
B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）
C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件
D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立
6．（2023·安徽淮南·统考二模）近年来，准南市全力推进全国文明城市创建工作，构建良好的宜居环境，城市公园越来越多，某周末，甲、乙两位市民准备从龙湖公园、八公山森林公园、上密森林公园、山南中央公园4个景点中随机选择共中一个景点游玩，记事件M：甲和乙至少一人选择八公山森林公园，事件N：甲和乙选择的景点不同，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江温州·统考二模）一枚质地均匀的骰子，其六个面的点数分别为．现将此骰子任意抛掷2次，正面向上的点数分别为．设，设，记事件“”，“”，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河南南阳·统考二模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：，贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲 乙两家影院，小明第一天去甲 乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（ ）
A．第二天去甲影院的概率为0.44
B．第二天去乙影院的概率为0.44
C．第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
D．第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为
9．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数都不同”，“至少出现一个点”，则条件概率，分别等于（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第k位发言的是学生”，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2023·江苏泰州·统考二模）一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
12．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．事件B与事件相互独立 B．
C． D．
13．（多选题）（2023·湖南岳阳·统考二模）2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的
B．估计100名学生成绩的中位数是85
C．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是
14．（多选题）（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
15．（多选题）（2022·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
16．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知，，，那么____________．
17．（2023·安徽合肥·校考二模）接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________
18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，小李早上上班的时候，可以骑电动车，也可以骑自行车，已知小李骑电动车的概率为0.6，骑自行车的概率为0.4，而且在骑电动车与骑自行车条件下，小李准时到单位的概率分别为0.9与0.8，则小李准时到单位的概率是___________.
19．（2023·辽宁鞍山·统考二模）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击1次，共射击4次，每次5发子弹，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.己知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件A为其在前两次射击中没有被罚时，事件B为其在第4次射击中被罚时2分钟，那么___________.
20．（2023·安徽安庆·统考二模）设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______.
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