专题15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点，且．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点，证明：直线平分．
2．（2023·河南郑州·统考二模）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
3．（2023·河南安阳·统考二模）已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值．
4．（2023·北京平谷·统考二模）已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．
(1)求椭圆E的方程：
(2)证明：直线HN过定点．
5．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
6．（2023·河北石家庄·统考二模）已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
①；②．
7．（2023·四川凉山·二模）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为C，，过点作的垂线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点为椭圆E上一动点，过点P作E的切线其斜率记为k，当直线斜率存在时分别记为，探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
8．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．
(1)求的取值范围；
(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
9．（2023·河南安阳·统考二模）关于椭圆有如下结论：“若点在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程为”设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，动点在椭圆位于第一象限的部分上，过点作椭圆的切线分别与过和的椭圆的切线相交于点和，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知坐标原点和点，直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于、两点，证明：为定值．
10．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，是双曲线的左 右顶点，为双曲线上与，不重合的点.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；
(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
11．（2023·四川遂宁·统考二模）已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)证明直线MN过定点.
12．（2023·天津南开·统考二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线.
13．（2023·青海·校联考模拟预测）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．
14．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）抛物线上的点到轴的距离为，到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若点在第一象限，过作直线交抛物线于另一点，且直线与直线交于点，过作轴的垂线交于．证明：直线过定点．
15．（2023·北京房山·统考二模）已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
16．（2023·山东济南·二模）已知抛物线（p为常数，）．
(1)若直线与H只有一个公共点，求k；
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．
17．（2023·山西太原·统考二模）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于、两个不同点，过点作轴的垂线分别与、相交于点和，证明：是中点.
18．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)若C上有两点P，Q满足，证明：是定值.
19．（2023·山东潍坊二模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．
20．（2023·山东菏泽二模）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题
1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点，且．
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点，证明：直线平分．
【解析】（1）由椭圆方程知：，设，则，，
，，解得：，，
椭圆的方程为：.
（2）由题意知：直线斜率存在，可设，即，
由得：，
设，，则，，
直线的方程为，
直线的方程为，
点到直线的距离分别为，，
若直线平分，只需满足，
即，
整理化简有：，
即，
故只需满足，
，
，
，则，直线平分．
【点睛】证明直线平分角的关键是能够将问题转化为角平分线上的点到角两边距离相等的问题，结合点到直线距离公式和韦达定理可化简得到结论.
2．（2023·河南郑州·统考二模）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
【解析】（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
3．（2023·河南安阳·统考二模）已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值．
【解析】（1）设，得，
同理可得．
所以，，
所以，
即．
又，所以，所以，．
所以椭圆的标准方程为．
（2）联立直线和椭圆的方程得
消去得．
由，可得．
设，，则，．
由题易知，，，，
所以直线的方程为，
令，得，同理．
所以
．
故为定值2．
4．（2023·北京平谷·统考二模）已知椭圆经过两点，设过点的直线椭圆交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．
(1)求椭圆E的方程：
(2)证明：直线HN过定点．
【解析】（1）解：因为椭圆E的方程为经过两点，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2）因为，所以，
①假设过点的直线过原点，则，代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，过点.
②分析知过点的直线斜率一定存在，设.
联立得，
可得，
所以，
，
且
因为点H满足，所以为的中点，
联立可得
可求得此时，
假设直线HN过定点，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点.
5．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线C以为渐近线，
设双曲线方程为，即,
∵，∴，即：，
∴，∴，即.,
所以双曲线C的方程为：.
（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，，
，
化简得：，，
此方程的两根为，则，
∴
.，
中点M坐标为，即，
∴PQ中垂线方程为：，
令，∴，∴，
则，
∴，即为定值，定值为.
6．（2023·河北石家庄·统考二模）已知点在双曲线C：（，）上，过P作x轴的平行线，分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l过定点．
①；②．
【解析】（1）由题意可知：点在双曲线上，所以；
过做轴的平行线，与相交于两点，那么两点可求：；
所以，所以；
代入，可知，所以双曲线的方程为.
（2）选①：由题意可知，直线与双曲线C交于不同的两点A, B,
设，联立方程:
得，
所以，即；
由条件所以，
所以，
整理可得，
代入韦达定理得，
即，
解得或；
当时，，则直线过定点；
当时，，则直线过定点，不合题意；
综上可得，直线过定点.
选②：由题意可知，直线与双曲线C交于不同的两点A, B,
设，联立方程:
得，
所以，即；
由条件，得
即，
整理可得
代入韦达定理，整理可得，
即，解得或，
当时，，则直线过定点；
当时，，则直线过定点，不合题意；
综上可得，直线过定点.
7．（2023·四川凉山·二模）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为C，，过点作的垂线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点为椭圆E上一动点，过点P作E的切线其斜率记为k，当直线斜率存在时分别记为，探索是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）∵，∴为正三角形，∴为的中垂线
∴，∴与周长相等，
由椭圆的定义知，即
∴，∴E标准方程为；
（2）设切线方程为，由题意知，
，
由①，
过点得代入①得②，
又点在椭圆上，∴代入②，
得，将代入，
得，再将代入，
整理得，
由，得．
∴．
8．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．
(1)求的取值范围；
(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，
联立方程，消去y得：，
由题意可得，解得，
故的取值范围为.
（2）内心恒在一条定直线上，该直线为，
∵，即点在椭圆上，
若直线过点，则，解得，
即直线不过点，故直线的斜率存在，
由（1）可得：，
设直线的斜率分别为，则，
∵
，
即，则的角平分线为，
故的内心恒在直线上.
9．（2023·河南安阳·统考二模）关于椭圆有如下结论：“若点在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程为”设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，动点在椭圆位于第一象限的部分上，过点作椭圆的切线分别与过和的椭圆的切线相交于点和，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知坐标原点和点，直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于、两点，证明：为定值．
【解析】（1）解：设，其中，，则过点的椭圆的切线方程为．
联立可得，则，同理可得．
所以，即．
又，所以，所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：联立直线和椭圆的方程得，消去得．
由，可得．
设、，则，．
由题易知，，，，
所以直线的方程为，令，得，同理．
所以
．
故为定值．
10．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，是双曲线的左 右顶点，为双曲线上与，不重合的点.
(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；
(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
【解析】（1）设，由题意，且 ，
所以
（2）设，，，BN的斜率为，由 知：
，由(1)知： 所以
设MN：，与双曲线 联立，
得：，
所以 ，
所以 ，
即﹐
则
整理得，解得或（舍），
故直线MN过定点.
11．（2023·四川遂宁·统考二模）已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，.
(1)求证：为常数；
(2)证明直线MN过定点.
【解析】（1）∵椭圆过A和T，∴解得，
∴椭圆的方程为：，
由知与关于直线对称．
在上任取一点，设关于直线AT对称的点为，
则，解得，
从而，
于是．
（2）设点，：．
由得，∴，
从而．
同理，．
由(1)有，故，，
为方便，记，则
，
，∴，
即．
由此可知，当变化时，直线过定点．
12．（2023·天津南开·统考二模）已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，当垂直于轴时，且的面积是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，当不与轴重合时，直线交直线于点，若直线上存在另一点，使，求证：三点共线.
【解析】（1）依题意知，，所以.
因为的面积是，即，解得，
所以，
从而，解得，
所以，椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，.
依题意，设直线方程为，
由消去得，
则，
直线的斜率，直线的方程：，
而直线，所以.
直线的斜率，
而，即，
所以直线的斜率.
因此直线的方程：，则点，
所以直线的斜率.
又直线的斜率，
则，
而，即，
所以三点共线.
13．（2023·青海·校联考模拟预测）已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由椭圆的对称性可知，，在椭圆上．
由题意可得解得
故椭圆的标准方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则不妨令，．
因为，所以，．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立整理得，
则由，得，，．
因为，，
所以
．
综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为1．
14．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）抛物线上的点到轴的距离为，到焦点的距离为．
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若点在第一象限，过作直线交抛物线于另一点，且直线与直线交于点，过作轴的垂线交于．证明：直线过定点．
【解析】（1）解：设点，则，，
又，，即抛物线的方程为，点的坐标为.
（2）解：由（1）知，可设直线的方程为，
联立可得，，
设点、，则，，
且，则直线的方程为，
将代入直线的方程可得，
所以，点，
由点在直线上，可得，
即，所以，，即，
将直线的方程变形可得，即，
由可得，因此，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
15．（2023·北京房山·统考二模）已知椭圆过点，且离心率为
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l与椭圆E相切，过点作直线l的垂线，垂足为N，O为坐标原点，证明：为定值.
【解析】（1）因为椭圆过点，所以，
又，，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，
，
化简整理得
因为直线与垂直，所以直线的方程为，
联立得，解得， ，
所以
把代入上式得，，所以，为定值；
当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，
此时或，，为定值；
综上所述，，为定值.
16．（2023·山东济南·二模）已知抛物线（p为常数，）．
(1)若直线与H只有一个公共点，求k；
(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：．
【解析】（1）将代入，
化简得（*），
方程（*）的判别式，
化简得，
即．
（2）设，
设抛物线在点处的切线方程为，
由消去并化简得，
，
，，
解得，故切线方程为，
， ，
即，
同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：
，，
由过的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：
，，，
注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，
得，
命题得证．
17．（2023·山西太原·统考二模）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，其离心率，直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于、两个不同点，过点作轴的垂线分别与、相交于点和，证明：是中点.
【解析】（1）解：由题意可得直线的方程为，即，
直线与圆相切，，，
，则，，则，
由可得，
椭圆的方程为.
（2）证明：由题意可设，
由（1）得，则直线的方程为，
直线的方程为，
若直线轴，此时直线与椭圆相切，不合乎题意，
设直线的方程为，
由得，
，可得，
，
，
，
是中点.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为.
(1)求C的方程；
(2)若C上有两点P，Q满足，证明：是定值.
【解析】（1）设C的方程为，
不妨设右焦点为，渐近线方程为.
右焦点到渐近线的距离.
因为C为等轴双曲线，所以.
所以C的方程为.
（2）设，.
由，得，
且，，
所以，
则，
即，
平方后得，
等式两边同时除以，
得，
即，即.
所以是定值，且该定值为.
19．（2023·山东潍坊二模）已知双曲线的左、右顶点分别为，，离心率为2．
(1)过右焦点的直线与双曲线交于两点，且的面积是，求直线的方程；
(2)设点在双曲线的右支上，直线、在轴上的截距之比为，证明：直线过定点．
【解析】（1）由已知得，由，得，
所以双曲线的方程为，
设，直线，
由消去，得，显然，
则，
，
，，整理得，
解得或（舍去），
直线；
（2）设与轴分别交于，
设，则，
，
设，则，
，
设直线的方程为，
由得，即，
，
，
，
，
，
直线不过，
，
，得，
此时对于，即，
有，满足题意，
所以直线为，则直线过定点．
20．（2023·山东菏泽二模）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．
【解析】（1）依题意可知，设，，
则两式作差可得，
即，又当时，直线的斜率为1，
所以．又，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）联立直线与双曲线方程，得
消去整理得，则，，
则所以，，所以．
又因为直线与垂直，所以用替换，得到．
当，即时，直线的方程为，直线过点．
当且，时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线过点．
综上，直线恒过点．
所以与的面积之比为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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